Antes de calcular uma ordem, verifique fechamento, associatividade, identidade e inverso para cada elemento sob a operação especificada. Um subconjunto pode herdar a associatividade, mas falhar no fechamento ou omitir a identidade. Em um grupo finito, a ordem de um elemento é a menor potência positiva que resulta na identidade. No grupo aditivo Z/nZ, é o menor múltiplo positivo que resulta em zero; a ordem do resíduo a é n/gcd(a,n). O teorema de Lagrange afirma que as ordens dos subgrupos dividem a ordem do grupo. A recíproca não é um teorema geral de existência, e a ordem de um grupo não é a ordem de cada elemento.
Um cosseto esquerdo gH é uma translação de um subgrupo H. Cossetos têm tamanho igual e particionam o grupo, logo o índice é |G|/|H| em um grupo finito. Em um grupo aditivo, escreve-se g+H. Pertenecer ao mesmo cosseto significa que a diferença está em H. Um cosseto geralmente não é um subgrupo porque pode omitir a identidade.
Um homomorfismo preserva a operação. Seu núcleo consiste nos elementos mapeados à identidade, e sua imagem consiste nos valores realmente atingidos. Todo núcleo é normal. O primeiro teorema de isomorfismo identifica G/ker(phi) com im(phi); não substitua a imagem pelo contradomínio inteiro a menos que o mapa seja sobrejetivo.
A multiplicação quociente é bem definida apenas quando H é normal. Todos os subgrupos de um grupo abeliano são normais. Em um grupo não-abeliano, teste gHg^−1=H; um subgrupo de índice dois é normal. Para permutações, compose conforme a convenção especificada, aqui a mais à direita primeiro. Comprimentos de ciclos disjuntos determinam a ordem da permutação pelo seu mínimo múltiplo comum. Conjugação hσh⁻¹ renomeia os elementos nos ciclos de σ, preservando seus comprimentos; reciprocamente, permutações com os mesmos comprimentos de ciclos podem ser relacionadas por renomeação. Assim, classes de conjugação em S_n correspondem a partições de n, incluindo ciclos de pontos fixos. Em S4, os tipos são 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 e 4: cinco classes, não uma classe para cada ordem possível de elemento. Os tipos 2+1+1 e 2+2 ambos têm ordem dois, mas não são conjugados.
