Внимательно посмотрите на вспышку фотоаппарата. Перед снимком крошечная часть гудит и пищит в течение секунды — вы можете даже услышать этот звук. Он заряжает конденсатор, накапливая…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
19.1
Capacitance · Ёмкость
Syllabus · Программа
English
define capacitance, as applied to both isolated spherical conductors and to parallel plate capacitors
recall and use $C = Q/V$
derive, using $C = Q/V$, formulae for the combined capacitance of capacitors in series and in parallel
use the capacitance formulae for capacitors in series and in parallel
Русский
определить ёмкость как для изолированных сферических проводников, так и для плоских конденсаторов
вспоминать и использовать $C = Q/V$
вывести, используя $C = Q/V$, формулы для суммарной ёмкости конденсаторов при последовательном и параллельном соединении
применять формулы ёмкости для конденсаторов при последовательном и параллельном соединении
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
A capacitor 电容器 stores charge. The simplest one is two parallel conductor 导体 plates with an insulator 绝缘体 (a dielectric 电介质, or just vacuum 真空 / air) between them. Connected to a battery, charge $+Q$ builds up on one plate and $-Q$ on the other, with a potential difference 电势差$V$ across the gap.
How the plates become charged. Connect the plates to a battery and electrons flow, through the battery, from the plate joined to the positive terminal 接线端 to the plate joined to the negative terminal. One plate is left with charge $+Q$ and the other gains $-Q$: the charges are always equal and opposite, so the capacitor as a whole stays neutral. The flow stops when the p.d. between the plates equals the e.m.f. of the battery. Nothing crosses the gap; the insulator is what keeps the charge separated.
The capacitance 电容$C$ of any capacitor (or any isolated conductor) is
$$C = \frac{Q}{V}.$$
This applies to:
an isolated sphere holding charge $Q$ at potential $V$ (zero at infinity). For radius $r$, $V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$, so $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$.
a parallel-plate capacitor: charges $\pm Q$ on the plates, p.d. $V$ between them.
Unit: farad 法拉 (F) $= \text{C V}^{-1}$. A farad is huge, so real capacitors run from $\text{pF}$ to $\text{mF}$.
Capacitance is constant for a given capacitor (set by its size and dielectric). Doubling the charge doubles the voltage, so $C = Q/V$ stays the same.
The two-mark definitions. For a parallel-plate capacitor: the charge on one plate per unit potential difference between the plates. For an isolated sphere (or any isolated conductor): the charge on the conductor per unit potential. The examiner looks for "charge per unit p.d." (or "per unit potential") and, for the plates, that the charge is the charge on one plate and the p.d. is that between the plates. "The charge stored" is accepted; "the total charge on both plates" is not, because that total is zero.
What sets the capacitance. For parallel plates the capacitance is proportional to the plate area and inversely proportional to the separation$x$ ($C \propto 1/x$: halve the gap and the capacitance doubles), and it rises when a dielectric replaces the air. A question that states "$C$ is inversely proportional to $x$" and then moves the plates apart at constant charge is asking for $V = Q/C \propto x$: the p.d. rises in proportion. At constant p.d. (still connected to the supply) it is the charge that falls instead.
Worked example. A $100\ \mu\text{F}$ capacitor is charged to $12\ \text{V}$. Find the charge stored.
Worked example. An isolated metal sphere of radius $15\ \text{cm}$ is charged to a potential of $9.0 \times 10^{3}\ \text{V}$. Find its capacitance and its charge. It is then discharged to earth through a $120\ \text{M}\Omega$ resistor: find the time constant of the discharge.
The time constant is $RC = (1.2 \times 10^{8})(1.67 \times 10^{-11}) = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{s}$: even through an enormous resistance the sphere loses its charge in milliseconds, because its capacitance is so small. Notice that $4\pi\varepsilon_{0} = 1/(8.99 \times 10^{9})$, so $C = r/(8.99 \times 10^{9})$ with $r$ in metres.
Combining capacitors
Capacitors in parallel share the same p.d. $V$. The total charge is the sum:
$$Q_{\text{total}} = C_{1} V + C_{2} V + \ldots, \qquad\text{so}\qquad C_{\text{parallel}} = C_{1} + C_{2} + \ldots$$
A parallel combination has larger capacitance than any one capacitor.
Capacitors in series carry the same charge$Q$. The total p.d. is the sum:
A series combination has smaller capacitance than any one capacitor.
Note: these rules are the opposite of those for resistors (resistors sum in series; capacitors sum in parallel), because $C = Q/V$ has $V$ on the bottom while $R = V/I$ has $I$ on the bottom.
Deriving the two rules
"Derive an expression for the combined capacitance" is a show that question, and the mark scheme wants the physics stated, not just the algebra.
Series. The capacitors carry the same charge$Q$: the plate joined to the positive terminal loses electrons to the far plate of the next capacitor, so every plate in the chain holds $\pm Q$. The p.d.s add: $V = V_{1} + V_{2}$. With $V_{1} = Q/C_{1}$ and $V_{2} = Q/C_{2}$, and the combination defined by $V = Q/C$, dividing through by $Q$ gives $1/C = 1/C_{1} + 1/C_{2}$.
Parallel. The capacitors have the same p.d.$V$, because each is connected directly across the supply. The charges add: $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}V + C_{2}V$, and $Q = CV$ for the combination, so $C = C_{1} + C_{2}$.
Two capacitors in series always give less than the smaller one; two equal capacitors $C$ give $C/2$ in series and $2C$ in parallel.
Worked example. A $6.0\ \mu\text{F}$ capacitor is in series with a parallel pair of $2.0\ \mu\text{F}$ and $4.0\ \mu\text{F}$. Find the total capacitance, and the charge on each capacitor when $12\ \text{V}$ is applied across the network.
Parallel pair: $2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$. In series with $6.0\ \mu\text{F}$: $1/C = 1/6.0 + 1/6.0$, so $C = 3.0\ \mu\text{F}$. Total charge $Q = CV = (3.0 \times 10^{-6})(12) = 3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$: this is the charge on the $6.0\ \mu\text{F}$ capacitor (series, same charge), and it is shared by the parallel pair in the ratio of their capacitances (same p.d., $6.0\ \text{V}$ across each): the $2.0\ \mu\text{F}$ holds $1.2 \times 10^{-5}\ \text{C}$ and the $4.0\ \mu\text{F}$ holds $2.4 \times 10^{-5}\ \text{C}$. Check: they add to $3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$.
Worked example. Capacitors X and Y, each of capacitance $C$, are connected in series across a supply of voltage $V$; capacitors P and Q, each $C$, are connected in parallel across an identical supply. Compare the charge drawn from each supply and the energy stored in each arrangement.
Series: $C_{\text{s}} = C/2$, charge $Q_{\text{s}} = CV/2$, energy $\tfrac{1}{2} C_{\text{s}} V^{2} = CV^{2}/4$. Parallel: $C_{\text{p}} = 2C$, charge $2CV$, energy $CV^{2}$. The parallel arrangement draws four times the charge and stores four times the energy, because at the same supply voltage the energy is $\tfrac{1}{2} C V^{2}$ and the capacitance is four times larger. Asked which arrangement stores more energy from a given supply, the answer is always parallel.
Русский
Конденсаторы накапливают электрический заряд в цепи.
Конденсатор накапливает заряд. Самый простой вариант — две параллельные проводящие пластины с диэлектриком (изолятором, или просто вакуумом / воздухом) между ними. При подключении к источнику питания на одной пластине накапливается заряд $+Q$, а на другой — $-Q$, создавая разность потенциалов$V$ на зазоре.
Конденсатор с параллельными пластинами: равные и противоположные заряды на двух пластинах с разностью потенциалов $V$ на зазоре
Как пластины заряжаются. Подключите пластины к источнику питания, и электроны будут перетекать через источник от пластины, соединённой с положительным зажимом, к пластине, соединённой с отрицательным зажимом. На одной пластине остаётся заряд $+Q$, а другая приобретает $-Q$: заряды всегда равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому сам конденсатор остаётся нейтральным. Ток прекращается, когда разность потенциалов между пластинами равна ЭДС источника. Ничего не проходит сквозь зазор; именно изолятор удерживает заряды разделёнными.
Ёмкость$C$ любого конденсатора (или любого изолированного проводника) определяется как
$$C = \frac{Q}{V}.$$
Это справедливо для:
изолированная сфера, несущая заряд $Q$ при потенциале $V$ (нулевом на бесконечности). Для радиуса $r$ выполняется $V = Q/(4\pi\varepsilon_{0}r)$, поэтому $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$.
плоский конденсатор: заряд $\pm Q$ на обкладках, разность потенциалов $V$ между ними.
Единица: фарад (Ф) $= \text{C V}^{-1}$. Фарад — очень большая величина, поэтому ёмкость реальных конденсаторов варьируется от $\text{pF}$ до $\text{mF}$.
Ёмкость является постоянной для данного конденсатора (определяется его геометрией и диэлектриком). Удвоение заряда удваивает напряжение, поэтому $C = Q/V$ остаётся неизменным.
Определения на два балла. Для плоского конденсатора: заряд одной обкладки на единицу разности потенциалов между обкладками. Для изолированной сферы (или любого изолированного проводника): заряд проводника на единицу потенциала. Экзаменатор ожидает фразу «заряд на единицу p.d.» (или «на единицу потенциала»), а также для плоских конденсаторов уточнение, что речь идёт о заряде одной обкладки, а p.d. — это разность потенциалов между обкладками. Фраза «накопленный заряд» принимается; «полный заряд на обеих обкладках» — нет, так как этот полный заряд равен нулю.
Что определяет ёмкость. Для параллельных пластин ёмкость пропорциональна площади пластин и обратно пропорциональна расстоянию между ними $x$ ($C \propto 1/x$: уменьшение зазора вдвое удваивает ёмкость); она возрастает, если воздух заменяется диэлектриком. Вопрос, в котором сказано «$C$ обратно пропорционально $x$» и далее пластины раздвигают при постоянном заряде, требует найти $V = Q/C \propto x$: напряжение возрастает пропорционально. При постоянном напряжении (подключённом к источнику) вместо этого уменьшается заряд.
Разобранный пример. Изолированная металлическая сфера радиусом $15\ \text{cm}$ заряжена до потенциала $9.0 \times 10^{3}\ \text{V}$. Найдите её ёмкость и заряд. Затем она разряжается через землю через резистор сопротивлением $120\ \text{M}\Omega$: найдите постоянную времени разряда.
Постоянная времени составляет $RC = (1.2 \times 10^{8})(1.67 \times 10^{-11}) = 2.0 \times 10^{-3}\ \text{s}$: даже через огромное сопротивление сфера теряет свой заряд за миллисекунды из-за своей малой ёмкости. Обратите внимание, что $4\pi\varepsilon_{0} = 1/(8.99 \times 10^{9})$, поэтому $C = r/(8.99 \times 10^{9})$ при $r$ в метрах.
Реальные конденсаторы варьируются от больших электролитических баночек (высокая ёмкость) до крошечных плёночных и керамических типов — от пФ до мФ
Соединение конденсаторов
Конденсаторы параллельно имеют одинаковую разность потенциалов $V$. Полный заряд равен сумме:
$$Q_{\text{total}} = C_{1} V + C_{2} V + \ldots, \qquad\text{so}\qquad C_{\text{parallel}} = C_{1} + C_{2} + \ldots$$
При параллельном соединении общая ёмкость больше, чем у любого отдельного конденсатора.
Конденсаторы параллельно имеют одинаковую разность потенциалов; заряды складываются
Конденсаторы последовательно несут одинаковый заряд$Q$. Общая разность потенциалов равна сумме:
При последовательном соединении общая ёмкость меньше, чем у любого отдельного конденсатора.
Конденсаторы последовательно несут одинаковый заряд; разности потенциалов складываются
Примечание: эти правила являются противоположными правилам для резисторов (резисторы суммируются при последовательном соединении; конденсаторы суммируются при параллельном), потому что $C = Q/V$ имеет $V$ внизу, а $R = V/I$ имеет $I$ внизу.
Вывод двух правил
«Выведите выражение для суммарной ёмкости» — это вопрос типа «покажите», и схема оценивания требует формулировки физической сути, а не только алгебраических преобразований.
Последовательно. Конденсаторы несут одинаковый заряд$Q$: обкладка, соединённая с положительным полюсом, отдаёт электроны дальней обкладке следующего конденсатора, поэтому каждая обкладка в цепи содержит $\pm Q$. Разности потенциалов складываются: $V = V_{1} + V_{2}$. Учитывая $V_{1} = Q/C_{1}$ и $V_{2} = Q/C_{2}$, а также определение комбинации через $V = Q/C$, деление всего уравнения на $Q$ даёт $1/C = 1/C_{1} + 1/C_{2}$.
Параллельно. Конденсаторы имеют одно и то же напряжение$V$, поскольку каждый подключён непосредственно к источнику. Заряды складываются: $Q = Q_{1} + Q_{2} = C_{1}V + C_{2}V$, а для соединения суммарная ёмкость равна $Q = CV$, поэтому $C = C_{1} + C_{2}$.
Два конденсатора, соединённых последовательно, всегда дают результат меньше, чем меньший из них; два одинаковых конденсатора $C$ дают $C/2$ при последовательном соединении и $2C$ при параллельном.
Сеть упрощается шаг за шагом: сначала объедините параллельную пару, затем последовательную
Разобранный пример. Конденсатор ёмкостью $6.0\ \mu\text{F}$ соединён последовательно с параллельной парой конденсаторов ёмкостью $2.0\ \mu\text{F}$ и $4.0\ \mu\text{F}$. Найдите общую ёмкость и заряд на каждом конденсаторе при приложенном напряжении $12\ \text{V}$.
Параллельная пара: $2.0 + 4.0 = 6.0\ \mu\text{F}$. Последовательно с $6.0\ \mu\text{F}$: $1/C = 1/6.0 + 1/6.0$, следовательно $C = 3.0\ \mu\text{F}$. Общий заряд $Q = CV = (3.0 \times 10^{-6})(12) = 3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$: это заряд на конденсаторе $6.0\ \mu\text{F}$ (последовательное соединение, одинаковый заряд), и он распределяется между параллельной парой в соотношении их ёмкостей (одинаковая p.d., $6.0\ \text{V}$ на каждом): конденсатор $2.0\ \mu\text{F}$ содержит $1.2 \times 10^{-5}\ \text{C}$, а конденсатор $4.0\ \mu\text{F}$ содержит $2.4 \times 10^{-5}\ \text{C}$. Проверка: они в сумме дают $3.6 \times 10^{-5}\ \text{C}$.
Разобранный пример. Конденсаторы X и Y, каждый ёмкостью $C$, соединены последовательно к источнику напряжения $V$; конденсаторы P и Q, каждый ёмкостью $C$, соединены параллельно к такому же источнику. Сравните заряд, извлечённый из каждого источника, и энергию, накопленную в каждой схеме.
Последовательно: $C_{\text{s}} = C/2$, заряд $Q_{\text{s}} = CV/2$, энергия $\tfrac{1}{2} C_{\text{s}} V^{2} = CV^{2}/4$. Параллельно: $C_{\text{p}} = 2C$, заряд $2CV$, энергия $CV^{2}$. Параллельная схема принимает в четыре раза больше заряда и накапливает в четыре раза больше энергии, потому что при том же напряжении источника энергия $\tfrac{1}{2} C V^{2}$, а ёмкость в четыре раза больше. На вопрос о том, какая схема накапливает больше энергии от данного источника, ответ всегда — параллельная.
Explore · Исследовать
Capacitance · Ёмкость
Q = C·V
Charge stored is proportional to voltage — the gradient is the capacitance C. · Накопленный заряд пропорционален напряжению — наклон графика равен ёмкости C.
Energy stored in a capacitor · Энергия, накопленная в конденсаторе
Syllabus · Программа
English
determine the electric potential energy stored in a capacitor from the area under the potential–charge graph
recall and use $W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2$
Русский
определять электрическую потенциальную энергию, запасённую в конденсаторе, по площади под графиком зависимости потенциала от заряда
вспоминать и использовать $W = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2$
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Charging a capacitor from $0$ to $Q$ needs work, because each extra bit of charge is pushed against the p.d. already there. When the charge is $q$, the p.d. is $V(q) = q/C$, so adding a small charge $dq$ needs work $V\,dq$. The total work is
Worked example. The graph of charge $Q$ against p.d. $V$ for a capacitor is a straight line through the origin passing through $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Find the capacitance and the energy stored at $10\ \text{V}$, and then the extra energy stored when the p.d. is raised to $12\ \text{V}$.
The gradient of $Q$ against $V$ is $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$. Energy is the area under the line: $\tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$. At $12\ \text{V}$: $\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-4})(12)^{2} = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, so the extra energy is $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Do not find the extra energy from the extra charge as $\tfrac{1}{2}(\Delta Q)V$: energy is not proportional to charge, so subtract the two areas.
Reading the $Q$–$V$ graph
A plot of $V$ against $Q$ is a straight line through the origin with gradient $1/C$. The energy stored is the area under the line up to a given charge $Q$, which is the triangle $\tfrac{1}{2} Q V$. The factor $\tfrac{1}{2}$ is there because the average p.d. during charging is $V/2$ (it grows from zero to $V$), not $V$.
Why charging is "half efficient"
Connect a capacitor $C$ to an ideal battery of e.m.f. $V$ through a wire. The capacitor stores $\tfrac{1}{2} C V^{2}$, but the battery supplies charge $Q = CV$ at e.m.f. $V$, giving out $QV = CV^{2}$. The other half is lost as heat in the wire — whatever the wire's resistance.
Sharing charge between capacitors
A fully charged capacitor X (capacitance $C$, p.d. $V$, charge $Q = CV$) is disconnected from its supply and connected across an uncharged capacitor Y of capacitance $3C$. Charge flows until the two p.d.s are equal. Two principles settle everything:
Charge is conserved. The total charge is still $Q$, now spread over a parallel pair of total capacitance $4C$, so the common p.d. is $V' = Q/(4C) = V/4$. X keeps $Q/4$ and Y takes $3Q/4$ (charge in the ratio of the capacitances, since the p.d. is the same).
Energy is not conserved. Before: $\tfrac{1}{2} C V^{2}$. After: $\tfrac{1}{2}(4C)(V/4)^{2} = \tfrac{1}{8} C V^{2}$. Three-quarters of the energy has gone: it is dissipated 耗散 as heat in the connecting wires (and as a spark or electromagnetic radiation) while the charge moves, however small the resistance.
Worked example. A $220\ \mu\text{F}$ capacitor charged to $9.0\ \text{V}$ is connected across an uncharged $440\ \mu\text{F}$ capacitor. Find the final p.d. and the energy lost.
$Q = CV = (220 \times 10^{-6})(9.0) = 1.98 \times 10^{-3}\ \text{C}$; total capacitance $660\ \mu\text{F}$, so $V' = 1.98 \times 10^{-3}/(660 \times 10^{-6}) = 3.0\ \text{V}$. Energy before: $\tfrac{1}{2}(220 \times 10^{-6})(9.0)^{2} = 8.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$; after: $\tfrac{1}{2}(660 \times 10^{-6})(3.0)^{2} = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$; lost: $5.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$, two-thirds of the original. A capacitor connected to another of capacitance $kC$ always loses the fraction $k/(k+1)$.
Русский
Зарядка конденсатора от $0$ до $Q$ требует работы, так как каждый последующий элемент заряда проталкивается против уже существующей разности потенциалов. Когда заряд равен $q$, разность потенциалов составляет $V(q) = q/C$, поэтому добавление малого заряда $dq$ требует работы $V\,dq$. Полная работа равна
Разобранный пример. График зависимости заряда $Q$ от разности потенциалов $V$ для конденсатора представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат и точку $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Найдите ёмкость и энергию, накопленную при $10\ \text{V}$, а затем дополнительную энергию, накопленную при повышении разности потенциалов до $12\ \text{V}$.
Наклон графика зависимости $Q$ от $V$ равен $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$. Энергия — это площадь под линией: $\tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$. При $12\ \text{V}$: $\tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2}(1.2 \times 10^{-4})(12)^{2} = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, следовательно, дополнительная энергия равна $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Не вычисляйте дополнительную энергию как произведение дополнительного заряда на напряжение ($\tfrac{1}{2}(\Delta Q)V$): энергия не пропорциональна заряду, поэтому нужно вычесть одну площадь из другой.
Чтение графика зависимости $Q$–$V$
График зависимости $V$ от $Q$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат с наклоном $1/C$. Накопленная энергия равна площади под линией до заданного заряда $Q$, то есть площади треугольника $\tfrac{1}{2} Q V$. Множитель $\tfrac{1}{2}$ присутствует потому, что средняя разность потенциалов во время зарядки составляет $V/2$ (она возрастает от нуля до $V$), а не $V$.
Накопленная энергия равна площади под линией зависимости потенциала от заряда (треугольник $\tfrac{1}{2}QV$)
Почему зарядка «полупроцентная»
Подключите конденсатор $C$ к идеальному источнику ЭДС $V$ через провод. Конденсатор накапливает $\tfrac{1}{2} C V^{2}$, но источник обеспечивает заряд $Q = CV$ при ЭДС $V$, отдавая энергию $QV = CV^{2}$. Вторая половина теряется в виде тепла в проводе — каково бы ни было сопротивление провода.
Распределение заряда между конденсаторами
Подключение заряженного конденсатора к незаряженному: заряд сохраняется, разность потенциалов выравнивается, энергия теряется
Полностью заряженный конденсатор X (ёмкость $C$, разность потенциалов $V$, заряд $Q = CV$) отключают от источника и подключают параллельно незаряженному конденсатору Y ёмкостью $3C$. Заряд перетекает до выравнивания разностей потенциалов. Два принципа определяют всё:
Заряд сохраняется. Суммарный заряд остаётся равным $Q$, теперь он распределён по параллельной паре общей ёмкостью $4C$, поэтому общая разность потенциалов составляет $V' = Q/(4C) = V/4$. Конденсатор X сохраняет заряд $Q/4$, а конденсатор Y получает заряд $3Q/4$ (заряд распределяется в отношении ёмкостей, поскольку разность потенциалов одинакова).
Энергия не сохраняется. До: $\tfrac{1}{2} C V^{2}$. После: $\tfrac{1}{2}(4C)(V/4)^{2} = \tfrac{1}{8} C V^{2}$. Три четверти энергии исчезли: она рассеивается в виде тепла в соединительных проводах (а также в виде искры или электромагнитного излучения) во время движения заряда, каким бы малым ни было сопротивление.
Разобранный пример. Конденсатор $220\ \mu\text{F}$, заряженный до $9.0\ \text{V}$, подключили параллельно незаряженному конденсатору $440\ \mu\text{F}$. Найдите конечную разность потенциалов и потерю энергии.
$Q = CV = (220 \times 10^{-6})(9.0) = 1.98 \times 10^{-3}\ \text{C}$; суммарная ёмкость $660\ \mu\text{F}$, следовательно, $V' = 1.98 \times 10^{-3}/(660 \times 10^{-6}) = 3.0\ \text{V}$. Энергия до: $\tfrac{1}{2}(220 \times 10^{-6})(9.0)^{2} = 8.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$; после: $\tfrac{1}{2}(660 \times 10^{-6})(3.0)^{2} = 3.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$; потеряно: $5.9 \times 10^{-3}\ \text{J}$, две трети от исходного значения. Конденсатор, подключённый к другому конденсатору ёмкостью $kC$, всегда теряет долю $k/(k+1)$.
Explore · Исследовать
Energy in a capacitor · Энергия в конденсаторе
E = ½C·V²
Stored energy grows with the square of the voltage. · Запасенная энергия растет пропорционально квадрату напряжения.
Capacitor discharging through a resistor · Разрядка конденсатора через резистор
Syllabus · Программа
English
analyse graphs of the variation with time of potential difference, charge and current for a capacitor discharging through a resistor
recall and use $\tau = RC$ for the time constant for a capacitor discharging through a resistor
use equations of the form $x = x_0 e^{-(t/RC)}$ where $x$ could represent current, charge or potential difference for a capacitor discharging through a resistor
Русский
анализировать графики изменения во времени разности потенциалов, заряда и тока для конденсатора, разряжающегося через резистор
вспоминать и использовать $\tau = RC$ для постоянной времени при разряде конденсатора через резистор
применять уравнения вида $x = x_0 e^{-(t/RC)}$, где $x$ может обозначать ток, заряд или разность потенциалов для конденсатора, разряжающегося через резистор
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
A capacitor $C$ charged to $V_{0}$ is connected through a switch to a resistor 电阻器 of resistance 电阻$R$. When the switch closes at $t = 0$, the capacitor discharges.
Setting up the equation
By Kirchhoff's second law 基尔霍夫第二定律 around the loop, $V_{C} = V_{R}$. Using $V_{C} = Q/C$, $V_{R} = IR$ and $I = -dQ/dt$:
$$\frac{Q}{C} = -R \frac{dQ}{dt}.$$
This is solved by an exponential decay 指数衰减 with time constant $RC$.
Discharge equations
Charge $Q$, p.d. $V$ and current $I$ all decay exponentially with the same time constant:
$$Q = Q_{0} e^{-t / (RC)}, \qquad V = V_{0} e^{-t / (RC)}, \qquad I = I_{0} e^{-t / (RC)},$$
with $I_{0} = V_{0}/R$.
Reading the three graphs. All three curves have the same shape and the same time constant, so one measurement of $\tau$ from any of them gives $RC$. The current is largest the instant the switch closes, $I_{0} = V_{0}/R$, because the full p.d. $V_{0}$ is then across the resistor; it falls as the p.d. falls. The area under the $I$–$t$ graph is the charge that has flowed, so the total area is $Q_{0} = CV_{0}$, and the charge that flows in the first time constant is $Q_{0}(1 - e^{-1}) = 0.63\,Q_{0}$. The gradient of the $Q$–$t$ graph is $-I$: steepest at the start, flattening as the current dies away. (During charging through a resistor the current has the same decaying shape, while $V$ and $Q$ rise as $V_{0}(1 - e^{-t/RC})$, the mirror image of the discharge curve.)
Time constant
$$\tau = RC$$
is the time constant 时间常数 (in seconds: $\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$). It is the time for a decaying quantity to fall to $1/e \approx 0.37$ (about 37%) of its starting value. After $2\tau$ it is at about 13.5%; after $5\tau$, below 1%.
Worked example. A $100\ \mu\text{F}$ capacitor charged to $12\ \text{V}$ is discharged through a $47\ \text{k}\Omega$ resistor. Find the time constant and the voltage after one time constant.
After one time constant the voltage falls to $1/e$ of its start: $V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$.
Worked example. A $470\ \mu\text{F}$ capacitor is charged to $24\ \text{V}$ and then discharged through a $5.6\ \text{k}\Omega$ resistor. Find (a) the initial charge and energy, (b) the time constant and the initial current, (c) the p.d. after $4.0\ \text{s}$, (d) the time for the p.d. to fall to $6.0\ \text{V}$.
Keep the time constant unrounded ($2.632\ \text{s}$) inside the calculation and round only the answers. The rearrangement in (d) is the one most often asked and most often botched: $\ln(V/V_{0})$ is negative, so $t$ comes out positive.
Worked example. From a discharge graph, the p.d. across a $2200\ \mu\text{F}$ capacitor falls from $6.0\ \text{V}$ to $2.2\ \text{V}$ in $4.5\ \text{s}$. Find the resistance of the resistor.
$2.2/6.0 = 0.367 \approx 1/e$, so $4.5\ \text{s}$ is one time constant: $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{3}\ \Omega$. If the fall is not to $1/e$, use $RC = -t/\ln(V/V_{0})$; the answer is the same either way.
To find $\tau$ from a curve: read the time to fall to $1/e$ of the start. Or take logs: $\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$, so a plot of $\ln V$ against $t$ is a straight line with gradient $-1/(RC)$.
Using the logarithmic graph. In an experiment, plot $\ln V$ (or $\ln I$) on the $y$-axis against $t$. The points should lie on a straight line: its gradient is $-1/(RC)$, so $RC = -1/\text{gradient}$, and its intercept 截距 on the $\ln V$ axis is $\ln V_{0}$. A straight line is the test that the decay really is exponential; a curve means it is not. Take the gradient from two points far apart on the best-fit line, not from two data points, and quote $RC$ in seconds.
Reading graphs during discharge
$Q$ against $V_{C}$: since $Q = C V$ always, this is a straight line through the origin with gradient $C$. Discharge moves the point from $(V_{0}, Q_{0})$ down to $(0,0)$.
$I$ against $V_{C}$: since $I = V_{C}/R$, this is a straight line through the origin with gradient $1/R$, so you can find $R$.
Common exam questions
Given a discharge curve $V(t)$ or $Q(t)$:
read the start value $V_{0}$ or $Q_{0}$ at $t = 0$.
read the time to fall to $V_{0}/e$ → time constant $\tau = RC$.
given $R$, find $C = \tau / R$ (or the other way round).
predict a later value with the exponential formula.
A capacitor as a smoothing component
A rectifier 整流器 (Topic 21) turns an alternating voltage into a series of positive humps. A capacitor connected across the load smooths them. Near each peak 峰值 the diodes conduct and the capacitor charges to the peak voltage; as the supply voltage falls away the diodes stop conducting and the capacitor discharges through the load resistor, holding the output up until the next hump rises above it and recharges the capacitor. The output therefore falls only a little between peaks; the rise and fall that remains is the ripple 纹波.
How much it falls depends on the time constant of the discharge, $RC$, compared with the time between peaks. A larger capacitance, or a larger load resistance (a smaller load current), gives a larger $RC$, a slower decay and a smaller ripple; a heavily loaded supply (small $R$) has a larger ripple. Asked to sketch the smoothed output, draw it touching each peak, decaying slightly between them, and never falling to zero.
Русский
Конденсатор $C$, заряженный до $V_{0}$, подключают через ключ к резистору с сопротивлением$R$. При замыкании ключа в момент времени $t = 0$ конденсатор начинает разряжаться.
Конденсатор заряжается через переключатель A, затем разряжается через резистор с помощью переключателя B
Составление уравнения
Согласно второму закону Кирхгофа для контура, $V_{C} = V_{R}$. Используя $V_{C} = Q/C$, $V_{R} = IR$ и $I = -dQ/dt$:
$$\frac{Q}{C} = -R \frac{dQ}{dt}.$$
Это уравнение решается методом экспоненциального затухания с постоянной времени $RC$.
Уравнения разрядки
Заряд $Q$, разность потенциалов $V$ и ток $I$ экспоненциально убывают с той же постоянной времени:
$$Q = Q_{0} e^{-t / (RC)}, \qquad V = V_{0} e^{-t / (RC)}, \qquad I = I_{0} e^{-t / (RC)},$$
где $I_{0} = V_{0}/R$.
Ток разрядки начинается со значения $V_0/R$ и затухает с той же постоянной времени; площадь под кривой равна заряду, который протек
Чтение трёх графиков. Все три кривые имеют одинаковую форму и одинаковую временну́ю постоянную, поэтому одно измерение $\tau$ на любом из них даёт $RC$. Ток максимален в момент замыкания ключа, $I_{0} = V_{0}/R$, так как тогда на резисторе полное напряжение $V_{0}$; он убывает по мере падения напряжения. Площадь под графиком $I$–$t$ равна прошедшему заряду, поэтому общая площадь составляет $Q_{0} = CV_{0}$, а заряд, прошедший за первую временну́ю постоянную, равен $Q_{0}(1 - e^{-1}) = 0.63\,Q_{0}$. Наклон графика $Q$–$t$ равен $-I$: наибольший в начале, постепенно уменьшающийся по мере затухания тока. (При зарядке через резистор ток имеет ту же форму затухания, тогда как $V$ и $Q$ растут как $V_{0}(1 - e^{-t/RC})$, являясь зеркальным отражением кривой разряда).
Заряд экспоненциально спадает при разряде, уменьшаясь до $Q_0/e$ после одной постоянной времени $RC$
Постоянная времени
$$\tau = RC$$
является постоянной временем (в секундах: $\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$). Это время, за которое убывающая величина падает до $1/e \approx 0.37$ (около 37%) от своего начального значения. После $2\tau$ она составляет около 13,5%; после $5\tau$ — менее 1%.
Разобранный пример. Конденсатор ёмкостью $100\ \mu\text{F}$, заряженный до $12\ \text{V}$, разряжается через резистор сопротивлением $47\ \text{k}\Omega$. Найдите постоянную времени и напряжение после одной постоянной времени.
После одной постоянной времени напряжение падает до $1/e$ от начального: $V = 12 \times 0.37 \approx 4.4\ \text{V}$.
Разобранный пример. Конденсатор ёмкостью $470\ \mu\text{F}$ заряжен до $24\ \text{V}$ и затем разряжается через резистор сопротивлением $5.6\ \text{k}\Omega$. Найдите (a) начальный заряд и энергию, (b) постоянную времени и начальный ток, (c) напряжение после $4.0\ \text{s}$, (d) время, необходимое для того, чтобы напряжение упало до $6.0\ \text{V}$.
Держите постоянную времени нераскруглённой ($2.632\ \text{s}$) внутри вычислений и округляйте только ответы. Преобразование в пункте (d) — наиболее часто задаваемое и наиболее часто неправильно решаемое: $\ln(V/V_{0})$ отрицательно, поэтому $t$ получается положительным.
Разобранный пример. По графику разряда напряжение p.d. на конденсаторе ёмкостью $2200\ \mu\text{F}$ падает с $6.0\ \text{V}$ до $2.2\ \text{V}$ за время $4.5\ \text{s}$. Найдите сопротивление резистора.
$2.2/6.0 = 0.367 \approx 1/e$, следовательно, $4.5\ \text{s}$ — это одна постоянная времени: $R = \tau/C = 4.5/(2200 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{3}\ \Omega$. Если спад не должен опускаться до $1/e$, используйте $RC = -t/\ln(V/V_{0})$; ответ одинаков в обоих случаях.
Чтобы найти $\tau$ по графику: определите время, за которое значение падает до $1/e$ от начального. Или воспользуйтесь логарифмами: $\ln(V/V_{0}) = -t/(RC)$, поэтому график зависимости $\ln V$ от $t$ представляет собой прямую линию с наклоном $-1/(RC)$.
График $\ln V$ от времени представляет собой прямую линию с наклоном $-1/(RC)$
Использование логарифмического графика. В эксперименте постройте $\ln V$ (или $\ln I$) по оси $y$ против $t$. Точки должны лежать на прямой линии: её наклон равен $-1/(RC)$, следовательно $RC = -1/\text{gradient}$, а её пересечение с осью $\ln V$ равно $\ln V_{0}$. Прямая линия является тестом того, что спад действительно экспоненциальный; кривая означает, что нет. Возьмите наклон по двум точкам далеко друг от друга на линии наилучшего соответствия, а не по двум точкам данных, и укажите $RC$ в секундах.
Чтение графиков при разряде
$Q$ против $V_{C}$: поскольку $Q = C V$ всегда, это прямая линия, проходящая через начало координат с наклоном $C$. Разряд перемещает точку от $(V_{0}, Q_{0})$ вниз до $(0,0)$.
$I$ против $V_{C}$: поскольку $I = V_{C}/R$, это прямая линия, проходящая через начало координат с наклоном $1/R$, поэтому можно найти $R$.
Типичные экзаменационные вопросы
Дана кривая разряда $V(t)$ или $Q(t)$:
прочитайте начальное значение $V_{0}$ или $Q_{0}$ при $t = 0$.
прочитайте время, за которое величина падает до $V_{0}/e$ → постоянная времени $\tau = RC$.
зная $R$, найдите $C = \tau / R$ (или наоборот).
предскажите более позднее значение с помощью формулы экспоненты.
Конденсатор как сглаживающий элемент
Конденсатор параллельно нагрузке выпрямителя заряжается на каждом пике и разряжается через нагрузку между ними, превращая горбы в почти постоянный выход с небольшими пульсациями
Выпрямитель (Тема 21) преобразует переменное напряжение в серию положительных горбов. Конденсатор, подключённый параллельно нагрузке, сглаживает их. Вблизи каждого пика диоды проводят ток, и конденсатор заряжается до напряжения пика; когда напряжение питания убывает, диоды прекращают проводить ток, и конденсатор разряжается через нагрузочный резистор, удерживая выход на уровне до тех пор, пока следующий горб не поднимется выше него и не перезарядит конденсатор. Следовательно, выход падает лишь немного между пиками; оставшееся повышение и понижение — это пульсации.
Насколько сильно он падает, зависит от постоянной времени разряда, $RC$, по сравнению со временем между пиками. Большая ёмкость или большее сопротивление нагрузки (меньший ток нагрузки) дают большую $RC$, медленный спад и меньшие пульсации; сильно нагруженный источник (малая $R$) имеет большие пульсации. При требовании набросать сглаженный выход, нарисуйте его касающимся каждого пика, слегка спадающим между ними и никогда не падающим до нуля.
The voltage rises (or decays) exponentially with time constant τ = RC. · Напряжение растёт (или убывает) экспоненциально с постоянной времени τ = RC.
Explore · Исследовать
Discharging a capacitor · Разрядка конденсатора
Q = Q₀·bᵗ
Charge decays exponentially through the resistor. · Заряд убывает экспоненциально через резистор.
работа по зарядке конденсатора, равная площади под графиком зависимости потенциала от заряда; $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2}$
постоянная времени
произведение $RC$; время, за которое заряд (или напряжение, или ток) уменьшается до $1/e$ от начального значения
19.3
Exam tips · Советы для экзамена
English
$C = Q/V$ defines capacitance; for an isolated sphere $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$. Energy stored $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = Q^{2}/2C$: pick the form that uses what you know, and remember that energy is not proportional to charge.
Combine capacitors the opposite way to resistors (parallel add, series reciprocal), and reduce a network one step at a time.
Charge sharing: charge is conserved, energy is not. Find the common p.d. from the total charge and the total capacitance first, then the energies.
Discharge: $x = x_{0} e^{-t/RC}$ for $Q$, $V$ and $I$ alike; $t = -RC \ln(x/x_{0})$; $\tau = RC$ is in seconds ($\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$) and is the time to fall to $37\%$, not to zero.
Graphs: the initial current is $V_{0}/R$; the area under $I$–$t$ is charge; the gradient of $Q$–$t$ is $-I$; $\ln V$ against $t$ is a straight line of gradient $-1/(RC)$ and intercept $\ln V_{0}$.
Convert $\mu\text{F}$ and $\text{k}\Omega$ before multiplying: $\text{k}\Omega \times \mu\text{F}$ gives milliseconds, not seconds.
Common mistakes
Defining capacitance as "the charge stored" or "the charge on both plates". It is the charge on one plate per unit p.d. between the plates.
Adding capacitors in series as if they were resistors, or forgetting to invert the reciprocal sum at the end.
After charge sharing, using the supply voltage in $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ instead of the new common p.d., or claiming the energy is conserved.
Drawing the discharge current starting from zero. It starts at its largest value, $V_{0}/R$.
Treating $\tau$ as the time to discharge completely; after $5\tau$ about $1\%$ remains.
Dropping the minus sign in $t = -RC \ln(V/V_{0})$ and reporting a negative time.
Finding the extra energy on raising the p.d. from the extra charge alone: subtract two areas (or two $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ values).
Sketching a smoothed output that falls to zero between peaks, or saying a larger load resistance gives a larger ripple.
Русский
$C = Q/V$ определяет ёмкость; для изолированной сферы $C = 4\pi\varepsilon_{0} r$. Накопленная энергия $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = Q^{2}/2C$: выберите формулу, используя известные вам величины, и помните, что энергия не пропорциональна заряду.
Объединяйте конденсаторы противоположно резисторам (параллельное соединение — сумма, последовательное — обратная величина суммы обратных), упрощая цепь шаг за шагом.
Распределение заряда: заряд сохраняется, энергия нет. Сначала найдите общее напряжение из общего заряда и общей ёмкости, затем вычислите энергии.
Разряд: $x = x_{0} e^{-t/RC}$ для $Q$, $V$ и $I$ одинаковы; $t = -RC \ln(x/x_{0})$; $\tau = RC$ измеряется в секундах ($\Omega \cdot \text{F} = \text{s}$) и является временем, необходимым для падения до $37\%$, а не до нуля.
Графики: начальный ток равен $V_{0}/R$; площадь под графиком $I$–$t$ равна заряду; наклон графика $Q$–$t$ равен $-I$; зависимость $\ln V$ от $t$ представляет собой прямую линию с наклоном $-1/(RC)$ и пересечением оси ординат $\ln V_{0}$.
Преобразуйте $\mu\text{F}$ и $\text{k}\Omega$ перед умножением: $\text{k}\Omega \times \mu\text{F}$ даст миллисекунды, а не секунды.
Распространенные ошибки
Определение ёмкости как «заряда, хранящегося» или «заряда на обеих обкладках». Это заряд на одной обкладке, приходящийся на единицу напряжения между обкладками.
Сложение конденсаторов последовательно так же, как резисторов, или забывание инвертировать сумму обратных величин в конце.
После распределения заряда использование напряжения источника в $\tfrac{1}{2}CV^{2}$ вместо нового общего напряжения или утверждение о сохранении энергии.
Отрисовка тока разряда, начинающегося с нуля. Он начинается с максимального значения, $V_{0}/R$.
Принятие $\tau$ за время полного разряда; после $5\tau$ остается примерно $1\%$.
Отбрасывание знака минус в $t = -RC \ln(V/V_{0})$ и указание отрицательного времени.
Нахождение дополнительной энергии при увеличении напряжения за счёт только дополнительного заряда: вычтите две площади (или два значения $\tfrac{1}{2}CV^{2}$).
Нарисованная сглаженная выходная кривая, падающая до нуля между пиками, или утверждение, что большее сопротивление нагрузки даёт больший пульсирующий ток.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
