C.1 · Cálculo de uma variável e aplicações

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Álgebra exata, trigonometria em radianos, funções e desigualdades.

• Usar limites, continuidade e diferenciabilidade
• Aplicar derivadas, integrais e o teorema fundamental
• Reconhecer somas de Riemann e distingui-las de séries infinitas

continuidade: Concordância do valor da função com seu limite.

convergência: Aproximação a um valor limite finito.

Um limite descreve valores próximos a um ponto, sem exigir que a função esteja definida ali. Continuidade adiciona o requisito de que o valor da função existe e concorda com o limite. Cancelamento algébrico é válido apenas longe do zero cancelado, mas pode revelar um limite removível. Limites laterais devem concordar para um limite bilateral. Para limites de quociente, verifique o denominador e as hipóteses antes de aplicar uma regra; 0/0 é uma forma indeterminada, não uma resposta.

Uma derivada é um limite de quocientes de diferença e implica continuidade; o contrário falha, como mostra |x| em zero. Regras do produto, quociente e cadeia descrevem estruturas diferentes: a derivada de f(g(x)) é f′(g(x))g′(x), não um produto de valores não relacionados. Diferenciar uma composição pela segunda vez geralmente produz dois termos. Verifique domínios, denominadores não nulos e suposições de diferenciabilidade antes de usar uma expressão simbólica como derivada.

O teorema fundamental diz que a derivada de ∫ de a a x de um integrando contínuo f(t) é f(x). Com um limite superior variável h(x), multiplique por h′(x); com dois limites variáveis, subtraia a contribuição correspondente do limite inferior. Uma integral definida também surge como um limite de somas de Riemann. Reescreva a soma como (1/n)Σf(k/n) antes de identificar a integral em [0,1], em vez de tratar termos dependentes de n como constantes.

Por exemplo, Σ de k=1 até n de n/(n²+k²) é igual a (1/n)Σ1/(1+(k/n)²), tendendo a ∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. Este limite usa continuidade e a largura da partição 1/n. Uma série sobre um número ilimitado de termos é um limite diferente: termos tendendo a zero não garantem convergência por si só. Para Σ1/k, as somas parciais divergem; compare, estime ou aplique um teste de série válido em vez de usar a condição necessária de termo como suficiente.

Para F(x)=integral de 0 a x² de e^t dt, o teorema fundamental e a regra da cadeia fornecem F′(x)=e^(x²)·2x. Em x=1, F′(1)=2e. O limite superior é x², portanto omitir 2x ignora sua taxa de variação.

O cálculo A-level é material pré-requisito útil, mas não cobre a análise universitária e as aplicações testadas aqui.

Seja $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. Encontre $F'(x)$ e $F'(2)$. Explique por que o teorema se aplica.

Solução resolvida

O integrando é contínuo na reta real. O teorema fundamental e a regra da cadeia se aplicam em ambos os limites:

Independentemente, uma primitiva é $t+t^3/3$. Logo $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, com a mesma derivada.

Encontre $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. Explique por que este é um limite de soma de Riemann. Em seguida, decida se $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ converge.

Verificar após tentar

Reescreva cada termo como $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. A função contínua $f(t)=t/(1+t^2)$ em $[0,1]$ e a malha $1/n$ fornecem

A série harmônica diverge: o bloco de $2^{j-1}+1$ até $2^j$ contém pelo menos $2^{j-1}$ termos maiores ou iguais a $1/2^j$, logo cada bloco adiciona pelo menos $1/2$. Termos tendendo a zero são necessários, mas insuficientes. O integrando da soma finita aqui depende do índice escalado; não é a série harmônica.