Differential Equations · ⁨Дифференциальные уравнения⁩

AP Calculus BC · Topic 7 · ⁨Тема 7⁩

View Slides · ⁨Просмотр слайдов⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

Video lesson for this topic · ⁨Видеоурок по этой теме⁩ Open the video page · ⁨Открыть страницу видео⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Моделирование ситуаций с помощью дифференциальных уравнений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.A: Интерпретировать словесные формулировки задач как дифференциальные уравнения, содержащие выражение производной.

FUN-7.A.1 Дифференциальные уравнения связывают функцию независимой переменной и производные этой функции.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Русский

Дифференциальное уравнение связывает функцию с её производными. Многие реальные ситуации описываются скоростью изменения: «популяция растет со скоростью, пропорциональной её размеру» записывается как $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Составление уравнения по словесному описанию — определение того, что изменяется и чему эта скорость пропорциональна, — это первый необходимый навык.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Проверка решений дифференциальных уравнений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.B: Проверять решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.B.1 Производные могут использоваться для проверки того, что функция является решением данного дифференциального уравнения.
FUN-7.B.2 У дифференциального уравнения может быть бесконечно много общих решений.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

Русский

Решение — это функция, удовлетворяющая уравнению. Чтобы проверить предполагаемое решение, продифференцируйте его и подставьте в уравнение, убедившись, что обе части совпадают. Общее решение содержит константу $C$; частное решение определяет значение $C$ на основе начального условия.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Построение полей направлений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.1 Поле направлений — это графическое представление дифференциального уравнения на конечном множестве точек плоскости.
FUN-7.C.2 Поля направлений дают информацию о поведении решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

Русский

Поля направлений и кривые решений

Поле направлений рисует короткий отрезок во многих точках, каждый из которых имеет наклон $\dfrac{dy}{dx}$, который задает уравнение в этой точке. Оно визуализирует семейство кривых решений без их явного нахождения. Чтобы построить такое поле, вычислите правую часть в каждой узловой точке сетки и нарисуйте отрезок соответствующего наклона.

Поле направлений показывает градиент везде; кривые решений следуют ему

Explore · ⁨Исследовать⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨Чтение дифференциального уравнения как поля направлений⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨Поле направлений отображает наклон $dy/dx$ в каждой точке. Кривая решения проходит сквозь него, оставаясь касательной к маленьким сегментам — можно нарисовать её, следуя потоку.⁩

Vocabulary · ⁨Словарь⁩ Train · ⁨Тренировать⁩

English	Русский
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	дифференциальное уравнение
slope field/sləʊp fiːld/	поле направлений
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	метод Эйлера
separable/ˈsepərəbl/	разделяемое
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	начальное условие
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	экспоненциальный рост или спад
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	логистическая модель
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	ёмкость среды

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Анализ с использованием полей направлений⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.3 Решения дифференциальных уравнений представляют собой функции или семейства функций.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

Русский

Кривая решения следует по отрезкам, подобно лодке, плывущей по течению. По полю направлений можно набросать частное решение, проходящее через заданную точку, описать долгосрочное поведение и определить места, где решения выравниваются (наклоны близки к нулю) — рассуждая о решениях исключительно по изображению.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨Приближенное решение с помощью метода Эйлера⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.C: Оценивать решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.C.4 Метод Эйлера предоставляет алгоритм приближенного нахождения решения дифференциального уравнения или точки на кривой решения. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Русский

Метод Эйлера

Метод Эйлера приближенно находит решение численно, двигаясь вдоль поля направлений. Начиная с известной точки, сделайте маленький шаг $\Delta x$ и обновите значение:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Повторяйте для каждого шага. Чем меньше шаги, тем точнее приближение. (Это техника только для уровня BC.)

Навык для экзамена: умейте выполнить два или три шага метода Эйлера вручную по таблице и знайте, что метод Эйлера занижает или завышает значение в зависимости от выпуклости решения.

Разобранный пример. Найдите приближенное значение $y(1)$ для $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, с шагом $\Delta x=0.5$. Шаг 1: наклон в точке $(0,1)$ равен $0+1=1$, следовательно, $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Шаг 2: наклон в точке $(0.5,1.5)$ равен $0.5+1.5=2$, следовательно, $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Нахождение общих решений методом разделения переменных⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.D: Определять общие решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.D.1 Некоторые дифференциальные уравнения можно решить методом разделения переменных.
FUN-7.D.2 Нахождение первообразных (интегрирование) может использоваться для поиска общих решений дифференциальных уравнений.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Русский

E. coli под микроскопом: дифференциальные уравнения моделируют экспоненциальный рост

Разделяющееся дифференциальное уравнение можно записать так, чтобы все $y$'ы были на одной стороне, а все $x$'ы — на другой, после чего проинтегрировать:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Это дает общее решение (с константой $+C$), основной аналитический метод решения дифференциальных уравнений в данном курсе.

Разобранный пример. Решите $\dfrac{dy}{dx}=xy$ при условии $y(0)=2$. Разделяя переменные, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ приводит к $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, откуда $y=Ae^{x^2/2}$. Условие $y(0)=2$ дает значение $A=2$, следовательно, $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨Нахождение частных решений с использованием начальных условий⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.E: Определять частные решения дифференциальных уравнений.

FUN-7.E.1 Общее решение может описывать бесконечно много решений дифференциального уравнения. Через заданную точку проходит только одно частное решение.
FUN-7.E.2 Функция $F$, заданная формулой $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$, является частным решением дифференциального уравнения $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, удовлетворяющим условию $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Решения дифференциальных уравнений могут иметь ограничения области определения.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

Русский

Начальное условие (известная точка, например, $y(0)=5$) фиксирует константу $C$. Найдите общее решение, подставьте условие, чтобы найти $C$, затем запишите частное решение. Следите за областью определения — частное решение верно только на интервале, содержащем начальную точку.

Константа порождает семейство кривых; начальное условие выбирает одну конкретную

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Экспоненциальные модели с дифференциальными уравнениями⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.F: Интерпретировать смысл дифференциального уравнения и его переменных в контексте задачи.

FUN-7.F.1 Конкретные приложения нахождения общих и частных решений дифференциальных уравнений включают движение вдоль прямой и экспоненциальный рост и убывание.
FUN-7.F.2 Модель экспоненциального роста и убывания, вытекающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна ее размеру», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Цель обучения FUN-7.G: Определять общие и частные решения для задач, связанных с дифференциальными уравнениями в контексте.

FUN-7.G.1 Модель экспоненциального роста и убывания $\dfrac{dy}{dt} = ky$ с начальным условием $y = y_0$ при $t = 0$ имеет решения вида $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

Русский

Экспоненциальный и логистический рост

Уравнение $\dfrac{dy}{dt}=ky$ означает, что скорость изменения пропорциональна величине — что дает экспоненциальный рост или спад. Разделение переменных приводит к

$$y=y_0 e^{kt},$$

где $k>0$ соответствует росту, а $k<0$ — спаду. Это моделирует неограниченный рост популяции, радиоактивный распад и непрерывно начисляемый процент.

Остывающая чашка кофе: закон Ньютона охлаждения — классическая модель дифференциальных уравнений — Остывающая чашка кофе: закон охлаждения Ньютона — классическая модель дифференциальных уравнений

Explore · ⁨Исследовать⁩

An exponential growth/decay model · ⁨Модель экспоненциального роста/спада⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨Уравнение $dy/dt=ky$ имеет экспоненциальные решения: величина изменяется со скоростью, пропорциональной самому себе, что дает неограниченный рост ($k>0$) или спад к нулю ($k<0$).⁩

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨Логистические модели с дифференциальными уравнениями⁩

Syllabus · ⁨Программа⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

Русский

Принцип устойчивости (FUN-7): Решение дифференциальных уравнений позволяет определять функции и создавать модели.

Цель обучения FUN-7.H: Интерпретировать смысл логистической модели роста в контексте задачи. Только BC

FUN-7.H.1 Модель логистического роста, возникающая из утверждения «Скорость изменения величины пропорциональна как самой величине, так и разности между величиной и предельным значением», имеет вид $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. Только BC
FUN-7.H.2 Логистическое дифференциальное уравнение и начальные условия могут быть интерпретированы без решения самого уравнения. Только BC
FUN-7.H.3 Предельное значение (предельная емкость) логистического дифференциального уравнения при стремлении независимой переменной к бесконечности может быть определено с использованием модели логистического роста и начальных условий. Только BC
FUN-7.H.4 Значение зависимой переменной в логистическом дифференциальном уравнении в момент максимальной скорости изменения может быть определено с использованием модели логистического роста и начальных условий. Только BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Источник: Описание курса и экзамена College Board AP⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

Русский

Реальный рост ограничен ресурсами, поэтому логистическая модель добавляет емкость среды $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Рост является почти экспоненциальным, когда $P$ мало, замедляется по мере приближения $P$ к $L$ и останавливается на $P=L$. Ключевые факты BC: популяция стабилизируется на уровне $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), а рост происходит наиболее быстро при $P=\tfrac{L}{2}$ (точка перегиба S-образной кривой). От вас требуется считывать $L$ и значение максимальной скорости роста непосредственно из уравнения.

Разобранный пример. Для $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$ ёмкость среды составляет $L=2000$ (популяция стабилизируется там), а рост наиболее быстрый при $P=\dfrac{L}{2}=1000$ — оба значения считываются напрямую из уравнения без необходимости решения.

Логистическая модель растет наиболее быстро при P=L/2 и стабилизируется на уровне ёмкости среды L

7.9

Exam tips · ⁨Советы для экзамена⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Русский

Решите разделимое уравнение, перенеся все $y$ в одну сторону, а все $x$ — в другую, затем проинтегрировав обе части (добавьте константу $+C$ один раз).
Используйте начальное условие, чтобы найти конкретное решение ($C$).
Нарисуйте или прочитайте поле направлений: маленькие отрезки показывают значение $\tfrac{dy}{dx}$ в каждой точке, а кривая решения следует им.
Распознавайте экспоненциальные модели $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (рост/убывание).
Дифференциальное уравнение дает наклон — вам нужно проинтегрировать, чтобы восстановить функцию.

Interactive lessons on this topic · ⁨Интерактивные уроки по этой теме⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.⁩

Past Papers · ⁨Архив экзаменационных работ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨Больше тем в AP Calculus BC⁩