Затухающие и вынужденные колебания
| English | Русский |
|---|---|
| driving force/ˈdraɪvɪŋ fɔːs/ | движущая сила |
| damping/ˈdæmpɪŋ/ | затухание |
| forced oscillations/fɔːst ˌɒsɪˈleɪʃnz/ | вынужденные колебания |
| resonance/ˈrezənəns/ | резонансом |
| driving frequency/ˈdraɪvɪŋ ˈfriːkwənsi/ | частота вынуждающей силы |
| natural frequency/ˈnætʃərəl ˈfriːkwənsi/ | собственная частота |
Мост, который пришлось закрыть в день открытия
- Лондонский мост Millennium открылся в июне 2000 года. В течение нескольких часов он начал опасно раскачиваться вбок, из-за чего был закрыт и простоял закрытым почти два года.
- Никто не совершил никаких ошибок при строительстве из стали. Проблема заключалась в том, что небольшое боковое покачивание заставляло людей корректировать шаг, эта коррекция воздействовала на мост точно в его резонансной частоте, и колебания нарастали.
- Движущая сила правильной частоты и осциллятор с недостаточным затуханием: эти два фактора создают амплитуду почти из ничего.
- Этот урок посвящён затуханию, вынужденным колебаниям и резонансу.
Затухание
- Затухание — это отвод энергии от осциллятора за счёт сопротивляющей силы, такой как трение или сопротивление воздуха.
- Амплитуда уменьшается со временем, а утраченная энергия переходит в тепловую энергию осциллятора и его окружения.
- При слабом затухании частота практически не меняется, поэтому колебания сохраняют ритм по мере затухания. Это похоже на звон колокола: та же нота, но угасающая.
Огибающая сжимается; интервал между пиками остаётся прежним
Затухание колебаний вызвано:
Трение или сопротивление среды уносят энергию в виде тепла, поэтому каждое последующее колебание меньше предыдущего.
Затухание снижает частоту колебаний, а не их амплитуду.
Амплитуда уменьшается по мере превращения энергии в тепловую. При малом затухании частота практически не изменяется, поэтому колокол сохраняет тон по мере затухания.
Три степени затухания
- Слабое затухание: амплитуда уменьшается медленно на протяжении многих колебаний. Система всё ещё совершает колебания.
- Критическое затухание: система возвращается к равновесию за наименьшее возможное время без колебаний или выброса. Именно так проектируются автомобильные подвески и стрелки аналоговых приборов.
- Сильное затухание: система возвращается к равновесию медленно и без колебаний, занимая больше времени, чем при критическом. Примером служит плотный доводчик двери.
- Различие в экзаменах заключается между критическим и сильным затуханием: оба исключают колебания, но только критическое делает это за наименьшее время.
Две кривые, обе избегают выброса, одна значительно медленнее другой
Сопоставьте каждый тип затухания с его поведением.
Критическое затухание возвращает систему к равновесию за кратчайшее время без перелета; сильное затухание происходит еще медленнее.
Разбор примера: выберите тип затухания
- Подвеска автомобиля спроектирована так, чтобы после наезда на неровность машина быстро возвращалась к нормальной высоте без подпрыгивания. Какое затухание используется и почему?
- Критическое затухание: оно возвращает систему к равновесию за кратчайшее время без колебаний, поэтому автомобиль ни не подпрыгивает (слабое затухание), ни медленно не опускается (сильное затухание).
- Стрелка аналогового амперметра должна установиться на показании как можно быстрее. Снова критическое затухание, и по той же причине: стрелке, которая делает выброс, нужно ждать, а при сильном затухании она медленно устанавливается.
- Назовите тип, затем укажите оба свойства: кратчайшее время и отсутствие колебаний.
Автомобильная подвеска быстро возвращает кузов на нормальную высоту без раскачивания. Какой это тип затухания и почему?
Сильное затухание также предотвращает колебания, но занимает больше времени, поэтому автомобиль медленно опустится обратно. Укажите оба свойства: кратчайшее время и отсутствие колебаний.
Вынужденные колебания
- Вынужденные колебания возникают, когда к системе прикладывается движущая сила частоты $f_{\text{d}}$.
- После того как переходный процесс утихнет, система колеблется с частотой вынуждающей силы, а не с собственной естественной частотой.
- Её собственная (естественная) частота $f_0$ — это частота, с которой система колеблется, если её отклонить и оставить в покое без движущей силы.
- Оба факта важны и часто путаются: частота вынуждающей силы определяет как быстро оно колеблется, а собственная частота решает насколько велик отклик.
Вынужденный осциллятор колеблется с частотой:
Он следует за источником — колеблется с частотой вынуждающей силы $f_{\text{d}}$.
После установившегося режима вынужденный осциллятор вибрирует с частотой ____.
Частота вынуждающей силы определяет скорость колебаний; собственная частота влияет только на величину отклика.
Резонанс
- Резонанс возникает, когда частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы. Амплитуда при этом достигает максимума, и происходит максимальный перенос энергии от источника к системе.
- Чем меньше затухание, тем выше и острее резонансный пик, и тем ближе пик расположен к $f_0$. Более сильное затухание даёт более низкий и широкий пик.
- Повседневный резонанс: толкание качелей в такт им, разбитый бокал от пропетого звука, настройка радиостанции и Миллениум-мост.
Одна и та же собственная частота, совершенно разные отклики
Резонанс возникает, когда частота вынуждающей силы равна ____ частоте.
При $f_{\text{d}} = f_0$ источник подводит энергию наиболее эффективно, и амплитуда достигает максимума.
Малое затухание дает более острый и высокий резонансный пик.
Энергия теряется меньше за каждый цикл, поэтому амплитуда нарастает выше, а пик становится уже.
Разбор примера: опишите кривую резонанса
- Нарисуйте и опишите, как амплитуда слабо затухающего вынужденного осциллятора зависит от частоты вынуждающей силы. [3]
- Амплитуда мала при низкой частоте вынуждающей силы, возрастает до острого максимума, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой, и снова падает при более высоких частотах.
- При большем затухании пик становится ниже и шире, и смещается в сторону несколько более низкой частоты.
- Чаще всего теряются баллы из-за отсутствия указания где находится пик: он находится на собственной частоте, что является определением резонанса.
Резонанс
Толкайте качели с разной частотой. Далеко от собственной частоты они почти не двигаются; настройте частоту на совпадение, и амплитуда резко возрастет — это и есть резонанс, тот же эффект, что может разрушить мост.
Какие утверждения при описании резонансной кривой приносят баллы? Выберите все подходящие варианты.
За пиком амплитуда снова падает. Указание того, где находится пик (на собственной частоте), — самая частая причина потери баллов.
Желательное и нежелательное
- Желательное: радиоприёмник или телевизор, настроенный путём согласования собственной частоты цепи с вещательной; микроволновая печь, возбуждающая молекулы воды; магнитно-резонансная томография; воздушный столб или струна музыкального инструмента.
- Нежелательное: мост или здание, возбуждаемые ветром, шагами или землетрясением; вибрирующая панель автомобиля при определённой скорости двигателя.
- Инженерное решение проблемы нежелательного резонанса — увеличить затухание, что снижает и расширяет пик, или изменить собственную частоту, чтобы она больше не совпадала с частотой источника.
Выберите все примеры резонанса.
Первые три примера соответствуют совпадению частоты вынуждающей силы и собственной частоты. Катящийся шар не является вынужденным колебанием.
Потерянные баллы
- Затухающий осциллятор теряет амплитуду, а не частоту. Укажите, что именно уменьшается.
- Критическое затухание — это кратчайшее время без колебаний; сильное затухание также исключает колебания, но протекает медленнее. Укажите оба свойства.
- Вынужденный осциллятор вибрирует с частотой вынуждающей силы. Его собственная частота определяет лишь величину отклика.
- Резонанс — это когда частота вынуждающей силы равна собственной частоте, а не просто близка к ней. Назовите, где находится пик.
Инженер должен предотвратить резонанс пешеходного моста под шаги прохожих. Расставьте логичные шаги по порядку.
Два инженерных решения проблемы нежелательного резонанса — это большее затухание или другая собственная частота. Оба были применены на Миллениум-мосту.
Вы поняли
- Затухание — это сопротивляющая сила, отводящая энергию, поэтому амплитуда падает, а энергия превращается в тепловую; ритм остаётся практически неизменным
- light (лёгкое) затухание медленно убывает и всё ещё колеблется; critical (критическое) возвращается в равновесие за кратчайшее время без колебаний; heavy (сильное) также не колеблется, но происходит медленнее
- forced (вынужденный) осциллятор вибрирует с driving frequency (частотой вынуждающей силы), какой бы ни была его собственная частота
- resonance (резонанс) — это когда driving frequency (частота вынуждающей силы) equal to (равна) собственной частоте, что даёт максимальную амплитуду и максимальный перенос энергии; более лёгкое затухание даёт higher, sharper (более высокий, острый) пик