Колебания

Частица движется с простыми гармоническими колебаниями (ПГК), если её ускорение равно:

• пропорционально её смещению от фиксированной точки равновесия, и
• направлено обратно к этой точке — имеет противоположный смещению знак.

Определяющее уравнение выглядит так:

где $x$ — смещение от положения равновесия, а $\omega$ — положительная константа, угловая частота. Знак минус означает «направлено обратно к положению равновесия».

Определение на два балла. Простые гармонические колебания — это движение, при котором ускорение пропорционально смещению от фиксированной точки и всегда направлено к этой точке (в противоположном направлении смещению). Необходимы обе половины. «Значение знака минус»: ускорение направлено в противоположную сторону относительно смещения — всегда к положению равновесия. «Укажите, что понимается под частотой колебаний»: число полных колебаний за единицу времени.

Многие системы демонстрируют такое поведение вблизи устойчивого равновесия: груз на пружины, маятник (малый угол отклонения), погружённый вниз плавающий блок, заряд на конденсаторе в LC-цепи, атомы в твёрдом теле.

Ключевые термины

• смещение $x$ — расстояние от положения равновесия в данный момент (вектор вдоль линии движения).
• амплитуда $x_{0}$ — максимальное смещение от положения равновесия. Всегда положительна.
• период $T$ — время одного полного колебания.
• частота $f$ — число колебаний в секунду; $f = 1/T$. Единица: Гц.
• угловая частота $\omega$ — $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$. Единица: $\text{rad s}^{-1}$.
• разность фаз — доля цикла (в радианах), на которую одно колебание опережает или отстает от другого. Разница в четверть цикла соответствует разности фаз $\pi/2$.

Таким образом, $T = 2\pi/\omega$ и $f = \omega/(2\pi)$ — зная любое из $\omega$, $f$, $T$, можно найти остальные.

Разобранный пример. Масса на пружине совершает колебания с ШСЗ амплитудой $0.050\ \text{m}$ и частотой $2.5\ \text{Hz}$. Найдите максимальное ускорение.

Угловая частота равна $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2.5 = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Ускорение максимально на краях, где $|a| = \omega^{2}x_{0}$:

Доказательство того, что движение является простым гармоническим

Любимый экзаменационный вывод на четыре балла, и алгоритм всегда одинаков: (1) сместите тело на $x$ от положения равновесия; (2) найдите равнодействующую возвращающую силу, которая получается как $F = -(\text{constant}) \times x$; (3) примените второй закон Ньютона, $a = F/m = -(\text{constant}/m)\,x$; (4) это имеет вид $a = -\omega^{2}x$, следовательно, движение простое гармоническое с $\omega^{2} = \text{constant}/m$ и $T = 2\pi/\omega$. Объясните словами, почему сила направлена обратно к равновесию и почему она пропорциональна $x$ — это те баллы, а не алгебраические преобразования.

Разобранный пример. Масса $m$ подвешена на пружине с жесткостью $k$. Докажите, что при смещении и отпускании она движется с простым гармоническим движением, и найдите период.

В положении равновесия натяжение пружины уравновешивает вес. Сместите массу на расстояние $x$ вниз: натяжение увеличивается на $kx$ (закон Гука), поэтому возникает равнодействующая сила $kx$ вверх, к положению равновесия. Второй закон Ньютона: $a = -\dfrac{k}{m}x$. Это имеет вид $a = -\omega^{2}x$ с $\omega^{2} = k/m$, значит, движение простое гармоническое и $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}$. (Тележка, зажатая между двумя одинаковыми пружинами, тянется обратно обеими пружинами, $F = -2kx$, поэтому $\omega^{2} = 2k/m$.)

Разобранный пример. Прямоугольный блок с площадью поперечного сечения $A$ и массой $m$ плавает в жидкости плотностью $\rho$, его основание находится на глубине $h$ под поверхностью. Его опускают на малое расстояние $x$ и отпускают. Докажите, что он колеблется с простым гармоническим движением, и найдите период через $h$ и $g$.

Когда блок погружается на глубину $x$, дополнительный объём $Ax$ оказывается под водой, поэтому выталкивающая сила увеличивается на вес этой дополнительной жидкости, $\rho g A x$; эта дополнительная сила действует вверх, к положению равновесия. Следовательно, $a = -\dfrac{\rho g A}{m}x$: пропорциональна смещению $x$ и направлена противоположно ему, поэтому движение является гармоническим с $\omega^{2} = \rho g A/m$. В положении равновесия выталкивающая сила, действующая на погружённый объём $Ah$, равна весу, $\rho g A h = mg$, так что $m = \rho A h$ и $\omega^{2} = g/h$: $T = 2\pi\sqrt{h/g}$ — та же форма, что и у маятника длиной $h$.

Разобранный пример. U-образная трубка с площадью поперечного сечения $A$ содержит жидкость плотностью $\rho$; длина столба жидкости в каждой трубке равна $L$. Жидкость смещают так, что одна поверхность находится на $x$ выше уровня равновесия, а другая на $x$ ниже. Докажите, что жидкость колеблется с простым гармоническим движением.

Теперь два уровня жидкости отличаются по высоте на $2x$, поэтому столб жидкости высотой $2x$ становится неуравновешенным: возвращающая сила для жидкости равна весу этого столба, $2x\rho g A$, направленному таким образом, чтобы выровнять поверхности. Перемещаемая масса — это вся жидкость, $2L\rho A$. Следовательно, $a = -\dfrac{2x\rho g A}{2L\rho A} = -\dfrac{g}{L}x$: гармоническое движение с $\omega^{2} = g/L$ и $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Заметим, что $\rho$ и $A$ сокращаются — период не зависит ни от жидкости, ни от трубки.

Если частица начинает движение из точки $x = 0$ в положительном направлении со скоростью $t = 0$, то

Первое дифференцирование дает скорость:

где $v_{0} = x_{0} \omega$ — максимальная скорость (при прохождении частицей положения равновесия).

Повторное дифференцирование дает ускорение:

что снова является определяющим уравнением ШНД. (Если частица вместо этого начинает движение из крайнего положения $x = x_{0}$ в момент $t = 0$, используйте $x = x_{0} \cos(\omega t)$. Выберите тот вариант, который соответствует начальным условиям.)

Скорость в зависимости от смещения

Полезное соотношение, не использующее время:

• в положении равновесия ($x = 0$): $v = \pm \omega x_{0}$ (максимальная скорость). Оба знака, так как частица проходит через положение равновесия дважды за каждый цикл.
• в крайних точках ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$ (моментальная остановка).

Разобранный пример. То же самое колебание имеет амплитуду $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ и угловую частоту $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Найдите скорость, когда смещение равно $x = 0.030\ \text{m}$.

Снятие показаний с графика $v$–$x$. Его ширина дает амплитуду ($x = \pm x_{0}$ при $v = 0$), а высота — максимальную скорость ($v = \pm\omega x_{0}$ при $x = 0$), откуда следует $\omega = v_{0}/x_{0}$ и период. Если требуется начертить $a$ против $x$ на тех же осях, проведите прямую линию через начало координат с отрицательным наклоном $-\omega^{2}$, достигающую значения $\mp\omega^{2}x_{0}$ при $x = \pm x_{0}$.

Пример решения. Скорость колеблющегося бруска изменяется со временем согласно закону $v = 0.56\sin(5.1t)$, где $v$ задано в $\text{m s}^{-1}$, а $t$ — в секундах. Найдите амплитуду, период и максимальное ускорение.

Сравните со $v = v_{0}\sin\omega t$: $v_{0} = 0.56\ \text{m s}^{-1}$ и $\omega = 5.1\ \text{rad s}^{-1}$. Поскольку $v_{0} = \omega x_{0}$, амплитуда составляет $x_{0} = 0.56/5.1 = 0.11\ \text{m}$; $T = 2\pi/\omega = 1.2\ \text{s}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = \omega v_{0} = 5.1 \times 0.56 = 2.9\ \text{m s}^{-2}$. (Так как эта $v$ является синусом, блок находился в крайнем положении в момент $t = 0$: его смещение описывается косинусом.)

Гармонические колебания как тень кругового движения. Шарик, движущийся по окружности радиуса $R$ с угловой скоростью $\omega$, освещаемый сбоку, отбрасывает тень, которая движется туда-сюда с гармоническими колебаниями амплитуды $R$ и той же $\omega$: перемещение тени равно $x = R\cos\omega t$ (если оно начинается с крайнего положения), максимальная скорость тени составляет $R\omega$, а максимальное ускорение — $R\omega^{2}$. Для окружности диаметром $0.46\ \text{m}$ и $\omega = 1.9\ \text{rad s}^{-1}$ тень имеет амплитуду $0.23\ \text{m}$, $v_{0} = 0.44\ \text{m s}^{-1}$ и $a_{\text{max}} = 0.83\ \text{m s}^{-2}$ — наибольшая величина достигается на двух концах траектории, всегда направлена к центру.

Графики во времени

Для $x = x_{0}\sin\omega t$:

• $x$ против $t$ — синусоида, амплитуда $x_{0}$, период $T = 2\pi/\omega$.
• $v$ против $t$ — косинусоида, опережает $x$ на фазу $\pi/2$, амплитуда $\omega x_{0}$.
• $a$ против $t$ — отрицательная синусоида, не совпадает по фазе с $x$ на величину $\pi$ (180°), амплитуда $\omega^{2} x_{0}$.

График $a$ против $x$

Прямая линия через начало координат с отрицательным наклоном $-\omega^{2}$. Таким образом, вы можете снять значение $\omega$ из графика: наклон равен $= -\omega^{2}$, следовательно, $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$, затем $T = 2\pi / \omega$. Это распространенный формат экзаменационных заданий.

Разобранное решение. График высоты $h$ тела массой $36\ \text{kg}$, совершающего вертикальные простые гармонические колебания, показывает, что $h$ изменяется от $2\ \text{m}$ до $10\ \text{m}$, при этом полное колебание совершается каждые $4.0\ \text{s}$. Найдите амплитуду, угловую частоту, максимальную скорость, максимальное ускорение и максимальную кинетическую энергию.

Амплитуда $x_{0} = (10 - 2)/2 = 4.0\ \text{m}$ (половина размаха между пиковыми значениями; высота положения равновесия равна $6\ \text{m}$). $\omega = 2\pi/T = 2\pi/4.0 = 1.57\ \text{rad s}^{-1}$. $v_{\text{max}} = \omega x_{0} = 6.3\ \text{m s}^{-1}$; $a_{\text{max}} = \omega^{2}x_{0} = 9.9\ \text{m s}^{-2}$; $E_{\text{K,max}} = \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 36 \times 6.28^{2} = 7.1 \times 10^{2}\ \text{J}$. Наиболее частая ошибка здесь — принимать амплитуду за полный диапазон высот вместо половины этого диапазона.

Пример решения. Малый предмет покоится на горизонтальной платформе, которая совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой $6.0\ \text{mm}$. Найдите максимально возможную частоту, при которой предмет сохраняет контакт с платформой на протяжении всего движения, и укажите место в движении, где контакт теряется впервые.

Предмет отрывается от платформы, когда нисходящее ускорение платформы превышает $g$ — в верхней точке колебаний, где ускорение максимально и направлено вниз: платформа тогда падает быстрее, чем может упасть предмет. Предельное условие: $\omega^{2}x_{0} = g$: $\omega = \sqrt{9.81/0.0060} = 40\ \text{rad s}^{-1}$, значит $f = \omega/2\pi = 6.4\ \text{Hz}$. Ниже этого значения сила нормальной реакции опоры в верхней точке мала, но положительна; выше нее — равна нулю.

Гармонический осциллятор постоянно обменивается энергией между двумя формами:

• кинетической энергией $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$.
• потенциальной энергией $E_{\text{P}}$ (упругой для пружины, гравитационной для маятника).

При отсутствии затухания полная энергия остается постоянной (это закон сохранения энергии).

Максимумы и минимумы

• в положении равновесия ($x = 0$): $v$ максимально, поэтому $E_{\text{K}}$ максимально, а $E_{\text{P}}$ минимально (нуль, по выбору).
• на краях ($x = \pm x_{0}$): $v = 0$, поэтому $E_{\text{K}} = 0$ и $E_{\text{P}}$ максимальны.

Полная энергия

Используя $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Два ключевых факта: полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды (удвоение $x_{0}$ дает четырехкратное увеличение энергии) и зависит от $\omega^{2}$.

Энергия против перемещения

Используя $v^{2} = \omega^{2}(x_{0}^{2} - x^{2})$:

Таким образом, $E_{\text{K}}$ представляет собой параболу, направленную ветвями вниз (пик при $x = 0$, ноль при $x = \pm x_{0}$), а $E_{\text{P}}$ — параболу, направленную ветвями вверх (ноль при $x = 0$, максимум при $x = \pm x_{0}$). Их сумма постоянна.

Разобранный пример. Тело массой $0.20\ \text{kg}$ совершает колебания с амплитудой $x_{0} = 0.050\ \text{m}$ и угловой частотой $\omega = 15.7\ \text{rad s}^{-1}$. Найдите полную энергию колебаний.

Полная энергия равна максимальной кинетической энергии, так как тело проходит через положение равновесия $x = 0$ со скоростью $v_{\text{max}} = \omega x_{0}$:

Это значение остается постоянным, дважды за цикл превращаясь из кинетической в потенциальную форму и обратно.

Описание процесса обмена без вычислений. В крайней точке движения осциллятор на мгновение останавливается: его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная достигает максимума. При движении к положению равновесия возвращающая сила совершает над ним работу, поэтому потенциальная энергия преобразуется в кинетическую; в положении равновесия кинетическая энергия максимальна, а потенциальная минимальна. За этим точкой кинетическая энергия снова превращается в потенциальную до другой крайней точки. Полная энергия остается неизменной, а обмен происходит дважды за одно колебание, поэтому графики энергии по времени имеют удвоенную частоту относительно графика смещения.

Разобранное решение. Грузик маятника массой $0.81\ \text{kg}$ совершает малые колебания с амплитудой $32\ \text{mm}$ и периодом $1.9\ \text{s}$. Найдите полную энергию колебаний и укажите, что с ней произойдет, если амплитуда уменьшится до $16\ \text{mm}$.

$\omega = 2\pi/1.9 = 3.31\ \text{rad s}^{-1}$; $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.81 \times 3.31^{2} \times 0.032^{2} = 4.5 \times 10^{-3}\ \text{J}$. Уменьшение амплитуды вдвое приводит к уменьшению энергии в четыре раза ($E \propto x_{0}^{2}$), то есть она становится равной $1.1 \times 10^{-3}\ \text{J}$; разница рассеялась в виде тепловой энергии вследствие сопротивления воздуха.

Сила сопротивления (трение, сопротивление среды, сопротивление воздуха) вызывает затухание — амплитуда уменьшается со временем по мере потери энергии на нагрев. Выделяют три основных случая:

Слабое затухание

Амплитуда медленно убывает на протяжении многих циклов (случай слабого затухания). Система продолжает колебаться около своей собственной частоты, но каждый последующий цикл меньше предыдущего. Подвеска автомобиля имеет слабую или среднюю степень затухания, поэтому толчки быстро гасятся, но ход остается плавным.

Критическое затухание

Наименьшее затухание, при котором система возвращается в положение равновесия без перерегулирования и без колебаний — случай критического затухания. Возврат происходит за наименьшее время. Гальванометр или аналоговый вольтметр настроены на критическое затухание, чтобы стрелка быстро устанавливалась.

Сильное затухание

Такой уровень сопротивления, при котором система медленно возвращается в положение равновесия без колебаний, но медленнее, чем при критическом затухании — случай сильного затухания. Дверь с мощным доводчиком обладает сильным затуханием.

На графике зависимости смещения от времени: при слабом затухании это волна, размер которой плавно уменьшается; при критическом затухании быстрый возврат без перерегулирования; при сильном затухании медленный возврат.

Как требует экзамен. Затухание — это уменьшение амплитуды колебаний под действием силы сопротивления, которая рассеивает энергию осциллятора. При слабом затухании система колеблется с амплитудой, постепенно (экспоненциально) убывающей со временем; период почти не изменяется. При критическом затухании система возвращается в положение равновесия за кратчайшее возможное время без колебаний. При сильном затухании она возвращается в равновесие медленно, также без колебаний. При построении эскизов: кривая слабого затухания представляет собой синусоиду внутри сужающейся огибающей; кривые критического и сильного затухания оба падают до нуля, не пересекая ось, причем сильное затухание происходит медленнее.

Разобранный пример. Барный магнит подвешен на пружине, один полюс которого находится внутри катушки, соединенной через ключ с резистором. Магнит приводится в колебательное движение. Объясните, почему колебания затухают быстрее, когда ключ замкнут.

Движущийся магнит изменяет магнитный поток, пронизывающий катушку, поэтому возникает ЭДС (закон Фарадея); при замкнутом ключе ток протекает через резистор и рассеивает энергию в виде тепла. По правилу Ленца индуцированный ток препятствует движению магнита — это дополнительная сила сопротивления. Эта энергия извлекается из колебаний, поэтому амплитуда убывает быстрее: цепь добавляет затухание. При разомкнутом ключе есть ЭДС, но нет тока, поэтому дополнительной потери энергии нет.

Вынужденные колебания вызываются внешней периодической силой с частотой $f_{\text{d}}$, выбираемой экспериментатором. Тогда система колеблется с этой частотой вынуждающей силы $f_{\text{d}}$, а не со своей собственной собственной частотой. График зависимости амплитуды от $f_{\text{d}}$ называется резонансной кривой и имеет пик.

Резонанс

Резонанс возникает, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы $f_{0}$. При резонансе амплитуда максимальна, а передача энергии от возбудителя наиболее эффективна.

Резонанс может разрушать. В 1940 году ветер вынудил мост Такома Нарроу колебаться с частотой, близкой к его собственной; при малом затухании крутильные колебания нарастали до тех пор, пока пол не разорвало. Инженеры теперь проектируют мосты и здания так, чтобы их собственные частоты не совпадали с такими вынуждающими воздействиями.

Примеры:

• качели, раскачиваемые с правильной частотой, набирают большую амплитуду.
• бокал для вина, разбитый звуком на своей резонансной частоте.
• здание, сотрясаемое землетрясением, частота которого совпадает с собственной частотой — инженеры проектируют здания так, чтобы их собственные частоты не попадали в основной диапазон землетрясений.

Форма пика зависит от затухания: меньшее затухание → более острый и высокий пик; больше затухание → более широкий и низкий пик, слегка смещённый в сторону меньших частот.

Определение на два балла. Резонанс — это состояние, при котором система вынуждена совершать колебания на своей собственной частоте, а амплитуда этих колебаний максимальна (передача энергии от возбудителя наибольшая). Необходимы обе части: вынуждающая частота равна собственной частоте, и амплитуда максимальна.

Разобранное решение. Шарик на натянутой струне имеет собственную частоту $4.0\ \text{Hz}$. Струна возбуждается виброгенератором, частоту которого медленно увеличивают от $0$ до $10\ \text{Hz}$. Нарисуйте зависимость амплитуды шарика от вынуждающей частоты и укажите эффект добавления затухания.

Кривая начинается с небольшой ненулевой амплитуды при низкой частоте, поднимается до острого пика на $4.0\ \text{Hz}$ и убывает к нулю при высокой частоте; пик находится на собственной частоте, и только там амплитуда максимальна. Увеличение затухания делает пик ниже и шире и слегка смещает его в сторону меньших частот; амплитуда далеко от резонанса практически не меняется.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Условие ШКН — $a = -\omega^2 x$ (ускорение пропорционально смещению, направлено обратно к равновесию); чтобы доказать, что движение является ШКН, найдите возвращающую силу, покажите, что она пропорциональна $x$ и направлена обратно, и определите $\omega^{2}$.
• Выучить $x = x_0\sin\omega t$ (или cos), $v_{max} = \omega x_0$, $a_{max} = \omega^2 x_0$ и $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$; КЭ и ПЭ изменяются, а полная энергия постоянна, $E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_{0}^{2} \propto x_{0}^{2}$.
• Скорость равна нулю на краях и максимальна в центре; ускорение максимально на краях и равно нулю в центре.
• Амплитуда составляет половину пиково-пикового диапазона графика смещения; $\omega$ берется из периода, из градиента $a$–$x$ или из $v_{0}/x_{0}$.
• Резонанс возникает, когда вынуждающая частота равна собственной частоте; затухание снижает и расширяет пик.

Распространенные ошибки

• Определение ШКН как «колебаний около положения равновесия». В ключах к ответам требуется, чтобы ускорение было пропорционально смещению и было направлено к фиксированной точке.
• Утверждение, что минус означает отрицательное ускорение. Это означает, что ускорение направлено противоположно смещению.
• Построение графика зависимости $v$ от $x$ в виде прямой линии. Это эллипс; график зависимости $a$ от $x$ является прямой линией.
• Принятие амплитуды за весь диапазон графика смещения. Она составляет половину диапазона.
• Определение резонанса как «большой амплитуды». Это вынужденные колебания на собственной частоте, дающие максимальную амплитуду.
• Называние критического затухания «отсутствием затухания» или сильного затухания «самым быстрым возвращением». Критическое затухание — самое быстрое возвращение без колебаний; сильное затухание медленнее.