Энергия в простом гармоническом движении
| English | Русский |
|---|---|
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | равновесные |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | затухание |
Куда уходит энергия в верхней точке качания
- В высшей точке траектории вы на мгновение полностью останавливаетесь. Ваша кинетическая энергия в точности равна нулю.
- Спустя мгновение ваша скорость превышает скорость в любой другой точке дуги. Никто не толкал вас; энергия нигде не исчезала.
- Она находилась в запасе потенциальной энергии и сразу же вернулась обратно. Колебание — это обмен между этими видами энергии, повторяющийся до тех пор, пока позволяет трение.
- Этот урок посвящен энергии осциллятора: как она обменивается, почему общая величина сохраняется и почему она зависит от квадрата амплитуды.
Обмен энергией
- В положении равновесия скорость максимальна, поэтому кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия минимальна.
- На крайних точках осциллятор на мгновение останавливается, поэтому кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия максимальна.
- Между этими точками они непрерывно меняются местами. Обмен происходит дважды за полный цикл колебаний, поскольку осциллятор дважды проходит через центр.
Две кривые в противофазе и прямая линия над ними
The kinetic energy of an oscillator is greatest:
Speed is greatest at the middle, so KE peaks there while PE is at its lowest.
At the extreme positions of the motion, all the energy is potential.
The oscillator is momentarily at rest there, so KE = 0 and all the energy is potential.
Полная энергия постоянна
- При отсутствии затухания, то есть без сил сопротивления, отбирающих энергию, полная энергия остается неизменной. Это закон сохранения энергии, примененный к осциллятору.
- Проще всего вычислить ее в центре, где вся энергия является кинетической, а скорость равна $\omega x_0$:
- На графике зависимости от смещения кинетическая энергия представляет собой параболу ветвями вниз, потенциальная — ветвями вверх, а их сумма — горизонтальную линию.
Две параболы в сумме дают константу при любом смещении
Energy in SHM
KE + PE = const
Energy trades between kinetic (fastest at the centre) and потенциальная (max at the ends).
With no damping, the total energy of an oscillator stays constant.
Energy just swaps between KE and PE; their sum is conserved.
Энергия и амплитуда
- Поскольку $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды.
- Удвоение амплитуды приводит к увеличению энергии в четыре раза. Утроение амплитуды увеличивает энергию в девять раз.
- Именно эту зависимость чаще всего проверяют на экзаменах, а ответ «увеличится вдвое» при удвоении амплитуды является самой частой ошибкой в этой теме.
If the amplitude doubles, the total energy of an oscillator becomes:
$E \propto x_0^{2}$, so doubling $x_0$ gives $2^{2} = 4$ times the energy.
The amplitude of an undamped oscillator is doubled. What happens to its total energy?
E is proportional to the square of the amplitude, from E = m omega^2 x0^2 / 2. Answering "twice" is the commonest error in this subtopic.
Разобранный пример: нахождение полной энергии
- Осциллятор массой $0.20\ \text{kg}$ имеет циклическую частоту $10\ \text{rad/s}$ и амплитуду $0.050\ \text{m}$. Найдите его полную энергию и кинетическую энергию при смещении $0.030\ \text{m}$.
- Полная: $E = \tfrac12 m \omega^2 x_0^2 = \tfrac12 \times 0.20 \times 10^2 \times 0.050^2 = 0.025\ \text{J}$.
- При $x = 0.030\ \text{m}$: $v = \omega\sqrt{x_0^2 - x^2} = 10\sqrt{0.050^2 - 0.030^2} = 0.40\ \text{m/s}$, следовательно $E_{\text{k}} = \tfrac12 \times 0.20 \times 0.40^2 = 0.016\ \text{J}$.
- Потенциальная энергия в этой точке равна разнице, $0.025 - 0.016 = 0.009\ \text{J}$. Использование постоянного значения полной энергии для нахождения второй величины быстрее и надежнее, чем применение отдельной формулы.
An oscillator has $m = 0.20\ \text{kg}$, $\omega = 10\ \dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$ and amplitude $0.10\ \text{m}$. What is its total energy?
$E = \tfrac{1}{2}m\omega^{2}x_0^{2} = \tfrac{1}{2} \times 0.20 \times 10^{2} \times 0.10^{2} = 0.10\ \text{J}$.
An oscillator of mass 0.20 kg has omega = 10 rad/s and amplitude 0.050 m. What is its total energy, in joules?
E = m omega^2 x0^2 / 2 = 0.20 x 100 x 0.0025 / 2 = 0.025 J. Evaluating at the centre, where all the energy is kinetic, is the quickest route.
If the total energy is 0.025 J and the kinetic energy at some displacement is 0.016 J, the potential energy there is ____ J.
The total is constant, so the potential energy is simply the total minus the kinetic. That subtraction is quicker and safer than a separate formula.
Разобранный пример: чтение графиков энергии
- Нарисуйте, как изменяются кинетическая, потенциальная и полная энергия незатухающего осциллятора в зависимости от смещения.
- Кинетическая энергия: максимальна при $x = 0$, убывает до нуля при $x = \pm x_0$, имеет форму параболы ветвями вниз.
- Потенциальная энергия: равна нулю при $x = 0$, возрастает до максимума при $x = \pm x_0$, имеет форму параболы ветвями вверх и является зеркальным отражением первой кривой.
- Полная: горизонтальная линия на уровне любого из максимумов, так как две кривые всегда в сумме дают одно и то же значение.
- По оси времени вместо смещения обе кривые энергии сохраняют параболическую форму, но теперь колеблются с удвоенной частотой смещения, поскольку пики энергии наблюдаются дважды за цикл.
Match each energy of an undamped oscillator to its graph against displacement.
The two parabolas are mirror images, so they add to the same value at every displacement. That flat line is conservation of energy drawn out.
Plotted against time, the kinetic energy of an oscillator repeats at twice the frequency of the displacement.
The oscillator passes through the centre twice per cycle, so kinetic energy peaks twice per cycle while displacement peaks once.
Зависимость энергии от времени имеет удвоенную частоту
- Если построить график смещения от времени, получится один цикл за период. График кинетической энергии от времени даст два цикла.
- Причина кроется в квадрате. Кинетическая энергия зависит от $v^2$, а $v$ проходит через свою максимальную величину дважды за каждый цикл — один раз в каждую сторону.
- Поэтому обе кривые энергии достигают двух максимумов за одно колебание, а их частота вдвое выше, чем частота смещения.
- Две кривые являются точными зеркальными отражениями друг друга относительно линии половины полной энергии, а их сумма представляет собой горизонтальную линию на уровне полной энергии.
- За вопрос на построение здесь оценивают три вещи: удвоенную частоту, сдвиг двух кривых на половину их периода и горизонтальную линию полной энергии.
The kinetic energy of an oscillator varies at twice the frequency of its displacement.
KE depends on v squared, and the speed reaches its maximum twice per cycle, once in each direction. The potential energy does the same, and the two sum to a flat line.
Потерянные баллы
- Энергия пропорциональна квадрату амплитуды. Удвоение амплитуды дает четырехкратное увеличение энергии, а не двукратное.
- Кинетическая энергия максимальна в центре, потенциальная — на краях. Не перепутайте их местами.
- По оси времени кривые энергии повторяются с удвоенной частотой по сравнению со смещением, так как за одно колебание возникает два пика энергии.
- Полная энергия постоянна только при отсутствии затухания. Обязательно укажите это, если в вопросе упоминаются силы сопротивления.
Вы поняли
- кинетическая энергия максимальна в центре и равна нулю на краях; потенциальная энергия ведет себя противоположным образом, и они обмениваются местами дважды за цикл
- при отсутствии затухания полная энергия постоянна: $E = \tfrac12 m\omega^2 x_0^2$, что проще всего вычислить в центре, где вся энергия является кинетической
- по оси смещения энергии представляют собой две противоположные параболы, сумма которых образует горизонтальную линию
- $E \propto x_0^2$: удвоение амплитуды дает четырехкратное увеличение энергии