Простое гармоническое движение
| English | Русский |
|---|---|
| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | простое гармоническое колебание |
| displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | перемещение |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | равновесные |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | точке амплитуды |
| period/ˈpɪərɪəd/ | периода |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | частоту |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | угловая частота |
Лампа, научившая мир отсчитывать время
- В 1583 году студент Пизанского собора, заскучавший во время проповеди, замерил качание люстры по собственному пульсу. Независимо от того, широко или узко раскачивалась лампа, каждый цикл занимал одинаковое время.
- Это неочевидно и неверно для большинства движений. Оно справедливо только тогда, когда возвращающая сила растет пропорционально смещению тела из положения равновесия, и именно это условие определяет всю тему.
- Наблюдение Галилея легло в основу маятниковых часов, а затем и всех часов на следующие 300 лет.
- Этот урок посвящен простым гармоническим колебаниям: их определяющему уравнению, терминам описания и тому, как считывать $\omega$ с графика.
Определение
- Тело движется с простыми гармоническими колебаниями, если его ускорение пропорционально смещению из фиксированной точки и всегда направлено к этой точке.
- Для получения обоих баллов нужны обе части определения. Фраза «пропорционально смещению» сама по себе может описывать силу, толкающую тело еще дальше от положения равновесия.
- В символах, где минус означает «направление к положению равновесия»:
Смещение вправо — ускорение влево; смещение влево — ускорение вправо
При простом гармоническом движении ускорение:
Это в точности $a = -\omega^{2}x$ — большее смещение, большее возвращающее действие; всегда к середине.
Какими утверждениями дополняется полное определение простого гармонического движения? Выберите все подходящие варианты.
Эти два утверждения являются определением и несут оба балла. Постоянный период является следствием их, а скорость, безусловно, не постоянна.
Словарь терминов
- Смещение $x$: расстояние от положения равновесия с указанием направления. Амплитуда $x_0$: максимальное смещение.
- Период $T$: время одного полного колебания. Частота $f = 1/T$: число колебаний в секунду, в герцах.
- Угловая частота $\omega$: связывает две величины, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$. Зная любую из $\omega$, $f$ или $T$, можно найти остальные, и большинство задач начинаются именно с этого действия.
Оттяните маятник
Запустите его качаться, затем измените начальный угол — время одного swings остается прежним (именно это делает его хорошим часами). Теперь удлините нить или переместитесь на Луну и наблюдайте за изменением периода.
Колебания имеют период $2.0\ \text{s}$. Чему равен их угловая частота $\omega$?
$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi \approx 3.14\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$.
Смещение во времени
- Если движение начинается из положения равновесия в момент $t = 0$: $x = x_0 \sin(\omega t)$. Если движение начинается из крайнего положения: $x = x_0 \cos(\omega t)$.
- Выбор зависит исключительно от того, где начинается движение. Перед выбором функции прочитайте начальное условие задачи.
- График представляет собой синусоиду амплитуды $x_0$ и периода $T$, после чего движение повторяется точно так же.
Один период, один полный цикл, а затем то же самое снова
Скорость в любой точке движения
- Скорость при смещении $x$, без необходимости знать время:
- В центре, $x = 0$, эта формула дает максимальную скорость $v_{\text{max}} = \omega x_0$. В краях, $x = \pm x_0$, она дает ноль.
- Это ключевой паттерн: максимальная скорость в центре, мгновенная остановка на каждом конце, а ускорение ведет себя наоборот — ноль в центре и максимум на краях.
При ШГМ скорость наибольшая в положении ____.
В центре вся энергия кинетическая, поэтому скорость максимальна ($v = \omega x_0$).
На краях движения ($x = \pm x_0$) скорость равна нулю.
Колебатель на мгновение останавливается на каждом конце перед разворотом — скорость ноль, ускорение максимально.
Колебатель имеет амплитуду $0.10\ \text{m}$ и $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Какова его максимальная скорость?
Максимальная скорость $= \omega x_0 = 10 \times 0.10 = 1.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Соотнесите каждую величину с тем местом в колебании, где она максимальна.
Скорость и ускорение достигают пиков в разных местах, и они никогда не бывают одновременно максимальными в один момент времени.
Разобранное решение: от периода к максимальной скорости
- Масса совершает колебания с периодом $2.0\ \text{s}$ и амплитудой $0.10\ \text{m}$. Найдите её максимальную скорость и максимальное ускорение.
- Первое $\omega$: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = 3.14\ \text{rad/s}$. Почти каждый вопрос по гармоническим колебаниям начинается с этого.
- Максимальная скорость достигается в центре: $v_{\text{max}} = \omega x_0 = 3.14 \times 0.10 = 0.31\ \text{m/s}$.
- Максимальное ускорение достигается на краях: $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0 = 3.14^2 \times 0.10 = 0.99\ \text{m/s}^2$.
- Обратите внимание, где достигаются максимумы. Вопрос «при каком смещении?» требует ответа «центр» для скорости и «края» для ускорения.
Колебания имеют период 2,0 с и амплитуду 0,10 м. Какова их максимальная скорость в м/с?
omega = 2 pi / T = 3,14 рад/с, и v_max = omega x0 = 0,31 м/с, что достигается в центре. Максимальное ускорение, на концах, равно квадрату omega умноженному на x0 = 0,99 м/с^2.
Чтение графика зависимости ускорения от смещения
- Поскольку $a = -\omega^2 x$, график зависимости ускорения от смещения представляет собой прямую линию через начало координат с отрицательным наклоном.
- Наклон графика равен $-\omega^2$, следовательно $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$, а затем $T = 2\pi/\omega$.
- Это стандартный способ, которым экзаменаторы дают вам $\omega$ без явного указания. Прямая линия через начало координат с отрицательным наклоном — также стандартный способ попросить вас доказать, что движение является простым гармоническим.
Прямая, проходит через начало координат, отрицательная: важны все три признака
На графике зависимости ускорения от смещения для ШГМ наклон равен:
$a = -\omega^{2}x$ — прямая линия наклона $-\omega^{2}$, поэтому $\omega = \sqrt{|\text{gradient}|}$.
Разобранное решение: является ли это простым гармоническим движением?
- Измерения ускорения тележки при различных смещениях дали прямую линию через начало координат с наклоном $-25\ \text{/s}^2$. Докажите, что движение является простым гармоническим, и найдите период.
- График представляет собой прямую линию, значит $a \propto x$; он проходит через начало координат, значит нет свободного члена; его наклон отрицательный, значит ускорение направлено к положению равновесия. Эти три факта составляют определение, поэтому движение является простым гармоническим.
- Наклон равен $-\omega^2 = -25$, следовательно $\omega = 5.0\ \text{rad/s}$ и $T = \dfrac{2\pi}{5.0} = 1.3\ \text{s}$.
График зависимости ускорения от смещения для колебателя представляет собой прямую линию через начало координат с наклоном -25 в секунду в квадрате. Каков период в секундах?
Наклон равен минус квадрату omega, поэтому omega = 5,0 рад/с, а T = 2 pi / 5,0 = 1,3 с. Прямая, проходящая через начало и имеющая отрицательный наклон, также является доказательством того, что движение является простым гармоническим.
Потерянные баллы
- Определение требует обеих частей: пропорциональности смещению И направления к фиксированной точке. Именно знак минус несет вторую часть условия.
- $\omega$ выражено в рад/с (rad s$^{-1}$), а не в герцах. Выполните преобразование с помощью $\omega = 2\pi f$ перед подстановкой.
- Скорость максимальна в центре; ускорение максимально на краях. Они никогда не достигают максимума одновременно.
- Выбирайте синус или косинус по тому месту, где начинается движение, а не по привычке.
Вы поняли
- ПГО: ускорение пропорционально смещению и направлено к фиксированной точке, значит $a = -\omega^2 x$
- $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$, и почти любая задача начинается с нахождения $\omega$
- $x = x_0\sin\omega t$ из центра или $x_0\cos\omega t$ из края; $v = \pm\omega\sqrt{x_0^2 - x^2}$, значит $v_{\text{max}} = \omega x_0$ в центре и $a_{\text{max}} = \omega^2 x_0$ на концах
- график зависимости ускорения от смещения, являющийся прямой линией, проходящей через начало координат и имеющий отрицательный наклон, доказывает МНП, а его угловой коэффициент равен $-\omega^2$