Uma derivada parcial altera uma coordenada enquanto fixa as outras. Para f=x²+3xy, tem-se f_x=2x+3y e f_y=3x. O gradiente agrupa essas derivadas; se f for diferenciável, a derivada direcional ao longo de um vetor unitário v é grad f·v. Normalize a direção antes de calcular esse produto escalar. Um vetor direção de comprimento dois duplicaria a resposta se usado sem normalização.
Diferenciabilidade significa uma aproximação linear válida, não meramente a existência de algumas derivadas parciais em um ponto. Derivadas parciais contínuas de primeira ordem em uma vizinhança são condição suficiente. Para uma composição f(x(t),y(t)), a regra da cadeia fornece f_x x′+f_y y′. Derivadas segundas podem introduzir termos diretos e mistos; uma derivada mista nula sozinha não impõe restrição às derivadas puras de segunda ordem.
Uma integral múltipla soma contribuições sobre uma região especificada. Descreva a região antes de escolher limites iterados; limites não retangulares podem mudar quando a ordem é invertida. Em coordenadas polares, a área é r dr dtheta, não apenas dr dtheta. Uma mudança geral de coordenadas usa o determinante absoluto da Jacobiana. O sinal pertence a quantidades orientadas vetoriais, enquanto a escala de área e volume usa um fator não negativo.
Se ambas as derivadas parciais de primeira ordem de uma função definida globalmente em R² forem constantes, f_x=a e f_y=b, a integração sucessiva resulta em f=ax+by+c, um plano. Isso não pode ser inferido apenas a partir de conjuntos de nível paralelos: e^x tem linhas de nível verticais paralelas, mas seu gráfico é curvo. Tampouco f_xy=f_yx=0 garante um plano: x²+y² é um contraexemplo. Distinga a constância da derivada de primeira ordem da ausência de dependência mista e da forma dos conjuntos de nível selecionados.
