Глубоко внутри грозовой тучи накапливается заряд. Отрицательный заряд скапливается у основания, положительный — на земле внизу. Между ними, в пустом воздухе, возникает…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
18.1
Electric fields · Электрические поля
Syllabus · Программа
English
understand that an electric field is an example of a field of force and define electric field as force per unit positive charge
recall and use $F = qE$ for the force on a charge in an electric field
represent an electric field by means of field lines
Русский
понимать, что электрическое поле является примером силового поля, и определить электрическое поле как силу на единицу положительного заряда
вспоминать и использовать $F = qE$ для силы, действующей на заряд в электрическом поле
изображать электрическое поле с помощью силовых линий
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
An electric field 电场 is a region where a charge feels a force 力 from other charges. The electric field strength 电场强度$E$ at a point is the force per unit positive charge on a small positive test charge 检验电荷 placed there:
$$E = \frac{F}{q}.$$
Unit: $\text{N C}^{-1}$ (the same as $\text{V m}^{-1}$, as we will see). $E$ is a vector 矢量, pointing the way the force acts on a positive charge. The force on a charge $q$ is
$$F = qE,$$
opposite to the field if $q$ is negative.
The two-mark definition.Electric field strength at a point is the force per unit positive charge acting on a small (test) charge placed at that point. Three words carry the marks: force per unit charge (not "force on a charge"), positive (which fixes the direction), and small or test (so the charge does not disturb the field it is measuring). The multiple-choice version offers "force per unit charge acting on a small mass" and "force per unit mass" as distractors: a field is defined by a charge, never by a mass.
Worked example. A proton accelerates at $2.00\ \text{m s}^{-2}$ in an electric field, with no other force acting. Find the field strength. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)
The same rearrangement the other way round gives the acceleration of an electron in a field of $1500\ \text{V m}^{-1}$: $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, enormous because the electron's mass is so small. Gravity ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) is negligible beside it, which is why exam questions about electrons between plates ignore weight.
Field lines
field lines 场线 point the way the force acts on a positive test charge.
lines start on positive charges and end on negative charges (or go to infinity).
lines never cross; closer lines mean a stronger field.
every line carries an arrow; lines meet the surface of a conductor at right angles.
What a field line represents. Asked "state what is represented by an electric field line", give both halves: its direction shows the direction of the force on a positive charge placed there, and the spacing of the lines shows the strength of the field (closer lines, stronger field). A sketch is marked on exactly these points: arrows drawn, lines not crossing, even spacing where the field is uniform, and radial lines for a point charge or a sphere.
Examples: a positive point charge 点电荷 has radial lines pointing out; a negative one has lines pointing in; two opposite charges (a dipole 偶极子) have lines curving from + to −; two parallel charged plates give a uniform field 匀强场 of equally spaced parallel lines.
A charged conducting sphere
The charge on an isolated 孤立的conductor 导体 sits on its outer surface, spread evenly when the sphere is on its own. Outside the sphere the field lines are radial, evenly spaced and pointing outwards (for positive charge), exactly the pattern of a point charge at the centre. Inside a hollow (or solid) conductor the field is zero: the fields of all the surface charges cancel everywhere inside, so no field line enters. Two graphs follow, and both are exam favourites. The field strength $E$ is zero out to the radius $R$, jumps to its surface value $E_0$ and then falls as $1/r^{2}$; the potential $V$ is constant inside (a zero field means a zero potential gradient) and then falls as $1/r$.
Reading the graphs. Given an $E$–$x$ graph for a charged sphere, the radius is the distance at which $E$ jumps from zero, and the charge comes from any point on the curve: $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. Given "$E_0$ at the surface", the value at $2R$ is $E_0/4$ and at $3R$ is $E_0/9$: sketch the curve through those points, starting at $E_0$ on the surface line, never from the origin.
Русский
Молния — это гигантская искра, вызванная огромным электрическим полем.
Электрическое поле — это область, где заряд испытывает силу со стороны других зарядов. Напряжённость электрического поля$E$ в точке — это сила, действующая на единичный положительный заряд малого положительного пробного заряда, помещённого в эту точку:
$$E = \frac{F}{q}.$$
Единица измерения: $\text{N C}^{-1}$ (та же, что и $\text{V m}^{-1}$, как мы увидим). $E$ — это вектор, указывающий направление силы, действующей на положительный заряд. Сила, действующая на заряд $q$, равна
$$F = qE,$$
направленной противоположно полю, если $q$ отрицательно.
Определение на два балла.Напряжённость электрического поля в точке — это сила, действующая на единичный положительный заряд малого (пробного) заряда, помещённого в эту точку. Три слова приносят баллы: сила на единичный заряд (не «сила на заряд»), положительный (что фиксирует направление) и малый или пробный (чтобы заряд не искажал измеряемое им поле). В тестовой версии предлагаются варианты-ловушки: «сила на единичный заряд, действующая на малую массу» и «сила на единичную массу»: поле определяется через заряд, никогда через массу.
Разобранный пример. Протон ускоряется со $2.00\ \text{m s}^{-2}$ в электрическом поле, при отсутствии других сил. Найдите напряжённость поля. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)
Та же самая перестановка в обратном порядке даёт ускорение электрона в поле $1500\ \text{V m}^{-1}$: $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, которое огромно, поскольку масса электрона так мала. Гравитация ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) ничтожна по сравнению с ней, поэтому в экзаменационных задачах о движении электронов между пластинами весом пренебрегают.
Силовые линии
линии поля указывают направление силы, действующей на положительный пробный заряд.
линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).
линии никогда не пересекаются; чем ближе друг к другу линии, тем сильнее поле.
каждая линия несёт стрелку; линии входят в поверхность проводника под прямым углом.
Что представляет собой силовая линия. На вопрос «объясните, что представляет собой силовая линия электрического поля» нужно ответить полностью: её направление показывает направление силы, действующей на положительный заряд, помещённый в эту точку, а расстояние между линиями характеризует напряжённость поля (чем ближе линии, тем поле сильнее). На рисунках ставятся баллы именно за эти моменты: наличие стрелок, отсутствие пересечений линий, равномерное расстояние там, где поле однородное, и радиальные линии для точечного заряда или сферы.
Примеры: у положительной точечнойзаряды линии радиальны и направлены наружу; у отрицательной — направлены внутрь; у двух противоположных зарядов (диполь) линии изгибаются от + к −; две параллельные заряженные пластины создают однородное поле с равными параллельными линиями.
Рисунки линий поля для параллельных пластин, диполя, точечного заряда и заряженной сферы над заземлённой пластинойЗаряженный полый проводник: снаружи поле такое же, как от точечного заряда в центре; внутри поле равно нулю, а потенциал постоянен
Заряженная проводящая сфера
Заряд на изолированномпроводнике располагается на его внешней поверхности, распределяясь равномерно, если сфера находится одна. Снаружи сферы линии поля радиальны, равномерно расположены и направлены наружу (для положительного заряда), образуя рисунок точечного заряда в центре. Внутри полой (или сплошной) проводника поле равно нулю: поля всех поверхностных зарядов компенсируют друг друга во всей внутренней области, поэтому ни одна силовая линия не проникает внутрь. Далее идут два графика, оба являются любимыми темами экзаменов. Напряжённость поля $E$ равна нулю до радиуса $R$, скачком достигает своего значения на поверхности $E_0$, а затем убывает как $1/r^{2}$; потенциал $V$постоянен внутри (нулевое поле означает нулевой градиент потенциала), а затем убывает как $1/r$.
Чтение графиков. По графику зависимости $E$–$x$ для заряженной сферы радиус — это расстояние, на котором $E$ резко возрастает из нуля, а заряд определяется по любой точке кривой: $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. Если дано «$E_0$ на поверхности», то значение при $2R$ равно $E_0/4$, а при $3R$ равно $E_0/9$: начертите кривую через эти точки, начиная с $E_0$ на линии поверхности, не от начала координат.
Генератор Ван-де-Граафа накапливает большой статический заряд на своей металлической сфере, создавая вокруг неё сильное электрическое поле
Explore · Исследовать
Electric fields · Электрические поля
E ∝ Q / r²
A charge sets up a radial field — out for +, in for −, obeying the inverse-square law. · Заряд создает радиальное поле — направленное наружу для +, внутрь для −, подчиняющееся закону обратных квадратов.
Uniform electric fields · Однородное электрическое поле
Syllabus · Программа
English
recall and use $E = \Delta V / \Delta d$ to calculate the field strength of the uniform field between charged parallel plates
describe the effect of a uniform electric field on the motion of charged particles
Русский
вспоминать и использовать $E = \Delta V / \Delta d$ для расчёта напряжённости однородного поля между заряженными параллельными пластинами
описывать влияние однородного электрического поля на движение заряженных частиц
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Between two parallel plates a distance $d$ apart with potential difference 电势差$V$ between them, the field is uniform (apart from edge effects) with size
$$E = \frac{V}{d}.$$
It points from the higher-potential plate to the lower one. The unit $\text{V m}^{-1}$ comes straight from this and equals $\text{N C}^{-1}$.
Worked example. Two parallel plates $5.0\ \text{mm}$ apart have a p.d. of $200\ \text{V}$ between them. Find the field strength, and the force on an electron in the gap. ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)
Which changes the field? Two things only: $E = V/d$ rises if the p.d. is increased or the plates are moved closer. A resistor in series with the supply changes nothing: no current flows once the plates are charged, so there is no p.d. across the resistor and the plates sit at the full supply voltage. Between plates at $+800\ \text{V}$ and $+1300\ \text{V}$ the field points from the higher potential to the lower; two positive potentials change nothing about the direction rule.
A charged particle in a uniform field
A charge $q$ in a uniform field feels a constant force$F = qE$, so a constant acceleration$a = qE/m$ — just like a mass in a uniform gravitational field.
released at rest, it speeds up along the field (positive charge) or against it (negative charge), gaining kinetic energy 动能.
entering at right angles to the field, it follows a parabolic 抛物线 path — like a projectile 抛体 in gravity. This is how a cathode-ray tube 阴极射线管 used to steer its beam.
Two forces, not one. A charged oil drop "held stationary" between horizontal plates is the exam's favourite equilibrium 平衡: both an electric force and its weight act on it (the multiple-choice distractor is "electric force only"), and they are equal and opposite. For a negative drop the electric force is opposite to the field, so the top plate must be positive to hold it up.
Worked example. An oil drop of mass $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ carries a charge of $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ and is held stationary in a vacuum between horizontal plates $2.0\ \text{cm}$ apart. Find the p.d. between the plates, and say which plate is positive.
The drop is negative, so the force on it is against the field; for the force to be upwards the field must point down, so the top plate is positive. Notice that the charge is $3e$, three excess electrons, which is how Millikan showed that charge comes in multiples of $e$.
Worked example. Two parallel plates in a vacuum are $0.041\ \text{m}$ apart with a p.d. of $250\ \text{V}$ between them. An electron is released from rest at the negative plate. Find (a) the field strength, (b) the force on the electron and its acceleration, (c) the time it takes to reach the positive plate, (d) its kinetic energy on arrival. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)
Worked example (deflection). An electron travelling horizontally at $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ enters the field between two horizontal plates $18\ \text{mm}$ apart with a p.d. of $400\ \text{V}$. The plates are $30\ \text{mm}$ long. Find the deflection 偏转 of the electron by the time it leaves the field.
The horizontal motion is unaffected: time in the field $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. Vertically, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, so the deflection is $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, less than the half-gap of $9\ \text{mm}$, so the electron does leave the field. Its vertical velocity on exit is $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, so it leaves at $\tan\theta = 5.9/20$, about $16°$; the path is a parabola, and after the plates (no field) it travels in a straight line in the direction it had on exit.
Русский
Между двумя параллельными пластинами на расстоянии $d$ друг от друга с разностью потенциалов$V$ между ними поле является однородным (за исключением краевых эффектов) и имеет величину
Между параллельными пластинами поле однородное, E = V/d
$$E = \frac{V}{d}.$$
Оно направлено от пластины с более высоким потенциалом к пластине с более низким. Единица измерения $\text{V m}^{-1}$ выводится непосредственно из этой формулы и равна $\text{N C}^{-1}$.
Разобранный пример. Две параллельные пластины находятся на расстоянии $5.0\ \text{mm}$ друг от друга, разность потенциалов между ними составляет $200\ \text{V}$. Найдите напряжённость поля и силу, действующую на электрон в промежутке. ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)
Что изменяет поле? Только две вещи: напряжённость $E = V/d$ возрастает, если разность потенциалов увеличивается или пластины moved ближе. Резистор, включённый последовательно с источником питания, ничего не меняет: ток не течёт после зарядки пластин, поэтому на резисторе нет разности потенциалов, и пластины оказываются под полным напряжением источника. Между пластинами с потенциалами $+800\ \text{V}$ и $+1300\ \text{V}$ поле направлено от более высокого потенциала к более низкому; два положительных потенциала не меняют правило направления.
Заряженная частица в однородном поле
Заряд $q$ в однородном поле испытывает постоянную силу$F = qE$, следовательно, постоянное ускорение$a = qE/m$ — точно так же, как масса в однородном гравитационном поле.
выпущенная из состояния покоя, она ускоряется вдоль поля (положительный заряд) или против него (отрицательный заряд), приобретая кинетическую энергию.
входя перпендикулярно полю, она следует по параболической траектории — как проектив в гравитации. Именно так электронно-лучевая трубка ранее управляла своим лучом.
Заряд, входящий в однородное поле перпендикулярно, следует по параболической траектории, подобно проективиЗаряжённый масляный капля удерживается в покое между горизонтальными пластинами: электрическая сила уравновешивает силу тяжести, поэтому q = mgd/V
Две силы, а не одна. Заряжённый масляный капля «удерживаемый в покое» между горизонтальными пластинами — это любимый экзаменационный случай равновесия: на него действуют обе силы — электрическая сила и его вес (отвлекающий вариант в тесте с выбором ответа — «только электрическая сила»), и они равны по величине и противоположны по направлению. Для отрицательного капли электрическая сила направлена противоположно полю, поэтому верхняя пластина должна быть положительной, чтобы удерживать его.
Разобранный пример. Масляный капля массой $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ несёт заряд $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ и удерживается в покое в вакууме между горизонтальными пластинами $2.0\ \text{cm}$ расстоянием. Найдите разность потенциалов между пластинами и определите, какая пластина положительная.
Капля отрицательна, значит сила на ней направлена против поля; чтобы сила была направлена вверх, поле должно указывать вниз, поэтому верхняя пластина положительная. Обратите внимание, что заряд равен $3e$, то есть три избыточных электрона, именно так Милликан показал, что заряд существует кратным $e$.
Разобранный пример. Две параллельные пластины в вакууме находятся на расстоянии $0.041\ \text{m}$ друг от друга, при этом разность потенциалов между ними составляет $250\ \text{V}$. Электрон выпускают из состояния покоя у отрицательной пластины. Найдите: (a) напряжённость поля, (b) силу, действующую на электрон, и его ускорение, (c) время,所需到达正极板的时间, (d) кинетическую энергию при прибытии. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)
Разобранный пример (отклонение). Электрон движется горизонтально со скоростью $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ и входит в поле между двумя горизонтальными пластинами $18\ \text{mm}$ расстоянием, между которыми разность потенциалов составляет $400\ \text{V}$. Пластины имеют длину $30\ \text{mm}$. Найдите отклонение электрона к моменту выхода из поля.
Горизонтальное движение не изменяется: время в поле $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. По вертикали, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, поэтому отклонение равно $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, что меньше половины промежутка между пластинами $9\ \text{mm}$, следовательно, электрон выходит из поля. Его вертикальная скорость при выходе равна $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, поэтому он покидает поле под углом $\tan\theta = 5.9/20$, приблизительно $16°$; траектория представляет собой параболу, и после пластин (где нет поля) он движется прямолинейно в том направлении, которое имел при выходе.
Explore · Исследовать
Uniform electric field lab · Лабораторная работа: равномерное электрическое поле
Follow how a charge behaves between parallel plates. · Изучите поведение заряда между параллельными пластинами.
18.3
Coulomb's law · Закон Кулона
Syllabus · Программа
English
understand that, for a point outside a spherical conductor, the charge on the sphere may be considered to be a point charge at its centre
recall and use Coulomb’s law$F = Q_1Q_2 / (4\pi\varepsilon_0 r^2)$ for the force between two point charges in free space
Русский
понимать, что для точки вне сферического проводника заряд сферы можно считать точечным зарядом, расположенным в её центре
вспоминать и использовать закон Кулона$F = Q_1Q_2 / (4\pi\varepsilon_0 r^2)$ для силы между двумя точечными зарядами в вакууме
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
For two point charges $Q_{1}$ and $Q_{2}$ a distance $r$ apart in free space, each feels a force of size
This is Coulomb's law 库仑定律. Here $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ is the permittivity of free space 真空电容率, and $1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. The force is along the line joining the charges: repulsive for like charges, attractive for opposite charges.
Stating the law in words. "State Coulomb's law" wants a sentence, not a formula: the (electric) force between two point charges is directly proportional to the product of the charges and inversely proportional to the square of their separation. Both proportionalities are needed, and the charges must be point charges (or spheres treated as point charges at their centres) in a vacuum.
Worked example. Find the electrostatic force between point charges of $+2.0\ \text{nC}$ and $+3.0\ \text{nC}$ placed $4.0\ \text{cm}$ apart. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)
Worked example. In a hydrogen atom the proton and the electron may be treated as point charges $120\ \text{pm}$ apart. Find the electric force between them, and compare it with their gravitational attraction. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)
Gravity: $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, about $10^{39}$ times smaller. Inside atoms, gravity is irrelevant.
Worked example. Two identical oil droplets in a vacuum have their centres $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$ apart. Each carries the same charge, and they repel with a force of $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$. Find the charge on each droplet, and the number of excess electrons it carries.
that is $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ electrons. Identical objects with the same sign of charge always repel; do not write "attract" for the direction.
Worked example. A charged sphere X is fixed on an insulating stand. A second sphere Y, of mass $2.0\ \text{g}$, hangs beside it on an insulating thread and settles in equilibrium with the thread at $12°$ to the vertical, its centre $5.0\ \text{cm}$ from the centre of X on the same horizontal level. Find the electric force on Y and, if the spheres carry equal charges, the charge on each.
Three forces act on Y: its weight $mg$ (down), the tension 张力$T$ (along the thread) and the electric force $F$ (horizontal, away from X because like charges repel). Resolving, $T\cos\theta = mg$ and $T\sin\theta = F$, so
Then $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ gives $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. A closed vector triangle of the three forces is an equally good method; the exam accepts either, but it must show all three forces.
Worked example (helium). A helium atom may be modelled as a nucleus of charge $+2e$ with two electrons in diametrically opposite circular orbits of radius $170\ \text{pm}$. Find the resultant force 合力 on one electron, and hence its orbital speed.
Two forces act on the electron: attraction to the nucleus, at distance $r$, and repulsion from the other electron, at distance $2r$ on the far side:
towards the nucleus. This resultant is the centripetal force, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, so $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. The trap is to forget the second electron, or to put it at distance $r$ rather than $2r$.
Spheres treated as point charges
A spherical conductor with total charge $Q$ gives, at any point outside, the same field as a point charge $Q$ at its centre (measure $r$ from the centre). Inside a hollow charged conductor the field is zero, so the conductor is an equipotential 等势面.
Русский
Для двух точечных зарядов $Q_{1}$ и $Q_{2}$, находящихся на расстоянии $r$ в свободном пространстве, каждый испытывает силу величиной
Это закон Кулона. Здесь $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ — диэлектрическая проницаемость вакуума, а $1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. Сила действует вдоль прямой, соединяющей заряды: отталкивающая для одноименных зарядов, притягивающая для разноименных.
Формулировка закона словами. Фраза «Сформулируйте закон Кулона» требует предложения, а не формулы: электрическая (кулоновская) сила между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Необходимы обе пропорциональности, и заряды должны быть точечными (или шарами, рассматриваемыми как точечные заряды в их центрах), находящимися в вакууме.
Одноимённые заряды отталкиваются; разноимённые притягиваются — сила действует вдоль линии, соединяющей их
Разобранный пример. Найдите электростатическую силу между точечными зарядами $+2.0\ \text{nC}$ и $+3.0\ \text{nC}$, расположенными на расстоянии $4.0\ \text{cm}$ друг от друга. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)
Разобранный пример. В атоме водорода протон и электрон можно рассматривать как точечные заряды $120\ \text{pm}$ расстоянием. Найдите электрическую силу между ними и сравните её с гравитационным притяжением. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)
Гравитация: $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, примерно в $10^{39}$ раз меньше. Внутри атомов гравитацией можно пренебречь.
Разобранный пример. Два одинаковых масляных капель в вакууме имеют центры на расстоянии $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$ друг от друга. Каждый несёт одинаковый заряд, и они отталкиваются с силой $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$. Найдите заряд каждого капли и количество избыточных электронов.
что составляет $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ электронов. Одинаковые объекты с одинаковым знаком заряда всегда отталкиваются; не пишите «притягиваются» для направления.
Разобранный пример. Заряженная сфера X закреплена на диэлектрической стойке. Вторая сфера Y массой $2.0\ \text{g}$ подвешена рядом на диэлектрической нити и приходит в равновесие, при этом нить отклонена на угол $12°$ от вертикали, а её центр находится на расстоянии $5.0\ \text{cm}$ от центра X на одном горизонтальном уровне. Найдите электрическую силу, действующую на Y, и если сферы несут равные заряды, найдите заряд каждой.
Заряженная сфера, подвешенная рядом с другой заряженной сферой: три силы уравновешивают друг друга — натяжение вдоль нити, вес и горизонтальное электрическое отталкивание, поэтому tan θ = F/mg
На Y действуют три силы: его вес $mg$ (вниз), натяжение нити$T$ (вдоль нити) и электрическая сила $F$ (горизонтально, от X, так как одноименные заряды отталкиваются). Разложив силы, получаем $T\cos\theta = mg$ и $T\sin\theta = F$, следовательно,
Затем $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ даёт $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. Замкнутый векторный треугольник трёх сил — также подходящий метод; экзамен допускает любой из них, но необходимо показать все три силы.
Разобранный пример (гелий). Атом гелия можно моделировать как ядро с зарядом $+2e$ и двумя электронами, движущимися по диаметрально противоположным круговым орбитам радиуса $170\ \text{pm}$. Найдите результирующую силу, действующую на один электрон, и, следовательно, его орбитальную скорость.
На электрон действуют две силы: притяжение к ядру на расстоянии $r$ и отталкивание от другого электрона, находящегося на расстоянии $2r$ с противоположной стороны:
в сторону ядра. Эта равнодействующая является центростремительной силой, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, поэтому $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Ошибка заключается в том, чтобы забыть об электроны или поместить его на расстоянии $r$ вместо $2r$.
Сферы как точечные заряды
Сферический проводник с общим зарядом $Q$ создает вне его (в любой точке снаружи) такое же поле, как точечный заряд $Q$, расположенный в его центре (измерение $r$ от центра). Внутри полого заряженного проводника поле равно нулю, поэтому проводник является эквипотенциалом.
Explore · Исследовать
Coulomb's law · Закон Кулона
F ∝ Qq / r²
Like charges repel, unlike attract — and the force follows 1/r². · Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются — и сила следует закону 1/r².
Electric field due to a point charge · Электрическое поле точечного заряда
Syllabus · Программа
English
recall and use $E = Q / (4\pi\varepsilon_0 r^2)$ for the electric field strength due to a point charge in free space
Русский
вспоминать и использовать $E = Q / (4\pi\varepsilon_0 r^2)$ для напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом в вакууме
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Coulomb's law gives the force between two charges. Divide it by the test charge ($E = F/q$) and you are left with the field of the source charge $Q$alone. The field at distance $r$ from a point charge $Q$ is
$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.$$
It points out from a positive $Q$, in towards a negative $Q$, and falls as $1/r^{2}$ — just like gravitational field 重力场 strength, except gravity is always attractive. For several charges, add the fields as a vector sum 矢量和.
Worked example. The Earth may be treated as a uniform conducting sphere of radius $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ carrying a total charge of $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$ spread over its surface. Find the electric field strength at the surface, and compare it with the gravitational field strength there. ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)
directed towards the centre (the charge is negative). Gravity: $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, so $E/g \approx 11$; in symbols $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, which shows that the ratio depends only on the charge-to-mass ratio of the sphere. A charged sphere of mass $m$ and charge $q$ would need $qE = mg$ to float in this field: $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.
Worked example. Point charges of $+4.0\ \text{nC}$ and $+1.0\ \text{nC}$ are $30\ \text{cm}$ apart. Where on the line joining them is the resultant field zero?
Between the charges the two fields point in opposite directions; call the distance from the $4.0\ \text{nC}$ charge $x$. Zero resultant needs equal magnitudes:
twice as far from the larger charge. For opposite charges the fields between them point the same way and never cancel: the zero lies outside, beyond the smaller charge.
Русский
Закон Кулона дает силу между двумя зарядами. Разделив её на пробный заряд ($E = F/q$), вы получите поле источника заряда $Q$только. Поле на расстоянии $r$ от точечного заряда $Q$ равно
$$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}.$$
Оно направлено от положительного $Q$, к отрицательному $Q$ и убывает как $1/r^{2}$ — точно так же, как и гравитационное поле, за исключением того, что гравитация всегда притягивает. Для нескольких зарядов складывайте поля как векторную сумму.
Разбор примера. Землю можно рассматривать как однородную проводящую сферу радиусом $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$, несущую общий заряд $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$, распределенный по поверхности. Найдите напряженность электрического поля на поверхности и сравните её с напряженностью гравитационного поля там же. ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)
направленная к центру (так как заряд отрицательный). Гравитация: $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, значит $E/g \approx 11$; в символах $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, что показывает зависимость отношения только от удельного заряда сферы. Заряженная сфера массой $m$ и зарядом $q$ потребовала бы поля $qE = mg$ для левитации в этом поле: $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.
Разбор примера. Точечные заряды $+4.0\ \text{nC}$ и $+1.0\ \text{nC}$ находятся на расстоянии $30\ \text{cm}$ друг от друга. Где на линии, соединяющей их, результирующее поле равно нулю?
Между зарядами два поля направлены в противоположные стороны; обозначим расстояние от заряда $4.0\ \text{nC}$ как $x$. Нулевая равнодействующая требует равенства модулей:
в два раза дальше от большего заряда. Для разноименных зарядов поля между ними направлены в одну сторону и никогда не компенсируются: ноль находится снаружи, за меньшим зарядом.
Explore · Исследовать
Field around a point charge · Поле вокруг точечного заряда
Change the charge. Field lines point away from positive and toward negative, and crowd together where the field is strongest. · Измените заряд. Линии поля направлены от положительного и к отрицательному, и сгущаются там, где поле наиболее сильное.
18.5
Electric potential · Электрический потенциал
Syllabus · Программа
English
define electric potential at a point as the work done per unit positive charge in bringing a small test charge from infinity to the point
recall and use the fact that the electric field at a point is equal to the negative of potential gradient at that point
use $V = Q / (4\pi\varepsilon_0 r)$ for the electric potential in the field due to a point charge
understand how the concept of electric potential leads to the electric potential energy of two point charges and use $E_P = Qq / (4\pi\varepsilon_0 r)$
Русский
определять электрический потенциал в точке как работу, совершаемую на единицу положительного заряда при перемещении малого пробного заряда из бесконечности в эту точку
вспоминать и использовать тот факт, что электрическое поле в точке равно отрицательному значению градиента потенциала в этой точке
использовать $V = Q / (4\pi\varepsilon_0 r)$ для электрического потенциала в поле, создаваемом точечным зарядом
понимать, как понятие электрического потенциала приводит к электрической потенциальной энергии двух точечных зарядов, и использовать $E_P = Qq / (4\pi\varepsilon_0 r)$
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Electric potential 电势$V$ at a point is the work done per unit positive charge in bringing a small positive test charge from infinity 无穷远 to that point:
$$V = \frac{W}{q}.$$
Unit: $\text{V}$. The potential is zero at infinity. For a positive source charge $V > 0$ everywhere outside; for a negative source charge $V < 0$.
The two-mark definition.Electric potential at a point is the work done per unit positive charge in bringing a small test charge from infinity to the point. The marks are for work done per unit (positive) charge and from infinity to the point. The potential of a positive charge is positive because work must be done on a positive test charge to push it in against the repulsion; near a negative charge the field does the work, so the potential is negative. "Explain why the potential near an isolated proton is positive" is answered in exactly those words.
Potential due to a point charge
$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r}.$$
Note the $1/r$ here (compared with $1/r^{2}$ for the field). $V$ is a scalar 标量; for several charges, add the potentials (with sign).
Worked example. Find the electric potential $4.0\ \text{cm}$ from a point charge of $+3.0\ \text{nC}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)
Because potential is a scalar, the potential from several charges is simply their sum (each with its own sign) — no directions to resolve.
Two charged spheres on a line
The exam's favourite structured question puts two charged spheres X and Y some distance apart and draws the potential $V$ along the line joining their centres (or asks you to reason from it). Everything follows from two facts: potential is a scalar that adds with sign, and the field is the negative gradient of the graph.
Sign of the charges. If $V$ is positive along the whole line, both charges are positive; if $V$ changes sign, the charges are opposite (positive near the positive sphere).
Where the field is zero. Where the curve has a minimum (gradient zero). For like charges this lies between them, closer to the smaller charge: $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. For opposite charges there is no such point between them: the curve crosses zero there, but its gradient is not zero, so the field is not.
Ratio of the charges. Where $V = 0$ between opposite charges, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$: the distances give the ratio directly. For like charges use the minimum instead (the square root of the field condition).
Force on a charge placed at P. Read the gradient at P by drawing a tangent 切线; then $E$ is minus the gradient, and $F = qE$.
Worked example. Two isolated charged metal spheres X and Y have their centres $1.2\ \text{m}$ apart in a vacuum. The potential along the line between them is positive everywhere and has a minimum at $x = 0.50\ \text{m}$ from the centre of X. State three conclusions, and then find the force on a proton held at $x = 0.60\ \text{m}$, where the gradient of the graph is $+180\ \text{V m}^{-1}$.
Conclusions: (1) both spheres are positively charged, because the potential is positive everywhere; (2) the electric field is zero at $x = 0.50\ \text{m}$, where the gradient is zero; (3) the charge on Y is larger, because the zero-field point lies closer to X; in fact $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. At $x = 0.60\ \text{m}$: $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (pointing towards X, since $V$ rises towards Y), so $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ towards X. Released, the proton accelerates towards X, its acceleration increasing as the gradient steepens; it needs an external force to hold it still.
Describing the motion. "A positively charged particle is placed at P and released. Describe and explain its motion." The examiner wants: the direction (towards lower potential, down the slope of the $V$ graph); that the force, and so the acceleration, is not constant (it follows the gradient, which changes along the line); and that the particle speeds up throughout, since the force stays in the direction of motion. If P is the zero-field point the particle stays at rest, in unstable equilibrium: a nudge either way sends it off.
Link between field and potential
The field equals the negative potential gradient 电势梯度:
$$E = -\frac{dV}{dx}.$$
Between parallel plates $V$ changes evenly with position, giving $E = V/d$ as before. The minus sign means the field points towards lower potential. For a point charge, $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.
The one-line relationship. "State the relationship between electric field and electric potential": the field strength is equal to the negative of the potential gradient, $E = -\Delta V/\Delta x$. On a $V$–$x$ graph $E$ is minus the gradient of a tangent; on a $V$–$r$ graph for a point charge the gradient is steepest close to the charge, where the field is strongest, and the sign of $E$ is fixed by "the field points towards lower potential". The uniform-field version $E = V/d$ is the same statement with a constant gradient.
Equipotentials. An equipotential surface joins points of equal potential; no work is done moving a charge along it, so the field is always at right angles to it. Around a point charge the equipotentials are concentric spheres, growing further apart as $V$ falls; between parallel plates they are planes parallel to the plates. The surface of a conductor is an equipotential, which is why field lines meet it at right angles.
Electric potential energy
A charge $q$ at a point of potential $V$ has electric potential energy 电势能$E_{\text{P}} = qV$. For two point charges $Q$ and $q$ a distance $r$ apart:
like charges: $E_{\text{P}} > 0$ — stored energy that would be released if they flew apart.
opposite charges: $E_{\text{P}} < 0$ — a bound 束缚 system; energy must be supplied to separate them.
In both cases $E_{\text{P}} \to 0$ as $r \to \infty$.
Worked example. The proton and the electron in a hydrogen atom are $5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$ apart. Find the electric potential energy of the pair.
The negative sign is part of the answer: the charges are opposite, so energy ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) must be supplied to pull them apart to infinity. (The electron also has kinetic energy of half that size, so the energy needed to ionise 电离 the atom is $13.6\ \text{eV}$; the "worked-example pattern" below shows why.)
Charge through a p.d. A charge $q$ moved through a potential difference $V$ changes its potential energy by $qV$, which is why an electron accelerated from rest through $250\ \text{V}$ arrives with $250\ \text{eV}$ of kinetic energy whatever the shape of the field. For an MCQ about "moving P a distance $x$ along the field lines", the work done is $qEx$, and its potential energy falls if it moves the way the force pushes it.
Worked-example pattern
An electron 电子 orbits a nucleus 原子核 of charge $+Ze$ at distance $r$. The Coulomb attraction provides the centripetal force 向心力:
The minus sign in the gravitational potential 引力势 reflects that gravity is always attractive; the electric potential takes the sign of the source charge.
Similarity and difference (a standard two-marker). Both potentials are proportional to $1/r$, both are zero at infinity, and both are scalars; but gravitational potential is always negative (the force is always attractive) whereas electric potential takes the sign of the charge and can be positive. For the fields: both obey an inverse-square law and both are drawn as radial lines around a point source, but gravitational field lines only ever point inwards (attraction), while electric field lines point outwards from a positive charge and inwards to a negative one.
Русский
Электрический потенциал$V$ в точке — это работа, совершаемая на единицу положительного заряда при перемещении малого положительного пробного заряда из бесконечности в эту точку:
$$V = \frac{W}{q}.$$
Единица: $\text{V}$. Потенциал равен нулю на бесконечности. Для положительного источника заряда $V > 0$ везде снаружи; для отрицательного источника заряда $V < 0$.
Определение на два балла.Электрический потенциал в точке — это работа, совершаемая на единицу положительного заряда при перемещении малого пробного заряда из бесконечности в точку. Баллы начисляются за работу на единицу (положительного) заряда и из бесконечности в точку. Потенциал положительного заряда положителен, потому что работу необходимо совершить над положительным пробным зарядом, чтобы толкнуть его навстречу отталкиванию; рядом с отрицательным зарядом поле совершает работу, поэтому потенциал отрицателен. «Объясните, почему потенциал вблизи изолированного протона положителен» — ответ дается именно этими словами.
Потенциал точечного заряда
$$V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r}.$$
Обратите внимание на $1/r$ здесь (по сравнению с $1/r^{2}$ для поля). $V$ является скаляром; для нескольких зарядов складывайте потенциалы (с учетом знака).
Поскольку потенциал является скаляром, суммарный потенциал от нескольких зарядов равен просто их сумме (каждый со своим знаком) — нет необходимости разрешать направления.
Потенциал вдоль линии между двумя заряженными сферами: одноименные заряды дают минимум (поле там равно нулю); разноименные заряды дают переход через ноль
Две заряженные сферы на прямой
Популярный структурированный вопрос экзамена помещает две заряженные сферы X и Y на некотором расстоянии друг от друга и строит график потенциала $V$ вдоль линии, соединяющей их центры (или просит рассуждать на основе этого графика). Все следует из двух фактов: потенциал — это скаляр, который складывается со знаком, а поле — это отрицательный градиент графика.
Знаки зарядов. Если $V$ положителен на всем участке, оба заряда положительны; если $V$ меняет знак, заряды разноименны (положительный вблизи положительной сферы).
Где поле равно нулю. Там, где кривая имеет минимум (нулевой градиент). Для одноименных зарядов он находится между ними, ближе к меньшему заряду: $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. Для разноименных зарядов такого точки между ними нет: кривая пересекает ноль там, но её градиент не равен нулю, поэтому поле не равно нулю.
Отношение зарядов. Там, где $V = 0$ между разноименными зарядами, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$: расстояния дают отношение напрямую. Для одноименных зарядов используйте минимум вместо этого (корень квадратный из условия поля).
Сила, действующая на заряд, помещенный в P. Прочитайте градиент в точке P, проведя касательную; тогда $E$ равно минусу градиента, и $F = qE$.
Разбор примера. Два изолированных заряженных металлических шара X и Y имеют центры, удаленные друг от друга на $1.2\ \text{m}$ в вакууме. Потенциал вдоль линии между ними положителен повсюду и имеет минимум на расстоянии $x = 0.50\ \text{m}$ от центра шара X. Укажите три вывода, а затем найдите силу, действующую на протон, удерживаемый в точке $x = 0.60\ \text{m}$, где градиент графика равен $+180\ \text{V m}^{-1}$.
Выводы: (1) обе сферы положительно заряжены, поскольку потенциал положителен повсюду; (2) электрическое поле равно нулю в точке $x = 0.50\ \text{m}$, где градиент равен нулю; (3) заряд Y больше, так как точка с нулевым полем расположена ближе к X; фактически $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. В точке $x = 0.60\ \text{m}$: $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (направлено к X, поскольку $V$ возрастает в направлении Y), следовательно, $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ направлено к X. Если протон отпустить, он ускорится в сторону X, и его ускорение будет возрастать по мере того, как становится круче градиент; чтобы удержать его в покое, требуется внешняя сила.
Описание движения. «Положительно заряженная частица помещена в точку P и отпущена. Опишите и объясните её движение». Экзаменатор ожидает: направление (к меньшему потенциалу, вниз по склону графика $V$); то, что сила, а значит ускорение, не постоянны (они следуют за градиентом, который меняется вдоль линии); и что скорость частицы возрастает на всём протяжении, поскольку сила сохраняет направление движения. Если P — точка с нулевым полем, частица остаётся в покое в неустойчивом равновесии: любое небольшое смещение в любую сторону приведёт к движению.
Потенциал вблизи точечного заряда изменяется пропорционально 1/r — положителен для положительного заряда, отрицателен для отрицательного
Связь между полем и потенциалом
Поле равно отрицательному градиенту потенциала:
$$E = -\frac{dV}{dx}.$$
Между параллельными пластинами $V$ равномерно изменяется с положением, давая $E = V/d$, как и ранее. Знак минус означает, что поле направлено к меньшему потенциалу. Для точечного заряда $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.
Однострочная связь. «Укажите связь между электрическим полем и электрическим потенциалом»: величина поля равна отрицательной величине градиента потенциала, $E = -\Delta V/\Delta x$. На графике $V$–$x$$E$ равно минус градиенту касательной; на графике $V$–$r$ для точечного заряда градиент наиболее крут вблизи заряда, где поле最强, а знак $E$ определяется тем, что «поле направлено к меньшему потенциалу»». Вариант для однородного поля $E = V/d$ — это та же формулировка с постоянным градиентом.
Эквипотенциальные поверхности.Эквипотенциальная поверхность соединяет точки с одинаковым потенциалом; перемещение заряда вдоль неё не требует совершения работы, поэтому поле всегда направлено под прямым углом к ней. Вокруг точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы, расходящиеся всё дальше друг от друга по мере убывания $V$; между параллельными пластинами они являются плоскостями, параллельными пластинам. Поверхность проводника является эквипотенциальной, поэтому силовые линии подходят к ней под прямым углом.
В однородном поле потенциал линейно убывает с расстоянием, поэтому величина поля $V/d$ постоянна
Электрический потенциальная энергия
Заряд $q$ в точке с потенциалом $V$ обладает электрической потенциальной энергией$E_{\text{P}} = qV$. Для двух точечных зарядов $Q$ и $q$, находящихся на расстоянии $r$ друг от друга:
одноимённые заряды: $E_{\text{P}} > 0$ — запасённая энергия, которая выделится, если они разлетятся.
разноимённые заряды: $E_{\text{P}} < 0$ — связанная система; для их разъединения необходимо подвести энергию.
В обоих случаях $E_{\text{P}} \to 0$ при $r \to \infty$.
Разбор примера. Протон и электрон в атоме водорода находятся на расстоянии $5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$ друг от друга. Найдите электрическую потенциальную энергию этой пары.
Знак минус является частью ответа: заряды разноимённы, поэтому энергия ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) должна быть подведена, чтобы развести их в бесконечность. (Электрон также имеет кинетическую энергию в два раза меньшую, поэтому энергия, необходимая для ионизации атома, составляет $13.6\ \text{eV}$; приведенный ниже «шаблон разбора примера» объясняет почему.)
Заряд через разность потенциалов. Заряд $q$, перемещённый на разность потенциалов $V$, изменяет свою потенциальную энергию на $qV$, поэтому электрон, разогнанный из состояния покоя на разность $250\ \text{V}$, приобретёт кинетическую энергию $250\ \text{eV}$ независимо от формы поля. Для вопроса с множественным выбором о «перемещении P на расстояние $x$ вдоль силовых линий» совершённая работа составляет $qEx$, а его потенциальная энергия уменьшается, если он движется в том направлении, куда действует сила.
Электрическая ПЭ двух зарядов: положительна для одноимённых, представляет собой отрицательную яму для разноимённых
Шаблон разбора примера
Электрон вращается вокруг ядра с зарядом $+Ze$ на расстоянии $r$. Кулоновское притяжение обеспечивает центростремительную силу:
что является отрицательным значением (связанное состояние).
Гравитационное против электрического
Обе теории поля выглядят схоже:
Величина
Гравитационное
Электрическое
Источник
масса $M$ (всегда положительна)
заряд $Q$ (может быть ±)
Величина поля
$g = GM/r^{2}$
$E = Q/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$
Сила на пробный объект
$F = mg$
$F = qE$
Потенциал
$\phi = -GM/r$
$V = Q/(4\pi\varepsilon_{0} r)$
ПЭ двух тел
$-GMm/r$
$Qq/(4\pi\varepsilon_{0} r)$
Характер
всегда притягивающее
притягивающее или отталкивающее
Знак минус в гравитационном потенциале отражает то, что гравитация всегда притягивает; электрический потенциал принимает знак источника заряда.
Сходства и различия (стандартный вопрос на 2 балла). Оба потенциала пропорциональны $1/r$, оба равны нулю на бесконечности и оба являются скалярами; однако гравитационный потенциал всегда отрицателен (сила всегда притягивающая), тогда как электрический потенциал принимает знак заряда и может быть положительным. Для полей: оба подчиняются закону обратных квадратов и оба изображаются радиальными линиями вокруг точечного источника, но линии гравитационного поля всегда направлены внутрь (притяжение), а линии электрического поля расходятся от положительного заряда и сходятся к отрицательному.
Explore · Исследовать
Electric potential · Электрический потенциал
V = kQ / r
Potential ∝ 1/r around a charge — steep near it, flattening out. · Потенциал ∝ 1/r вокруг заряда — крутой рядом с ним, выравнивающийся дальше.
electric potential energy/ɪˈlektrɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/
электрический потенциальная энергия
bound/baʊnd/
связанную
ionise/ˈaɪənaɪz/
ионизировать
gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/
гравитационный потенциал
18.5
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
electric field
a region in which a charge experiences an (electric) force
electric field strength
the force per unit positive charge acting on a small (test) charge placed at the point
electric field line
a line whose direction shows the direction of the force on a positive charge; the spacing of the lines shows the field strength
Coulomb's law
the force between two point charges is directly proportional to the product of the charges and inversely proportional to the square of their separation
electric potential
the work done per unit positive charge in bringing a small test charge from infinity to the point
field and potential
the electric field strength is equal to the negative of the potential gradient: $E = -\Delta V/\Delta x$
electric potential energy (of two charges)
the work done in bringing the charges from infinity to their separation; $Qq/(4\pi\varepsilon_{0} r)$
equipotential
a surface (or line) on which every point has the same potential; the field is at right angles to it
uniform field
a field with the same strength and direction at every point, shown by parallel, evenly spaced field lines
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
электрическое поле
область, в которой заряд испытывает (электрическую) силу
напряжённость электрического поля
сила, приходящаяся на единицу положительного заряда, действующая на малый (пробный) заряд, помещённый в данную точку
силовая линия электрического поля
линия, направление которой указывает направление силы, действующей на положительный заряд; расстояние между линиями характеризует напряжённость поля
закон Кулона
сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
электрический потенциал
работа, совершаемая при перемещении единичного положительного пробного заряда из бесконечности в данную точку
поле и потенциал
напряжённость электрического поля равна отрицательной величине градиента потенциала: $E = -\Delta V/\Delta x$
электрический потенциальный энергия (двух зарядов)
работа, совершаемая при перемещении зарядов из бесконечности до заданного расстояния между ними; $Qq/(4\pi\varepsilon_{0} r)$
эквипотенциальная поверхность
поверхность (или линия), каждая точка которой имеет одинаковый потенциал; поле направлено перпендикулярно к ней
однородное поле
поле с одинаковой напряжённостью и направлением в каждой точке, изображаемое параллельными равноудалёнными силовыми линиями
18.5
Exam tips · Советы для экзамена
English
Four formulae, two with $r^{2}$ and two with $r$: $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ and $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (inverse square), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ and $E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. Decide which one before you write.
Distinguish a uniform field ($E = V/d$, between plates) from a radial field ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, outside a point charge or a sphere); $r$ for a sphere is measured from the centre, not the surface.
The field points from high to low potential and $E$ is minus the potential gradient: draw a tangent on a $V$–$x$ graph to find it.
Field is a vector (add components, subtract opposing ones); potential is a scalar (add with sign). Between like charges there is a zero-field point; between opposite charges a zero-potential point.
A charged particle in a uniform field: $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$; along the field it is the vertical half of projectile motion, and motion at right angles to the field is unaffected.
The data sheet gives both $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ and $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$; either works, do not mix them up.
Common mistakes
Defining field strength as "the force on a charge" or "force per unit mass". It is the force per unit positive charge on a small positive charge.
Forgetting to square $r$ in Coulomb's law and in the field, or squaring it in the potential ($V \propto 1/r$).
Using the diameter, or the distance from the surface of a sphere, instead of the centre-to-centre distance.
Sketching $E$ for a sphere from the origin. It is zero inside and starts at $E_0$ on the surface; $V$ is constant inside, not zero.
Field lines without arrows, crossing, or unevenly spaced in a uniform field; lines not at right angles to a conductor.
Dropping the negative sign on the potential energy of opposite charges, or taking the direction of $E$ from the sign of $V$ instead of from its gradient.
Forgetting the second electron in the helium atom, or placing it at distance $r$ rather than $2r$.
Using $E = V/d$ for a point charge, or $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ between plates.
Giving an electron weight, or using the proton's mass for an electron; in electrons-between-plates questions the weight is negligible.
Leaving out the weight in an "oil drop held stationary" question, or getting the polarity of the top plate backwards.
Русский
Четыре формулы, две с $r^{2}$ и две с $r$: $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ и $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (закон обратных квадратов), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ и $E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. Решите, какую использовать, прежде чем записывать.
Различайте однородное поле ($E = V/d$, между пластинами) и радиальное поле ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, вне точечного заряда или сферы); для сферы $r$ измеряется от центра, а не от поверхности.
Поле направлено от высокого потенциала к низкому, а $E$ равно минус градиенту потенциала: проведите касательную к графику $V$–$x$, чтобы найти её.
Поле — вектор (складывайте компоненты, вычитайте противоположные); потенциал — скаляр (складывайте со знаком). Между одноимёнными зарядами есть точка с нулевой напряжённостью; между разноимёнными зарядами есть точка с нулевым потенциалом.
Заряженная частица в однородном поле: $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$; вдоль поля это вертикальная составляющая движения тела, брошенного горизонтально, а движение перпендикулярно полю не изменяется.
В справочном листе даны обе величины $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ и $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$; подходит любая, не перепутайте их.
Распространенные ошибки
Определение напряжённости поля как «силы, действующей на заряд» или «силы на единицу массы». Это сила, приходящаяся на единицу положительного заряда, действующая на малый положительный заряд.
Забывание возведения $r$ в квадрат в законе Кулона и в формуле поля, или ошибочное возведение его в квадрат в формуле потенциала ($V \propto 1/r$).
Использование диаметра или расстояния от поверхности сферы вместо расстояния между центрами.
Построение графика $E$ для сферы от начала координат. Он равен нулю внутри и начинается со значения $E_0$ на поверхности; $V$ постоянен внутри, а не равен нулю.
Силовые линии без стрелок, пересекающиеся или неравномерно расположенные в однородном поле; линии, не перпендикулярные проводнику.
Потеря знака минус у потенциальной энергии разноимённых зарядов или определение направления $E$ по знаку $V$ вместо того, чтобы брать его из градиента.
Забывание о втором электроне в атоме гелия или placement его на расстоянии $r$ вместо $2r$.
Использование формулы $E = V/d$ для точечного заряда или $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ между пластинами.
Придание электрону веса или использование массы протона для электрона; в задачах об электронах между пластинами весом можно пренебречь.
Пропускание учёта веса в задаче «неподвижно удерживаемая капля масла» или путаница в полярности верхней пластины.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
