Q.D-data · Data analysis: spread, weighted averages and conditional probability

Оригинальная практика в классе по рассмотренным типам заданий с коротким тестом. Это не моделирует адаптивный тест и не предсказывает скоррелированный балл или оценку за письмо.

• Различайте среднее арифметическое, медиану, разброс и взвешенное среднее
• Интерпретируйте распределения, перекрывающиеся или условные подсчёты событий
• Используйте правильную исходную величину в выводах по таблицам

взвешенное среднее: Среднее значение, учитывающее вклад или размер каждой группы.

совместно исключающие: События, которые не могут произойти одновременно в одном исходе.

Среднее арифметическое — это сумма, делённая на количество; медиана — центральное упорядоченное значение или среднее двух средних значений. Размах равен максимуму минус минимум. Экстремальное значение может изменить среднее арифметическое и размах, не меняя медианы. Стандартное отклонение измеряет разброс относительно среднего; добавление константы изменяет центр, но не разброс, тогда как умножение всех значений на c умножает стандартное отклонение на |c|.

Объединяйте группы вместе с их количеством, а не среднее арифметическое средних групп, если размеры групп не равны. Группа из 10 со средним 6 вносит общий вклад 60; группа из 30 со средним 10 вносит вклад 300. Общее среднее равно (60+300)/40=9. Процент подгруппы вычисляется по знаменателю этой подгруппы.

Для равновероятных дискретных исходов вероятность равна числу благоприятных исходов, делённому на общее число исходов. Условная вероятность ограничивает знаменатель заданным условием. Без возвращения изменяются последующие подсчёты. Перекрывающиеся события требуют вычитания пересечения при подсчёте объединения. Независимость должна быть задана или обоснована; она не тождественна совместно исключающим событиям.

Читайте графики по осям, единицам измерения и описанию выборки перед тем, как делать выводы. Корреляция не выделяет причину. Выборка удобства может не представлять целевую популяцию. Базовое подсчётное можно использовать упорядоченное умножение, когда роли различаются, или делить удвоенные размещения, когда порядок не важен. Сохраняйте события и исходы явно определёнными.

В мешке находятся четыре красных фишки, три из которых отмечены, и шесть синих фишек, одна из которых отмечена. Всего имеется четыре отмеченные фишки. P(красная)=4/10, P(отмеченная)=4/10, P(красная при условии, что она отмечена)=3/4. P(две красные без возвращения)=(4/10)(3/9)=2/15, а не (4/10)². Для данных 1,2,3,4,20 среднее=30/5=6, а медиана=3. Добавление 5 к каждому значению сдвигает среднее и медиану на ⟨5⟩, но не изменяет их попарные отклонения и стандартное отклонение.

Условие меняет опорную популяцию. Средние значения групп требуют весов, а выборки без возвращения требуют изменения знаменателей.

В группе A 12 наблюдений со средним значением 5; в группе B — восемь наблюдений со средним значением 10. Найдите общее среднее значение. Для данных 1,2,3,4,20 найдите среднее значение, медиану и размах. Опишите, как добавление 7 к каждому значению влияет на стандартное отклонение.

Модель и рассуждение

Общая сумма составляет $12(5)+8(10)=140$ по двадцати наблюдениям, поэтому среднее равно семи. Не взвешенное среднее пяти и десяти ошибочно игнорирует размеры групп. Во втором наборе данных сумма равна тридцати, среднее — шесть, медиана — три, размах — девятнадцать. Добавление семи сдвигает все значения и их среднее вместе; каждое отклонение от среднего остается неизменным, поэтому стандартное отклонение не изменяется.

Из 40 студентов 24 изучают искусство, 18 — музыку, а 10 — и то, и другое. Найдите вероятность изучения музыки при условии изучения искусства и вероятность изучения хотя бы одного предмета. Являются ли события независимыми? Затем объясните, что происходит со стандартным отклонением, если все измерения умножить на -3.

Проверка после выполнения

Условие по искусству дает $P(M\mid A)=10/24=5/12$. Количество объединений равно $24+18-10=32$, поэтому вероятность объединения составляет 4/5. Независимость требовала бы ⟨$P(A\cap M)=P(A)P(M)$⟩, но ⟨$10/40=1/4$⟩ отличается от ⟨$(24/40)(18/40)=27/100$⟩. События не являются независимыми. Умножение каждого отклонения на −3 увеличивает квадрат в девять раз, а корень — в три раза, поэтому стандартное отклонение увеличивается втрое. Оно не может стать отрицательным.