Накачайте велосипедную покрышку быстро и сильно, и произойдёт нечто удивительное: насос нагреется. Насколько, что можно почувствовать рукой. Вы не грели его пламенем. Так откуда…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
16.1
Internal energy · Внутренняя энергия
Syllabus · Программа
English
understand that internal energy is determined by the state of the system and that it can be expressed as the sum of a random distribution of kinetic and potential energies associated with the molecules of a system
relate a rise in temperature of an object to an increase in its internal energy
Русский
понимать, что внутренняя энергия определяется состоянием системы и может быть выражена как сумма случайного распределения кинетических и потенциальных энергий, связанных с молекулами системы
связывать повышение температуры тела с увеличением его внутренней энергии
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
The internal energy 内能$U$ of a system is the sum of:
the random kinetic energies 动能 of its molecules 分子 — they fly through space (translational 平动 motion), and unless they are single atoms they also spin (rotational 转动) and shake (vibrational 振动), and
the potential energies from the forces between the molecules.
For a real solid, liquid or gas, both parts matter. In the ideal-gas 理想气体 model the intermolecular 分子间 forces are ignored, so the molecular potential energy is zero and the internal energy is purely kinetic.
The two-mark definition.The internal energy of a system is the sum of the random distribution of the kinetic and potential energies of its molecules (or atoms). Both marks need "sum of kinetic and potential energies" and "random" (or "of the molecules") — leaving out "random" describes the energy of a moving object, not its internal energy. For an ideal gas, "with reference to kinetic and potential energy": the internal energy is the total kinetic energy of the molecules only, because there are no intermolecular forces and therefore no potential energy.
Two key points:
$U$ depends only on the state of the system (its temperature 温度, pressure 压强, volume 体积, amount of substance 物质的量) — not on the path taken to get there.
$U$ is a sum over the molecules, not the kinetic energy of the whole object moving. A moving train of gas has bulk kinetic energy, but that is separate from $U$ — $U$ is the energy of the random molecular motion.
Temperature and internal energy
Raising an object's temperature raises the random kinetic energy of its molecules, and so raises its internal energy.
For an ideal gas every molecule has average translational kinetic energy $\tfrac{3}{2} k T$ (Topic 15). With zero intermolecular potential energy, the total internal energy is
$$U = \tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T.$$
So the internal energy of an ideal gas is directly proportional to the thermodynamic temperature 热力学温度. Doubling $T$ doubles $U$. This is only exact for an ideal gas.
During a phase change 相变 (melting or boiling) of a real substance, $U$ rises because the molecular potential energy rises (bonds breaking), even though the temperature stays constant.
Describing a change in internal energy — always name both energies. A three-mark "describe and explain, with reference to molecular kinetic and potential energies" answer says what happens to each:
a gas heated at constant volume: the kinetic energy of the molecules increases, because temperature is a measure of their mean kinetic energy; the potential energy is unchanged (no work is done, the molecules' separation does not change); so the internal energy increases.
a wire stretched within its elastic limit at constant temperature: the kinetic energy of the atoms is unchanged (same temperature); the potential energy increases, because the atoms are pulled further apart against the interatomic forces; so the internal energy increases.
ice melting at $0\ ^{\circ}\text{C}$: the kinetic energy is unchanged (constant temperature); the potential energy increases as the bonds between molecules are broken and the separation grows; so the internal energy increases by the latent heat supplied.
Worked example. A fixed mass of ideal gas is heated at constant pressure. Sketch the variation of its internal energy $U$ with its volume $V$.
At constant pressure $V \propto T$ (Charles's law) and for an ideal gas $U \propto T$, so $U \propto V$: a straight line through the origin. The origin is on the line because at absolute zero both $V$ (extrapolated) and $U$ are zero.
Русский
Внутренняя энергия$U$ системы представляет собой сумму:
случайных кинетических энергий её молекул — они перемещаются в пространстве (поступательное движение), а если это не одноатомные газы, то также вращаются (вращательное) и колеблются (колебательное), и
потенциальных энергий, обусловленных силами взаимодействия между молекулами.
Для реальных твердых тел, жидкостей и газов важны обе составляющие. В модели идеального газа межмолекулярными силами пренебрегают, поэтому молекулярная потенциальная энергия равна нулю, а внутренняя энергия носит исключительно кинетический характер.
Определение на два балла.Внутренняя энергия системы — это сумма случайного распределения кинетической и потенциальной энергий её молекул (или атомов). Оба балла требуют наличия фразы «сумма кинетической и потенциальной энергий» и слова «случайный» (или «молекул»); отсутствие слова «случайный» описывает энергию движущегося тела, а не его внутреннюю энергию. Для идеального газа формулировка «с учетом кинетической и потенциальной энергий»: внутренняя энергия — это полная кинетическая энергия молекул, поскольку межмолекулярных сил нет и, следовательно, нет потенциальной энергии.
Внутренняя энергия — это случайная кинетическая энергия молекул (стрелки) плюс потенциальная энергия сил взаимодействия между ними (пружины)
Два ключевых момента:
$U$ зависит только от состояния системы (ее температуры, давления, объема, количества вещества) — а не от пути, которым это состояние было достигнуто.
$U$ представляет собой сумму по всем молекулам, а не кинетическую энергию всего объекта как целого. Движущийся поезд из газа обладает кинетической энергией макроскопического движения, но она отделена от $U$ — $U$ является энергией случайного молекулярного движения.
Температура и внутренняя энергия
Повышение температуры тела увеличивает случайную кинетическую энергию его молекул, а значит, повышает и его внутреннюю энергию.
Для идеального газа каждая молекула имеет среднюю поступательную кинетическую энергию $\tfrac{3}{2} k T$ (Тема 15). При нулевой межмолекулярной потенциальной энергии общая внутренняя энергия равна
$$U = \tfrac{3}{2} N k T = \tfrac{3}{2} n R T.$$
Таким образом, внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна термодинамической температуре. Удвоение $T$ приводит к удвоению $U$. Это справедливо исключительно для идеального газа.
Во время фазового перехода (плавления или кипения) реального вещества $U$ возрастает, так как увеличивается молекулярная потенциальная энергия (разрыв связей), несмотря на то что температура остается неизменной.
Описание изменения внутренней энергии — всегда называйте обе энергии. Ответ на вопрос «опишите и объясните с учетом молекулярной кинетической и потенциальной энергий» на три балла должен пояснять, что происходит с каждой из них:
газ нагревается при постоянном объеме: кинетическая энергия молекул увеличивается, поскольку температура является мерой их средней кинетической энергии; потенциальная энергия не изменяется (работа не совершается, расстояние между молекулами не меняется); следовательно, внутренняя энергия возрастает.
проволока растягивается в пределах упругости при постоянной температуре: кинетическая энергия атомов не изменяется (та же температура); потенциальная энергия возрастает, так как атомы удаляются друг от друга против межатомных сил; следовательно, внутренняя энергия возрастает.
лед тает при $0\ ^{\circ}\text{C}$: кинетическая энергия не изменяется (постоянная температура); потенциальная энергия возрастает по мере разрыва связей между молекулами и увеличения расстояния между ними; следовательно, внутренняя энергия увеличивается на величину подведенной скрытой теплоты.
Разбор примера. Фиксированная масса идеального газа нагревается при постоянном давлении. Нарисуйте график зависимости его внутренней энергии $U$ от объема $V$.
При постоянном давлении $V \propto T$ (закон Шарля) и для идеального газа $U \propto T$, поэтому $U \propto V$: прямая линия, проходящая через начало координат. Начало координат лежит на этой линии, потому что при абсолютном нуле как $V$ (экстраполированное значение), так и $U$ равны нулю.
Explore · Исследовать
The spread of molecular energies · Разброс энергий молекул
Internal energy is the total random kinetic + potential energy of the molecules. Heat the gas and the whole speed distribution shifts to higher energy. · Внутренняя энергия — это полная случайная кинетическая плюс потенциальная энергия молекул. Нагрейте газ, и всё распределение скоростей сместится в область более высоких энергий.
Work done on or by a gas · Работа, совершенная над газом или газом
Syllabus · Программа
English
recall and use $W = p\Delta V$ for the work done when the volume of a gas changes at constant pressure and understand the difference between the work done by the gas and the work done on the gas
recall and use the first law of thermodynamics$\Delta U = q + W$ expressed in terms of the increase in internal energy, the heating of the system (energy transferred to the system by heating) and the work done on the system
Русский
вспоминать и использовать $W = p\Delta V$ для работы, совершённой при изменении объёма газа при постоянном давлении, и понимать разницу между работой, совершенной газом, и работой, совершенной над газом
вспоминать и использовать первый закон термодинамики$\Delta U = q + W$, выраженный через изменение внутренней энергии, нагревание системы (энергия, переданная системе путём нагревания) и работу, совершенную над системой
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
When a gas changes volume against an outside pressure, mechanical work is done. At constant pressure $p$ with a small volume change $\Delta V$, the size of the work is
$$W = p \Delta V.$$
Worked example. A gas at a constant pressure of $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ expands from $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ to $5.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Find the work done by the gas.
Worked example. An ideal gas of mass $0.35\ \text{kg}$ is heated at a constant pressure of $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; its internal energy rises by $7600\ \text{J}$ and its volume increases by $1.2 \times 10^{-2}\ \text{m}^{3}$. Find the work done by the gas and the thermal energy supplied. The gas is then heated at constant volume until its internal energy rises by the same $7600\ \text{J}$; explain why less thermal energy is needed.
Work done by the gas $= p\Delta V = 2.0 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-2} = 2400\ \text{J}$, so the work done on it is $W = -2400\ \text{J}$. First law: $q = \Delta U - W = 7600 - (-2400) = 1.0 \times 10^{4}\ \text{J}$. At constant volume no work is done ($\Delta V = 0$, $W = 0$), so the whole of the thermal energy goes into internal energy: $q = \Delta U = 7600\ \text{J}$. The extra $2400\ \text{J}$ at constant pressure was the work the gas did pushing back the surroundings as it expanded.
Worked example. An aluminium block of volume $3.612 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ is heated from $0\ ^{\circ}\text{C}$ to $40\ ^{\circ}\text{C}$; its volume increases by $1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}^{3}$ against atmospheric pressure ($1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$). Compare the work it does on the atmosphere with the thermal energy it receives ($m = 9.75\ \text{kg}$, $c = 900\ \text{J kg}^{-1}\ \text{K}^{-1}$).
Work done by the block $= p\Delta V = 1.0 \times 10^{5} \times 1.0 \times 10^{-5} = 1.0\ \text{J}$; thermal energy $q = mc\Delta T = 9.75 \times 900 \times 40 = 3.5 \times 10^{5}\ \text{J}$. The work is about $3 \times 10^{-6}$ of the heating, so for a solid $\Delta U \approx q$: solids and liquids barely expand, and $p\Delta V$ only matters for a gas.
Sign convention in this syllabus
This syllabus writes the first law as $\Delta U = q + W$, where $W$ is the work done on the gas and $q$ is the energy put in by heating.
when the gas is compressed, $\Delta V$ is negative and the work done on the gas is positive — the gas gains energy.
when the gas expands, $\Delta V$ is positive and the work done on the gas is negative — the gas loses energy (it does work on the surroundings).
Watch which form a question wants:
"work done on the gas" — positive when compressing.
"work done by the gas" — the opposite sign, positive when expanding.
At constant volume ($\Delta V = 0$), no work is done.
Русский
Паровая турбина совершает работу, так как расширяющийся пар толкает лопатки вокруг своей оси.Газ, выталкивающий поршень площадью $A$ на расстояние $\Delta x$, совершает работу $W = p\,\Delta V$ над окружающей средой (перемещённый объём $\Delta V = A\,\Delta x$)
Когда газ изменяет объём против внешнего давления, совершается механическая работа. При постоянном давлении $p$ и небольшом изменении объёма $\Delta V$ величина работы равна
$$W = p \Delta V.$$
Разобранное решение. Газ при постоянном давлении $1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$ расширяется от объёма $2.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ до объёма $5.0 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$. Найдите работу, совершенную газом.
Разобранное решение. Идеальный газ массой $0.35\ \text{kg}$ нагревается при постоянном давлении $2.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$; его внутренняя энергия увеличивается на $7600\ \text{J}$, а объём — на $1.2 \times 10^{-2}\ \text{m}^{3}$. Найдите работу, совершенную газом, и количество подведённой тепловой энергии. Затем газ нагревается при постоянном объёме так, что его внутренняя энергия возрастает на ту же величину $7600\ \text{J}$; объясните, почему для этого требуется меньше тепловой энергии.
Работа, совершенная газом, равна $= p\Delta V = 2.0 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-2} = 2400\ \text{J}$, следовательно, работа, совершённая над ним, составляет $W = -2400\ \text{J}$. Первый закон: $q = \Delta U - W = 7600 - (-2400) = 1.0 \times 10^{4}\ \text{J}$. При постоянном объёме работа не совершается ($\Delta V = 0$, $W = 0$), поэтому вся тепловая энергия идёт на изменение внутренней энергии: $q = \Delta U = 7600\ \text{J}$. Дополнительная энергия $2400\ \text{J}$ при постоянном давлении пошла на работу газа по расширению против окружающей среды.
Разобранный пример. Алюминиевый блок объёмом $3.612 \times 10^{-3}\ \text{m}^{3}$ нагревают от $0\ ^{\circ}\text{C}$ до $40\ ^{\circ}\text{C}$; его объём увеличивается на $1.0 \times 10^{-5}\ \text{m}^{3}$ против атмосферного давления ($1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$). Сравните работу, совершаемую блоком над атмосферой, с полученной им тепловой энергией ($m = 9.75\ \text{kg}$, $c = 900\ \text{J kg}^{-1}\ \text{K}^{-1}$).
Работа, совершённая блоком $= p\Delta V = 1.0 \times 10^{5} \times 1.0 \times 10^{-5} = 1.0\ \text{J}$; тепловая энергия $q = mc\Delta T = 9.75 \times 900 \times 40 = 3.5 \times 10^{5}\ \text{J}$. Эта работа составляет примерно $3 \times 10^{-6}$ часть от нагрева, поэтому для твёрдого тела $\Delta U \approx q$: твёрдые тела и жидкости почти не расширяются, и $p\Delta V$ имеет значение только для газа.
На графике зависимости давления от объёма работа при постоянном давлении равна площади под кривой: $W = p\,\Delta V$
Знаковая конвенция в данной программе
В этой программе первый закон записывается как $\Delta U = q + W$, где $W$ — это работа, совершённая над газом, а $q$ — энергия, подведённая путём нагревания.
Работа, совершённая над газом: положительна при сжатии, отрицательна при расширении
когда газ сжимается, $\Delta V$ отрицательно, а работа, совершаемая над газом, положительна — газ получает энергию.
когда газ расширяется, $\Delta V$ положителен, а работа, совершённая над газом, отрицательна — газ теряет энергию (он совершает работу над окружающей средой).
Следите, какую формулировку требует вопрос:
«работа, совершённая над газом» — положительна при сжатии.
«работа, совершённая газом» — противоположный знак, положительна при расширении.
При постоянном объёме ($\Delta V = 0$) работа не совершается.
First law of thermodynamics · Первый закон термодинамики
English
The first law of thermodynamics 热力学第一定律 says that energy is conserved when heat and work pass between a system and its surroundings:
$$\Delta U = q + W,$$
where $\Delta U$ is the rise in internal energy, $q$ is the energy added by heating (positive in, negative out), and $W$ is the work done on the gas (positive when compressed). This is conservation of energy 能量守恒 for a gas.
As the exam asks it. "State the first law of thermodynamics, identifying any symbols" (2 marks): the increase in internal energy of a system, $\Delta U$, is equal to the sum of the thermal energy transferred to the system by heating, $q$, and the work done on the system, $W$: $\Delta U = q + W$. Every symbol must be defined with its direction — "to the system" and "on the system" are what make the signs mean something. "State two ways in which the first law says the internal energy of a system may be changed": by heating (thermal energy transferred into or out of the system) and by doing work on or by the system.
Worked example. A gas absorbs $500\ \text{J}$ of heat while it expands and does $200\ \text{J}$ of work on its surroundings. Find the change in its internal energy.
The gas does work, so the work done on it is $W = -200\ \text{J}$:
$$\Delta U = q + W = 500 + (-200) = 300\ \text{J}.$$
Explaining with the first law. A three-mark "use the first law to explain" answer has three steps: say what $q$ is (and its sign), say what $W$ is (and its sign), then combine them for $\Delta U$ — and, if asked, say what the change in internal energy means for the molecules.
Why a bicycle pump gets hot when used quickly: the air is compressed, so work is done on it ($W > 0$); the compression is fast, so there is no time for thermal energy to leave ($q \approx 0$); therefore $\Delta U = W > 0$ — the internal energy, and so the temperature, of the air rises, and the pump warms up.
A spring stretched at constant temperature within its elastic limit: work is done on the spring by the stretching force ($W > 0$); there is no thermal energy transfer ($q = 0$); so the internal energy increases — stored as the elastic potential energy of the atoms, which are pulled further apart.
Water evaporating from a puddle on a hot day: thermal energy is transferred to the water from the surroundings ($q > 0$); the vapour formed occupies a far larger volume than the liquid, so the system does work on the atmosphere ($W < 0$); the internal energy still increases ($q$ is larger than the work done), and the increase is potential energy — the molecules are separated against the attractive forces between them.
Reading the equation
$\Delta U$ is fixed by the change of state (for an ideal gas, by the change in temperature). The same $\Delta U$ can come from different mixes of $q$ and $W$:
all heat, no work: $\Delta U = q$ (constant-volume heating).
all work, no heat: $\Delta U = W$ (insulated compression or expansion).
Standard processes
For an ideal gas, $\Delta U = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$ — it depends only on $\Delta T$.
Process
What stays constant
$\Delta U$
$W$ (on gas)
$q$
Isothermal
$T$
$0$
$W$
$-W$
Constant volume
$V$
$\tfrac{3}{2}n R \Delta T$
$0$
$\Delta U$
Constant pressure
$p$
$\tfrac{3}{2}n R \Delta T$
$-p \Delta V$
$\Delta U - W$
Adiabatic
(no heat)
varies
$W$
$0$
Read each row with the first law $\Delta U = q + W$:
Isothermal 等温 (constant $T$): $\Delta T = 0$, so $\Delta U = 0$. Then $q = -W$ — any heat that goes in comes straight back out as work.
Adiabatic 绝热 (no heat flow): $q = 0$, so $\Delta U = W$. The gas warms up only because work is done on it.
Constant volume (sealed rigid container): no work is done ($\Delta V = 0$), so all the heat goes into internal energy: $q = \Delta U$.
Constant pressure (gas pushing a piston 活塞): the gas does work as it expands, so the heat you supply does two jobs — it raises the internal energy and does the expansion work.
So for the same rise in internal energy, heating at constant pressure needs more thermal energy than heating at constant volume, by exactly the work $p\Delta V$ the gas does while expanding — the constant-volume gas keeps every joule; the constant-pressure gas hands some back to the surroundings.
Worked example: two-step process
A sample of ideal gas at temperature $T$ with internal energy $U$ goes through:
compression to temperature $3T$; work $W$ is done on the gas.
Check: total $\Delta U = 2U - U = U$, taking the gas from $T$ to $2T$ ($U \to 2U$) — consistent.
Worked example: a cycle on a $p$–$V$ diagram
A fixed mass of ideal gas is taken round the cycle ABCDA: A to B at constant volume $V_{1}$ (pressure $p_{1} \to p_{2}$), B to C at constant pressure $p_{2}$ (volume $V_{1} \to V_{2}$), C to D at constant volume, D to A at constant pressure $p_{1}$. Complete a table of the signs of $q$, $W$ and $\Delta U$ for each leg, and explain the internal-energy change from B to C.
Leg
Process
$W$ (on gas)
$\Delta U$
$q$
A → B
constant volume, pressure rises
$0$ (no volume change)
$+$ (temperature rises, $pV$ larger)
$+$ ($q = \Delta U$)
B → C
constant pressure, expands
$-$ (gas does work $p_{2}(V_{2} - V_{1})$)
$+$ ($T \propto V$ at constant $p$)
$+$ (and larger than $\Delta U$)
C → D
constant volume, pressure falls
$0$
$-$
$-$ (thermal energy leaves)
D → A
constant pressure, compressed
$+$ (work done on the gas $p_{1}(V_{2} - V_{1})$)
$-$
$-$ (larger in size than $\Delta U$)
From B to C the gas expands at constant pressure, so its temperature rises ($V/T$ constant) and its internal energy increases; it does work on the surroundings ($W$ negative), so the thermal energy supplied must cover both: $q = \Delta U - W$, larger than the rise in internal energy. Round the whole cycle $\Delta U = 0$ (the gas returns to its starting state), so the net thermal energy in equals the net work done by the gas — the area enclosed by the rectangle, $(p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})$.
Heat capacity at constant volume
For constant-volume heating of an ideal gas, $q = \Delta U = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$. So the molar heat capacity 热容 at constant volume is $\tfrac{3}{2} R$ for a monatomic 单原子 ideal gas. (You are not required to use the symbol $C_V$, but the result $q = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$ for constant-volume heating is.)
Heating without a temperature change
If heat is supplied during a phase change at constant pressure (e.g. boiling water), the temperature stays constant but the internal energy still rises (the latent heat 潜热 separates the molecules), and the gas does expansion work. The first law still holds: $\Delta U = q + W$.
Русский
Теплоэлектростанция является тепловым двигателем: она преобразует тепло в полезную работу.
Первый закон термодинамики гласит, что энергия сохраняется при переходе тепла и работы между системой и окружающей средой:
$$\Delta U = q + W,$$
где $\Delta U$ — прирост внутренней энергии, $q$ — энергия, добавленная при нагревании (положительна при подводе, отрицательна при отводе), а $W$ — работа, совершённая над газом (положительна при сжатии). Это закон сохранения энергии для газа.
Как просят на экзамене. «Формулируйте первый закон термодинамики, определив используемые символы» (2 балла): увеличение внутренней энергии системы, $\Delta U$, равно сумме тепловой энергии, переданной системе путём нагревания, $q$, и работы, совершённой над системой, $W$: $\Delta U = q + W$. Каждый символ должен быть определён вместе с его направлением — именно фразы «к системе» и «над системой» придают знакам смысл. «Назовите два способа изменения внутренней энергии системы согласно первому закону»: путём нагревания (передача тепловой энергии в систему или из неё) и путём совершения работы над системой или системой.
Как нагревание ($q$), так и работа, совершаемая над газом ($W$), вносят энергию, увеличивая внутреннюю энергию на $\Delta U$
Разобранное решение. Газ поглощает $500\ \text{J}$ тепловой энергии, расширяясь и совершая работу $200\ \text{J}$ над окружающей средой. Найдите изменение его внутренней энергии.
Газ совершает работу, поэтому работа, совершённая над ним, равна $W = -200\ \text{J}$:
$$\Delta U = q + W = 500 + (-200) = 300\ \text{J}.$$
Объяснение с использованием первого закона. Ответ на вопрос «используйте первый закон для объяснения» на три балла включает три шага: укажите, чему равно $q$ (и его знак), укажите, чему равно $W$ (и его знак), затем объедините их для получения $\Delta U$ — и, если требуется, поясните, что изменение внутренней энергии означает для молекул.
Три классических подхода к первому началу термодинамики: укажите $q$ со знаком, $W$ со знаком, затем вычислите $\Delta U$
Почему насос для велосипеда нагревается при быстром использовании: воздух сжимается, поэтому совершается работа над ним ($W > 0$); сжатие происходит быстро, поэтому нет времени для теплообмена ($q \approx 0$); следовательно $\Delta U = W > 0$ — внутренняя энергия, а значит и температура, воздуха возрастает, и насос нагревается.
Пружина, растянутая при постоянной температуре в пределах упругости: работа совершается над пружиной силой растяжения ($W > 0$); нет теплопередачи ($q = 0$); поэтому внутренняя энергия увеличивается — она запасается как потенциальная энергия упругой деформации атомов, которые раздвигаются дальше друг от друга.
Испарение воды из лужицы в жаркий день: тепловая энергия передается воде из окружающей среды ($q > 0$); образующийся пар занимает значительно больший объем, чем жидкость, поэтому система совершает работу над атмосферой ($W < 0$); внутренняя энергия все равно увеличивается ($q$ больше совершенной работы), и это увеличение представляет собой потенциальную энергию — молекулы разделяются против сил притяжения между ними.
Чтение уравнения
$\Delta U$ определяется изменением состояния (для идеального газа — изменением температуры). То же самое $\Delta U$ может быть получено из различных комбинаций $q$ и $W$:
только тепло, без работы: $\Delta U = q$ (нагрев при постоянном объеме).
только работа, без тепла: $\Delta U = W$ (теплоизолированное сжатие или расширение).
Стандартные процессы
Для идеального газа $\Delta U = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$ — она зависит только от $\Delta T$.
Четыре стандартных процесса, начинающихся из одного состояния
Процесс
Что остается постоянным
$\Delta U$
$W$ (над газом)
$q$
Изотермический
$T$
$0$
$W$
$-W$
При постоянном объеме
$V$
$\tfrac{3}{2}n R \Delta T$
$0$
$\Delta U$
При постоянном давлении
$p$
$\tfrac{3}{2}n R \Delta T$
$-p \Delta V$
$\Delta U - W$
Адиабатный
(нет теплообмена)
меняется
$W$
$0$
Прочитайте каждую строку, используя первый закон термодинамики $\Delta U = q + W$:
Изотермический (постоянное $T$): $\Delta T = 0$, поэтому $\Delta U = 0$. Затем $q = -W$ — любое входящее тепло сразу же выходит обратно в виде работы.
Адиабатный (нет теплообмена): $q = 0$, поэтому $\Delta U = W$. Газ нагревается только потому, что над ним совершается работа.
При постоянном объеме (герметичный жесткий сосуд): работа не совершается ($\Delta V = 0$), поэтому всё тепло идет на внутреннюю энергию: $q = \Delta U$.
При постоянном давлении (газ толкает поршень): газ совершает работу при расширении, поэтому подведенное вами тепло выполняет две задачи — повышает внутреннюю энергию и совершает работу расширения.
Таким образом, для одинакового повышения внутренней энергии нагревание при постоянном давлении требует больше тепловой энергии, чем нагревание при постоянном объеме, ровно на величину работы $p\Delta V$, которую газ совершает при расширении — газ при постоянном объеме сохраняет каждый джоуль; газ при постоянном даче部分 отдает часть энергии окружающей среде.
Разобранный пример: двухступенчатый процесс
Образец идеального газа при температуре $T$ с внутренней энергией $U$ проходит через следующие изменения:
Сжатие до температуры $3T$; над газом совершена работа $W$.
Охлаждение при постоянном объеме до температуры $2T$.
Внутренняя энергия следует за температурой: $U \to 3U$ при сжатии до $3T$, затем $3U \to 2U$ при охлаждении до $2T$
Проверка: суммарное $\Delta U = 2U - U = U$, переводящее газ из состояния $T$ в состояние $2T$ ($U \to 2U$) — согласовано.
Разобранный пример: цикл на диаграмме $p$–$V$
Цикл: для каждого участка определите $W$ по изменению объема и $\Delta U$ по изменению температуры, тогда $q$ выводится из первого закона
Фиксированная масса идеального газа проводится по циклу ABCDA: от A до B при постоянном объеме $V_{1}$ (давление $p_{1} \to p_{2}$), от B до C при постоянном давлении $p_{2}$ (объем $V_{1} \to V_{2}$), от C до D при постоянном объеме, от D до A при постоянном давлении $p_{1}$. Заполните таблицу знаков $q$, $W$ и $\Delta U$ для каждого участка и объясните изменение внутренней энергии от B до C.
Участок
Процесс
$W$ (над газом)
$\Delta U$
$q$
A → B
постоянный объем, давление растет
$0$ (нет изменения объема)
$+$ (температура растет, $pV$ увеличивается)
$+$ ($q = \Delta U$)
B → C
постоянное давление, расширение
$-$ (газ совершает работу $p_{2}(V_{2} - V_{1})$)
$+$ ($T \propto V$ при постоянном $p$)
$+$ (и больше, чем $\Delta U$)
C → D
постоянный объем, давление падает
$0$
$-$
$-$ (тепловая энергия выходит)
D → A
постоянное давление, сжатие
$+$ (работа совершается над газом $p_{1}(V_{2} - V_{1})$)
$-$
$-$ (по модулю больше, чем $\Delta U$)
От B к C газ расширяется при постоянном давлении, поэтому его температура повышается ($V/T$ постоянно), а внутренняя энергия возрастает; он совершает работу над окружающей средой ($W$ отрицательна), поэтому подведённая тепловая энергия должна покрывать оба этих расхода: $q = \Delta U - W$, она больше, чем прирост внутренней энергии. Для полного цикла $\Delta U = 0$ (газ возвращается в исходное состояние) суммарная подведённая тепловая энергия равна суммарной работе, совершенной газом — площади, ограниченной прямоугольником, $(p_{2} - p_{1})(V_{2} - V_{1})$.
Теплоёмкость при постоянном объёме
Для нагревания идеального газа при постоянном объёме $q = \Delta U = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$. Следовательно, молярная теплоёмкость при постоянном объёме для одноатомного идеального газа составляет $\tfrac{3}{2} R$. (Использовать символ $C_V$ не обязательно, но результат $q = \tfrac{3}{2} n R \Delta T$ для нагревания при постоянном объёме обязателен.)
При постоянном объёме всё тепло повышает $U$ ($q = \Delta U$); при постоянном давлении газ также совершает работу
Нагревание без изменения температуры
Если подводится тепло во время фазового перехода при постоянном давлении (например, кипение воды), температура остаётся постоянной, но внутренняя энергия всё равно растёт (скрытая теплота разделяет молекулы), и газ совершает работу расширения. Первый закон термодинамики остаётся в силе: $\Delta U = q + W$.
Explore · Исследовать
Work done on a gas · Работа, совершённая над газом
Push the piston in and you do work on the gas (W = pΔV); the first law says that work plus the heat added equals the rise in internal energy. · Надавите на поршень, и вы совершите работу над газом (W = pΔV); первый закон гласит, что работа плюс добавленное тепло равны росту внутренней энергии.
16.2
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
internal energy
the sum of the random distribution of the kinetic and potential energies of the molecules of a system
internal energy of an ideal gas
the total random kinetic energy of its molecules, since with no intermolecular forces there is no potential energy
first law of thermodynamics
the increase in internal energy of a system equals the thermal energy transferred to the system by heating plus the work done on the system: $\Delta U = q + W$
work done on a gas at constant pressure
$W = p\Delta V$ in size; positive when the gas is compressed, negative when it expands (the gas then does work on its surroundings)
thermal energy transfer (heating)
energy transferred to or from a system because of a temperature difference; $q$ is positive when it enters
isothermal change
a change at constant temperature, so for an ideal gas $\Delta U = 0$ and $q = -W$
adiabatic change
a change with no thermal energy transfer, $q = 0$, so $\Delta U = W$
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
внутренняя энергия
сумма случайного распределения кинетических и потенциальных энергий молекул системы
внутренняя энергия идеального газа
полная случайная кинетическая энергия его молекул, поскольку при отсутствии межмолекулярных взаимодействий нет потенциальной энергии
первый закон термодинамики
прирост внутренней энергии системы равен тепловой энергии, переданной системе нагреванием, плюс работа, совершенная над системой: $\Delta U = q + W$
работа, совершенная над газом при постоянном давлении
$W = p\Delta V$ по величине; положительна, когда газ сжимается, отрицательна, когда он расширяется (в этом случае газ совершает работу над окружающей средой)
передача тепловой энергии (нагревание)
энергия, передаваемая в систему или из неё вследствие разности температур; $q$ является положительным, когда энергия поступает в систему
изотермический процесс
изменение при постоянной температуре, поэтому для идеального газа $\Delta U = 0$ и $q = -W$
адиабатный процесс
изменение без передачи тепловой энергии, $q = 0$, следовательно $\Delta U = W$
16.2
Exam tips · Советы для экзамена
English
First law: $\Delta U = q + W$ — define every symbol with its direction: $q$ is energy transferred to the system by heating, $W$ is work done on the system.
For an ideal gas, internal energy depends only on temperature ($\Delta U \propto \Delta T$) and is kinetic energy only; for a solid or liquid the potential energy changes too.
Work done by a gas at constant pressure $= p\Delta V$; read the sign from expansion (by) or compression (on), and remember that at constant volume $W = 0$.
A "describe and explain" answer names both kinetic and potential energy and says what happens to each; an "explain using the first law" answer gives $q$, $W$ and then $\Delta U$, each with its sign.
Round a complete cycle $\Delta U = 0$, so net heating equals net work done by the gas — the area enclosed on the $p$–$V$ diagram.
Common mistakes
Defining internal energy as "the total energy of the molecules" or forgetting "random" or "potential". The mark scheme wants the sum of random kinetic and potential energies.
Using $W = p\Delta V$ with the wrong sign. When the gas expands the work done on it is negative.
Saying the internal energy of an ideal gas rises when it is compressed isothermally. At constant temperature $\Delta U = 0$: the work done on it leaves again as heat.
Treating a phase change as $\Delta U = 0$ because the temperature is constant. The potential energy rises; $\Delta U$ is the latent heat minus any expansion work.
Forgetting that a gas heated at constant pressure does work, so it needs more heating than at constant volume for the same $\Delta U$.
Applying $\Delta U = \tfrac{3}{2}nR\Delta T$ to a real gas, a liquid or a solid. It is the ideal-gas result only.
Русский
Первый закон: $\Delta U = q + W$ — определите каждый символ с учётом направления: $q$ — энергия, переданная в систему нагреванием, $W$ — работа, совершенная над системой.
Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры ($\Delta U \propto \Delta T$) и представляет собой лишь кинетическую энергию; для твёрдых тел или жидкостей также изменяется потенциальная энергия.
Работа, совершенная газом при постоянном давлении, равна $= p\Delta V$; знак определяется по расширению (совершается газом) или сжатию (совершается над газом), и помните, что при постоянном объёме $W = 0$.
Ответ типа «описать и объяснить» включает как кинетическую, так и потенциальную энергию и указывает, что происходит с каждой; ответ типа «объяснить с использованием первого закона» приводит $q$, $W$ и затем $\Delta U$, указывая знак каждого.
Для полного цикла $\Delta U = 0$, поэтому суммарный подвод тепла равен суммарной работе, совершенной газом — площади, ограниченной на диаграмме $p$–$V$.
Распространенные ошибки
Определение внутренней энергии как «полной энергии молекул» или упоминание без слова «случайной» или «потенциальной». В критериях оценивания требуется сумма случайных кинетической и потенциальной энергий.
Использование $W = p\Delta V$ с неправильным знаком. При расширении газа работа, совершенная над ним, отрицательна.
Утверждение о том, что внутренняя энергия идеального газа возрастает при его изотермическом сжатии. При постоянной температуре $\Delta U = 0$: работа, совершенная над газом, уходит обратно в виде тепла.
Рассмотрение фазового перехода как $\Delta U = 0$, поскольку температура постоянна. Потенциальная энергия возрастает; $\Delta U$ — это скрытая теплота минус любая работа расширения.
Забывание о том, что газ, нагреваемый при постоянном давлении, совершает работу, поэтому ему требуется больше тепла, чем при постоянном объёме, для достижения той же $\Delta U$.
Применение $\Delta U = \tfrac{3}{2}nR\Delta T$ к реальному газу, жидкости или твёрдому телу. Это результат только для идеального газа.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
