C.3 · Equações diferenciais e condições iniciais

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Diferenciação, integração, exponenciais e equações quadráticas.

• Resolver equações separáveis de primeira ordem
• Resolver equações de segunda ordem com coeficientes constantes
• Usar condições iniciais e condições de unicidade

condição inicial: Um valor da solução ou derivada especificado em um ponto inicial.

raiz característica: Uma raiz do polinômio que rege soluções exponenciais.

Para y′=ky, separação e integração dão y=Ce^(kt); recupere a solução zero se divisão por y foi usada. Um valor inicial determina C.

Uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes usa um polinômio característico. Raízes distintas geram exponenciais; uma raiz repetida exige (C1+C2t)e^(rt).

Raízes complexas α±iβ geram e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). O movimento real inclui informações tanto de amplitude quanto de fase.

Existência e unicidade dependem de hipóteses próximas ao ponto inicial. Um coeficiente singular ou falha no comportamento de Lipschitz local pode invalidar a conclusão familiar de unicidade.

Resolva y″+4y=0 com y(0)=3 e y′(0)=4. As raízes características são ±2i, então y=A cos2t+B sin2t. A primeira condição dá A=3; diferenciando, obtemos y′(0)=2B=4, logo B=2.

Uma raiz característica repetida exige o fator t; duas cópias da mesma exponencial não são soluções independentes.

Resolva $y''-4y'+4y=0$ com $y(0)=1$, $y'(0)=0$. Verifique ambas as condições iniciais e a equação.

Solução resolvida

O polinômio característico é $(r-2)^2$. Soluções independentes são $e^{2t}$ e $te^{2t}$, logo $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. O valor inicial fornece $C_1=1$; a derivada em zero dá $2C_1+C_2=0$, assim $C_2=-2$.

A substituição resulta em $y''-4y'+4y=0$, e os dois valores iniciais são satisfeitos. Duas cópias de $e^{2t}$ não geram o espaço de soluções.

Mostre que o problema de valor inicial $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ tem mais de uma solução para $t\ge0$. Identifique a hipótese padrão de unicidade ausente.

Verificar após tentar

Uma solução é identicamente zero. Para qualquer $a\ge0$, defina $y_a(t)=0$ para $0\le t\le a$ e $y_a(t)=(t-a)^2$ para $t>a$. A derivada é zero no primeiro intervalo e $2(t-a)$ no segundo; ambos os lados têm derivada zero em a. Portanto, $y_a$ é diferenciável e satisfaz a equação e o valor inicial. O lado direito é contínuo, mas não é localmente de Lipschitz em y em zero: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ é ilimitado. Existência não implica unicidade, e a divisão por $\sqrt y$ perderia as soluções de tempo de espera.