T.3 · Análise complexa e resíduos

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Aritmética complexa, derivadas parciais, séries e contornos orientados.

• Testar diferenciabilidade complexa
• Usar integrais de contorno e resíduos
• Avaliar integrais de contorno com resíduos de polos simples e de ordem superior

analytic: Diferenciável complexamente em toda uma vizinhança.

residue: Coeficiente de (z−a)^−1 em uma série de Laurent.

Escreva f(z)=u(x,y)+iv(x,y). A diferenciabilidade complexa impõe u_x=v_y e u_y=−v_x; com derivadas parciais contínuas localmente, as equações de Cauchy–Riemann estabelecem analiticidade ali. Elas diferem da diferenciabilidade real de um mapa de duas coordenadas. A função conjugada x−iy falha nessas equações em toda vizinhança aberta, embora existam derivadas parciais reais. Declare a região sendo verificada, não apenas um ponto conveniente.

Uma função analítica é complexamente diferenciável em toda uma vizinhança e possui uma série de potências localmente convergente. Uma singularidade removível pode ser preenchida analiticamente quando a função é limitada próximo ao ponto ausente. Um polo tem parte principal finita em sua série de Laurent; uma singularidade essencial tem infinitos termos de potência negativa. O resíduo é o coeficiente de (z−a)⁻¹, não necessariamente o termo de maior ou maior potência negativa.

Para um polo isolado de ordem m, escreva f(z)=g(z)/(z−a)^m com g analítico em a. O resíduo é g^(m−1)(a)/(m−1)!. Um polo simples usa g(a); um polo duplo usa g′(a). Isso segue expandindo g em sua série de Taylor. Assim, e^z/(z−a)² tem resíduo e^a, enquanto um numerador constante sobre um polo duplo puro tem resíduo zero. A ordem do polo sozinha não determina a integral de contorno.

Para um contorno orientado positivamente que envolve singularidades isoladas, o teorema dos resíduos dá ∮f(z)dz=2πi vezes a soma dos resíduos envolvidos, desde que a função seja analítica no contorno e em outro lugar no interior necessário. Inverter a orientação muda o sinal. A fórmula das derivadas de Cauchy é ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! sob suas hipóteses de domínio analítico. Uma singularidade no contorno impede aplicação direta; uma singularidade fora contribui nada para este contorno.

Para f(z)=conjugado(z), temos u=x e v=−y. Então u_x=1 mas v_y=−1, logo f não é diferenciável no complexo. Para 1/(z−2), um círculo orientado positivamente |z−2|=1 envolve um polo simples de resíduo 1, portanto a integral é 2πi.

A continuidade ou a diferenciabilidade real sozinhas não implicam analiticidade complexa.

Use as equações de Cauchy–Riemann para comparar $z^2$ e $\overline z$. Encontre o resíduo de $e^z/z^2$ em zero e sua integral ao redor do círculo unitário anti-horário.

Solução resolvida

Para $z^2$, $u=x^2-y^2$ e $v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ e $u_y=-2y=-v_x$. As derivadas parciais são contínuas em todo lugar, então a função é analítica em todo lugar. Para $\overline z$, $u=x,v=-y$ e $u_x=1\ne-1=v_y$; ela não é complexamente diferenciável em lugar nenhum. Como $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, o coeficiente de $z^{-1}$ em $e^z/z^2$ é 1. Portanto o resíduo é 1 e a integral é $2\pi i$. O polo duplo não força um resíduo zero.

Integre $1/[z(z-2)]$ ao redor de $|z|=1$, primeiro anti-horário e depois horário. O mesmo argumento do teorema dos resíduos pode ser usado em $|z|=2$?

Verificar após tentar

Apenas zero está dentro do círculo unitário. Seu resíduo é $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. Assim a integral anti-horária é $-\pi i$ e a horária é $\pi i$. O polo em 2 está fora e não contribui nada. O círculo $|z|=2$ passa por um polo. A integral de contorno ordinária não é definida por esta fórmula; o teorema requer analiticidade no contorno. Um recorte ou prescrição de valor principal seria um problema diferente, explicitamente especificado.