Ядерная физика

Специальная теория относительности Эйнштейна устанавливает знаменитую связь (эквивалентность массы и энергии):

где $c = 3.00 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$. Масса $m$ соответствует энергии $E$ — они могут переходить одна в другую. При изменении массы $\Delta m$:

Разобранный пример. Звезда Сириус теряет массу за счет ядерного синтеза на $1.09 \times 10^{11}\ \text{kg s}^{-1}$. Найдите мощность излучения звезды.

Каждый килограмм, который исчезает, превращается в энергию: $P = c^{2} \times (\text{mass lost per second}) = (3.00 \times 10^{8})^{2}(1.09 \times 10^{11}) = 9.8 \times 10^{27}\ \text{W}$. Это светимость звезды (Тема 25); светимость Солнца составляет $3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$, поэтому она теряет около $4$ миллионов тонн в секунду. Обратная идея: электростанция, вырабатывающая $1\ \text{GW}$ в течение года, превращает в энергию $E/c^{2} = 3.2 \times 10^{16}/9.0 \times 10^{16} = 0.35\ \text{kg}$ массы, поэтому топливо после реакции весит почти так же, как и до.

В ядерной физике массы очень малы, но $c^{2}$ огромен, поэтому небольшое изменение массы означает большое выделение энергии. Изменение массы на $1\ \text{u}$ ($1.661 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) соответствует $\Delta E \approx 1.49 \times 10^{-10}\ \text{J}$. Это дает коэффициент перевода, который вы будете использовать снова и снова:

Ядерная реакция записывается как

при этом нуклонное число сохраняется (верхние числа: $14 + 4 = 17 + 1$), а заряд сохраняется (нижние числа: $7 + 2 = 8 + 1$) — это закон сохранения заряда. Используйте эти правила, чтобы заполнить неизвестное: определите частицу, затем уравняйте верхние и нижние индексы.

Уравнения распада. Альфа-распад удаляет $^{4}_{2}\text{He}$, поэтому $A$ уменьшается на 4, а $Z$ на 2: $^{211}_{84}\text{Po} \to {}^{207}_{82}\text{Pb} + {}^{4}_{2}\text{He}$. Бета-минус распад превращает нейтрон в протон, испуская электрон и антинейтрино: $^{15}_{6}\text{C} \to {}^{15}_{7}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e} + \bar{\nu}$ ($A$ не меняется, $Z$ увеличивается на 1). Бета-плюс распад превращает протон в нейтрон, испуская позитрон и нейтрино: $^{18}_{9}\text{F} \to {}^{18}_{8}\text{O} + {}^{0}_{+1}\text{e} + \nu$ ($Z$ уменьшается на 1). Гамма-излучение не изменяет ни одно из чисел. В цепи распадов просто ведите учет: ядро W, которое последовательно испускает $\beta^{-}$, затем $\alpha$, а потом $\beta^{-}$, заканчивает превращения с нуклонным числом $A - 4$ и зарядом $Z + 1 - 2 + 1 = Z$, то есть становится изотопом W. Проверяйте обе строки каждого завершенного уравнения и помните о нейтрино: оно обязательно должно быть указано в критериях оценки.

Масса ядра меньше, чем сумма масс его отдельных протонов и нейтронов. Разница называется дефектом массы $\Delta m$:

Согласно $E = mc^{2}$, эта «потерянная» масса высвободилась в виде энергии при образовании ядра. Чтобы полностью разорвать ядро, нужно вернуть эту энергию обратно — это энергия связи $B$:

Разобранный пример. Ядро гелия-4 имеет дефект массы $\Delta m = 0.0304\ \text{u}$. Найдите его энергию связи. ($1\ \text{u}$ соответствует $931\ \text{MeV}$.)

Более прочно связанное ядро имеет больший дефект массы и большую энергию связи. Энергия связи на один нуклон равна $B/A$ (обычно в МэВ/нуклон) — это мера того, насколько крепко удерживается каждый нуклон, что полезно для сравнения различных нуклидов.

Определения на два балла. Дефект массы ядра — это разница между суммой масс его отдельных нуклонов и массой самого ядра. Энергия связи — это минимальная энергия, необходимая для разделения ядра на отдельные нуклоны (или эквивалентно, энергия, выделяющаяся при образовании ядра из отдельных нуклонов). Используйте формулировки «отдельные нуклоны» или «отдельные протоны и нейтроны»; фраза «энергия, удерживающая ядро вместе», не оценивается. Энергия связи выделяется, а не запасается: ядро обладает меньшей энергией, чем его составные части.

Разобранный пример. Даны массы: протон $1.007\,276\ \text{u}$, нейтрон $1.008\,665\ \text{u}$, ядро полония-212 $211.945\,4\ \text{u}$. Найдите дефект массы и энергию связи на нуклон для $^{212}_{84}\text{Po}$.

$Z = 84$ протонов и $N = 212 - 84 = 128$ нейтронов: всего $84 \times 1.007\,276 + 128 \times 1.008\,665 = 84.611\,2 + 129.109\,1 = 213.720\,3\ \text{u}$. Дефект массы $\Delta m = 213.720\,3 - 211.945\,4 = 1.774\,9\ \text{u}$. Энергия связи $= 1.774\,9 \times 931.5 = 1653\ \text{MeV}$, значит на нуклон $1653/212 = 7.80\ \text{MeV}$, находится на нисходящем участке кривой. Сохраняйте все десятичные знаки до момента вычитания: дефект — это небольшая разница двух больших чисел.

Энергия связи на нуклон против нуклонного числа

График зависимости $B/A$ от $A$ имеет типичный вид:

• для легких ядер ($A < 20$), $B/A$ быстро растет (с пиком у очень стабильного $^{4}_{2}\text{He}$).
• в районе $A \sim 56$ (железо), $B/A$ достигает своего максимума около $8.8\ \text{MeV}$. Железо-56 — самое стабильное ядро.
• для тяжелых ядер ($A > 100$), $B/A$ медленно падает, достигая примерно $7.5\ \text{MeV}$ для урана.

Таким образом, кривая имеет куполообразную форму: растет до железа, затем убывает.

Нарисовать кривую. На экзамене даются пустые оси ($A$ от 1 до 250, $B/A$ до примерно $9\ \text{MeV}$) и отмечены ключевые точки: крутой подъем от нуля near $A = 1$, максимум около $A = 56$ на уровне примерно $8.8\ \text{MeV}$, затем медленное, пологое снижение до примерно $7.5\ \text{MeV}$ при $A = 238$. Не начинайте кривую строго из начала координат (у водорода-1 нет энергии связи, это лишь отдельная точка), не делайте спад таким же крутым, как подъем, и не позволяйте кривой опуститься до нуля справа. Если просят отметить ядро, подвергающееся альфа-распаду, поставьте X в правой части графика, на позиции $A > 200$; ядро, участвующее в синтезе, располагается в левой части, на позиции $A < 10$; оба процесса происходят при малых значениях $B/A$, двигаясь вверх по кривой в результате реакций.

Энергия выделяется, когда ядра движутся к пиковому значению для железа — путем соединения легких ядер или расщепления тяжелых.

Ядерный синтез

Ядерный синтез объединяет два легких ядра в одно более тяжелое ядро:

Продукты имеют большую энергию связи на нуклон, чем исходные вещества, поэтому энергия выделяется. Синтез обеспечивает энергию звезд. Он требует очень высоких температур (миллионы кельвинов), чтобы ядра имели достаточную кинетическую энергию для преодоления их электростатического отталкивания и сближения достаточно близко, чтобы вступила в действие сильное ядерное взаимодействие.

Ядерное деление

Ядерное деление расщепляет тяжелое ядро на два более легких:

Продукты имеют более высокую энергию связи на нуклон, чем $^{235}$U, поэтому энергия выделяется. Лишние нейтроны могут вызвать дальнейшее деление — цепная реакция в достаточном количестве топлива (критическая масса). Это основа атомной энергетики и оружия.

"Опишите различия между делением и синтезом." Деление: тяжелое ядро (большое $A$) расщепляется на два более легких ядра примерно одинаковой массы, обычно после поглощения нейтрона, при этом выделяются дополнительные нейтроны. Синтез: два легких ядра (малые $A$) объединяются, образуя одно более тяжелое ядро; для преодоления электростатического отталкивания между ядрами требуются очень высокая температура и давление. Оба процесса выделяют энергию, но на килограмм топлива синтез выделяет больше.

"Объясните, используя график, почему выделяется энергия." В обоих процессах продукты находятся выше на кривой энергии связи на нуклон, чем исходные вещества: каждый нуклон оказывается связанным сильнее, поэтому общая энергия связи увеличивается. Избыточная энергия связи выделяется (в виде кинетической энергии продуктов и фотонов), а общая масса продуктов меньше, чем масса исходных веществ, на $\Delta E/c^{2}$. Ядро, близкое к пику (железо), не может выделить энергию ни одним из процессов, поэтому синтез в звездах останавливается на железе.

Расчет выделяемой энергии

1. найдите общую массу исходных веществ.
2. найдите общую массу продуктов.
3. изменение массы $\Delta m = m_{\text{reactants}} - m_{\text{products}}$ (положительное, когда энергия выделяется).
4. выделяемая энергия $\Delta E = c^{2} \Delta m$.

В кг это дает джоули; в атомных единицах массы используйте $\Delta E\ (\text{MeV}) = \Delta m\ (\text{u}) \times 931$.

Разобранный пример. В ядерной реакции общая масса уменьшается на $0.020\ \text{u}$. Найдите выделяемую энергию.

Разобранный пример (синтез). Дефект масс дейтерия $^{2}_{1}\text{H}$ составляет $0.002\,388\ \text{u}$, а гелия-4 — $0.030\,377\ \text{u}$. Найдите энергию, выделяющуюся при слиянии двух ядер дейтерия в одно ядро гелия-4.

Выделяемая энергия $=$ (энергия связи продуктов) $-$ (энергия связи исходных веществ) $= [0.030\,377 - 2 \times 0.002\,388] \times 931.5 = 0.025\,601 \times 931.5 = 23.8\ \text{MeV}$ ($3.82 \times 10^{-12}\ \text{J}$). Дефекты масс можно использовать напрямую таким образом, поскольку число нуклонов по обе стороны одинаково; разность дефектов есть масса, превратившаяся в энергию. На килограмм дейтерия это $5.7 \times 10^{14}\ \text{J}$, примерно в миллион раз больше, чем у химического топлива.

Разобранный пример (деление). $^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \to {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\text{n}$. Массы: U-235 $235.043\,9\ \text{u}$, n $1.008\,665\ \text{u}$, Ba-141 $140.914\,4\ \text{u}$, Kr-92 $91.926\,2\ \text{u}$. Найдите выделяемую энергию.

Исходные вещества: $235.043\,9 + 1.008\,665 = 236.052\,6\ \text{u}$. Продукты: $140.914\,4 + 91.926\,2 + 3 \times 1.008\,665 = 235.866\,6\ \text{u}$. $\Delta m = 0.186\,0\ \text{u}$, следовательно, $\Delta E = 0.186\,0 \times 931.5 = 173\ \text{MeV} = 2.8 \times 10^{-11}\ \text{J}$ на один акт деления. Подсчитайте три нейтрона справа и один слева: пропуск одного изменит ответ на целую нуклонную массу.

Разобранный пример (альфа-распад и импульс). Неподвижное ядро $^{238}_{92}\text{U}$ распадается на $^{234}_{90}\text{Th}$ путем испускания $\alpha$-частицы; общая выделившаяся кинетическая энергия составляет $4.27\ \text{MeV}$. Найдите кинетическую энергию $\alpha$-частицы.

Импульс сохраняется, а родительское ядро было в покое, поэтому $\alpha$ и ядро тория имеют равные и противоположные импульсы $p$. При $E_{\text{K}} = p^{2}/2m$ энергии относятся обратно пропорционально массам: $E_{\alpha}/E_{\text{Th}} = m_{\text{Th}}/m_{\alpha} = 234/4$. Следовательно, $E_{\alpha} = 4.27 \times 234/238 = 4.20\ \text{MeV}$ и торий отскакивают, получая лишь $0.07\ \text{MeV}$. $\alpha$-частицы при данном распаде испускаются со всей этой одной энергией, что является признаком того, что энергия распределяется между всего двумя телами.

Разобранный пример (радиоактивный источник питания). Космический зонд питается от $0.874\ \text{kg}$ плутония-238, период полураспада которого составляет $87.7$ лет; при каждом распаде выделяется энергия $5.59\ \text{MeV}$. Найдите мощность, доступную в момент запуска.

Число ядер: $N = 0.874/(238 \times 1.661 \times 10^{-27}) = 2.21 \times 10^{24}$. Постоянная распада: $\lambda = 0.693/(87.7 \times 3.156 \times 10^{7}) = 2.50 \times 10^{-10}\ \text{s}^{-1}$. Активность: $A = \lambda N = 5.53 \times 10^{14}\ \text{Bq}$. Мощность $= A \times E = 5.53 \times 10^{14} \times 5.59 \times 1.60 \times 10^{-13} = 490\ \text{W}$, уменьшающаяся вдвое каждые $87.7$ лет. Нуклид с более коротким периодом полураспада обеспечивал бы большую мощность на килограмм, но не выдержал бы длительность миссии; полоний-210 ($138$ дней) был бы значительно мощнее в начале, но стал бы бесполезным уже через два года.

Случайный и спонтанный

Радиоактивный распад является:

• спонтанным — он происходит без внешнего воздействия, а скорость не изменяется под влиянием температуры, давления или химического состояния; и
• случайным — невозможно предсказать, когда именно распадется конкретное ядро, можно лишь указать вероятность его распада за заданное время.

Доказательство случайности: счетная скорость колеблется. Счетчик Гейгера, расположенный рядом с источником, издает щелчки через неравные промежутки времени — никогда не равномерной последовательностью, хотя среднее значение скорости за длительный период хорошо определено.

Определения для двух баллов. Радиоактивный распад — это спонтанное и случайное испускание частицы ($\alpha$ или $\beta$) или фотона ($\gamma$) нестабильным ядром. Спонтанный означает, что распад не подвержен влиянию внешних факторов: температуры, давления, химического состояния или присутствия других ядер. Случайный означает, что невозможно предсказать, какое именно ядро распадется следующим или когда распадется данное ядро; можно лишь указать вероятность. Доказательство случайности: счетная скорость колеблется от интервала к интервалу, даже для источника, активность которого не меняется в ходе эксперимента.

Активность и постоянная распада

Для $N$ нераспавшихся ядер радионуклида скорость распада равна

• $A$ — это активность — число распадов в единицу времени. Единица измерения: беккерель (Бк) $= \text{s}^{-1}$.
• $\lambda$ — это постоянная распада — вероятность распада ядра в единицу времени. Единица измерения: $\text{s}^{-1}$.

$\lambda$ неизменна для данного нуклида; образец большего размера (с большим $N$) имеет пропорционально большую активность.

Определения для одного балла. Активность — это число распадов (ядер) в единицу времени, или скорость распада. Постоянная распада — это вероятность распада (данного) ядра в единицу времени. Не «скорость распада»: это активность. Обратите внимание, что единицы измерения совпадают, $\text{s}^{-1}$, но $A$ подсчитывает события, а $\lambda$ представляет собой вероятность в секунду.

Разобранный пример. Фтор-18 имеет период полураспада $110$ минут. Докажите, что его постоянная распада равна $1.05 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}$, и найдите активность $2.1 \times 10^{-12}\ \text{kg}$ фтора-18.

$\lambda = 0.693/(110 \times 60) = 1.05 \times 10^{-4}\ \text{s}^{-1}$. Число ядер равно массе, деленной на массу одного ядра: $N = 2.1 \times 10^{-12}/(18 \times 1.661 \times 10^{-27}) = 7.0 \times 10^{13}$. Следовательно, $A = \lambda N = 1.05 \times 10^{-4} \times 7.0 \times 10^{13} = 7.4 \times 10^{9}\ \text{Bq}$. Малая масса дает огромную активность из-за короткого периода полураспада; та же масса уран-238 (период полураспада $4.5 \times 10^{9}$ лет) обеспечила бы примерно $10^{-5}\ \text{Bq}$.

Экспоненциальный распад

Поскольку $\lambda$ — это доля распада в единицу времени, $\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N$, решением которого является экспоненциальный распад:

Так как $A = \lambda N$, активность (и любая счетная скорость, пропорциональная ей), убывает аналогичным образом:

Почему экспоненциально? Для каждого ядра $\lambda$ является фиксированной вероятностью распада в единицу времени, независимой от других ядер и возраста самого ядра. Поэтому в каждый промежуток времени распадается одна и та же доля, что приводит к экспоненциальному спаду.

Написание объяснения (три балла). (1) Постоянная распада — это вероятность распада в единицу времени и она одинакова для каждого ядра нуклида, независимо от его возраста. (2) Следовательно, скорость распада, то есть активность, пропорциональна числу нераспавшихся ядер в данный момент: $A = \lambda N$. (3) Скорость изменения, пропорциональная самой величине, дает экспоненциальное изменение; эквивалентно, одна и та же доля оставшихся ядер распадается за каждый равный промежуток времени, поэтому число ядер никогда не достигает нуля, но уменьшается вдвое за каждый период полураспада.

Период полураспада

Период полураспада $t_{1/2}$ — это время, за которое число нераспавшихся ядер (или активность, или счетная скорость) уменьшается до половины. Из $N = N_{0} e^{-\lambda t}$ при $N = N_{0}/2$:

Разобранный пример. Радиоактивный изотоп имеет период полураспада $6.0$ часов. Найдите его постоянную распада.

Переведите период полураспада в секунды: $6.0\ \text{h} = 21\,600\ \text{s}$. Затем

Большая постоянная распада означает меньший период полураспада. После $n$ периодов полураспада оставшаяся доля составляет $(1/2)^{n}$; после 5 периодов полураспада остается лишь около 3%.

Определение периода полураспада. Время, за которое число нераспавшихся ядер (или активность) образца уменьшается вдвое по сравнению с начальным значением. Формулировка «распадается половина атомов» принимается; формулировка «исчезает половина образца» не принимается, поскольку распавшиеся ядра остаются в виде дочернего продукта.

Чтение графика с двумя изотопами. Когда X распадается до стабильного Y, $N_{\text{Y}} = N_{0} - N_{\text{X}} = N_{0}(1 - e^{-\lambda t})$. Период полураспада — это время, в которое кривые пересекаются ($N_{\text{X}} = N_{\text{Y}} = N_{0}/2$), или время, за которое $N_{\text{X}}$ уменьшается вдвое. Если на графике указаны начальное число $N_{0}$ и начальная масса $m$, массовое число выводится из $m = N_{0} A u$: для $m = 7.3 \times 10^{-4}\ \text{kg}$ и $N_{0} = 2.0 \times 10^{21}$, $A = m/(N_{0} u) = 7.3 \times 10^{-4}/(2.0 \times 10^{21} \times 1.661 \times 10^{-27}) = 220$.

Разобранный пример. Образец чистого радиоактивного изотопа имеет активность $180\ \text{Bq}$ при $t = 0$ и $45\ \text{Bq}$ через $t = 8.4$ минут. Найдите период полураспада и постоянную распада, а также активность еще через $8.4$ минут.

$45/180 = 1/4 = (1/2)^{2}$: два периода полураспада за $8.4$ минут, значит $t_{1/2} = 4.2\ \text{min} = 252\ \text{s}$ и $\lambda = 0.693/252 = 2.8 \times 10^{-3}\ \text{s}^{-1}$. После еще двух периодов полураспада активность составит $45/4 = 11\ \text{Bq}$. Когда отношение не является точной степенью двойки, используйте $t = \ln(A_{0}/A)/\lambda$: чтобы активность упала с $180$ до $50\ \text{Bq}$ требуется $\ln(3.6)/2.75 \times 10^{-3} = 466\ \text{s}$. Всегда переводите период полураспада в секунды, прежде чем найти $\lambda$, если активность дана в беккерелях.

Нахождение $\lambda$ по данным

Зная $A_{0}$ и $A$ в момент времени $t$:

Логарифмирование $A = A_{0} e^{-\lambda t}$ дает $\ln A = \ln A_{0} - \lambda t$, поэтому график $\ln A$ от $t$ представляет собой прямую линию с наклоном $-\lambda$. Используйте это вместе с несколькими точками данных.

Счетная скорость не равна активности. Детектор регистрирует только излучение, которое достигает его и поглощается им: доля определяется охватываемым телесным углом, поглощением в воздухе и самом источнике, а также эффективностью детектора. Поэтому измеренная счетная скорость меньше активности, но пропорциональна ей, а период полураспада, полученный из графика счетной скорости, верен. Вычтите фон (измеряемый без источника) из каждого показания перед вычислением отношений или логарифмов; неисчтенный фон делает кривую более пологой, и период полураспада кажется слишком большим.

Трацеры в медицине. Фтор-18 и кислород-15 являются $\beta^{+}$-излучателями, используемыми как трацеры в ПЭТ-сканировании (Тема 24): позитрон аннигилирует с электроном, порождая два гамма-фотона, которые улетают в противоположных направлениях и указывают местоположение трацера. Выбирается короткий период полураспада ($110$ минут, $2$ минут), чтобы активность быстро падала после сканирования, а доза пациенту оставалась малой, ценой необходимости производить изотоп рядом с больницей и использовать его немедленно.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• $E = mc^{2}$ с $1\ \text{u} = 931.5\ \text{MeV}$: работайте в а.е.м. и МэВ для реакций, затем переведите в джоули только если просят ($1\ \text{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\ \text{J}$).
• Выделяемая энергия $=$ (суммарная масса до $-$ суммарная масса после) $\times c^{2}$, или (энергия связи после $-$ энергия связи до). Дефекты масс можно вычитать напрямую, если общее число нуклонов не изменилось.
• Кривая: крутой подъем, пик $8.8\ \text{MeV}$ около $A = 56$, плавный спад. Продукты, расположенные выше на кривой, означают выделение энергии; синтез слева, деление (и α-распад) справа.
• Балансируйте каждое уравнение дважды: числа нуклонов сверху, заряды (протонные числа) снизу; β-распады сопровождаются нейтрино или антинейтрино.
• $A = \lambda N$, $\lambda = 0.693/t_{1/2}$ с $t_{1/2}$ в секундах; $N$ из массы: $N = m/(A u)$. Отношения $1/2$, $1/4$, $1/8$ соответствуют целому числу периодов полураспада; иначе используйте $t = \ln(x_{0}/x)/\lambda$.
• Объяснения отмечены ключевыми словами: постоянная вероятность, скорость пропорциональна числу, одинаковая доля за интервал; колеблющаяся счетная скорость для демонстрации случайности; независимость от внешних условий для спонтанности.

Распространенные ошибки

• Определение энергии связи как «энергии, удерживающей ядро вместе» или «энергии, запасенной в ядре»; это энергия, необходимая для разделения нуклонов.
• Вычитание масс в неправильном порядке и получение отрицательного значения выделяемой энергии, или забывание нейтрона(ов) с одной стороны уравнения деления.
• Рисование кривой энергии связи, убывающей так же круто, как и растущей, или достигающей нуля при больших $A$.
• Использование периода полураспада в минутах или годах при активности в беккерелях; сначала переведите в секунды.
• Путаница между постоянной распада (вероятность в секунду) и активностью (распады в секунду).
• Утверждение «половина образца исчезает» для периода полураспада, или что после двух периодов полураспада ничего не осталось.
• Давать определение «случайного» как «происходит в любое время» без уточнения «нельзя предсказать, какое ядро или когда», либо «спонтанного» без указания «не зависит от внешних факторов».
• Рассматривать скорость счета как активность, или забывать вычитать фоновое излучение.
• Предполагать, что α-частица и ядро отдачи делят энергию поровну; они делят импульс поровну.