A.1 · Álgebra linear

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Equações lineares, multiplicação de matrizes, polinômios e raízes complexas.

• Relacionar posto, nulidade e soluções de sistemas lineares
• Analisar espaços vetoriais e transformações lineares
• Calcular autovalores, determinantes e condições de diagonalização

posto: Dimensão da imagem de uma transformação linear.

autovalor: Um escalar que satisfaz Av=λv para v diferente de zero.

Um espaço vetorial real é fechado sob sua adição e multiplicação por escalar especificadas e satisfaz os axiomas do espaço vetorial. Uma base é uma lista independente geradora: todo vetor tem uma representação de coordenadas única nessa lista. Para testar a independência das colunas de uma matriz, resolva o sistema homogêneo Ac=0; apenas o vetor coeficiente nulo indica independência. Um conjunto gerador pode conter vetores redundantes, portanto gerar sozinho não constitui uma base.

A redução por linhas expõe pivôs e variáveis livres sem alterar o conjunto solução de um sistema linear. O posto é a dimensão da imagem das colunas, equivalentemente ao número de pivôs. A nulidade é a dimensão do núcleo: para uma transformação de um domínio de dimensão n, posto + nulidade = n. Em um sistema não homogêneo, uma linha com coeficientes nulos e lado direito não nulo indica inconsistência; variáveis livres resultam em infinitas soluções apenas após a consistência ser estabelecida. A dimensão do codomínio não precisa ser igual ao posto.

Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo, seu núcleo for nulo e seu posto for igual à sua ordem. Essas afirmações não exigem que cada entrada seja não nula. Determinantes triangulares são produtos das entradas diagonais, logo uma matriz dependente de uma variável complexa pode ser singular em raízes complexas ausentes em cálculos restritos aos reais. Permutações de linhas invertem o sinal do determinante; somar um múltiplo de uma linha a outra o mantém inalterado. Verifique a singularidade antes de aplicar uma fórmula inversa.

Um autovetor é não nulo e satisfaz Av=λv, logo os autovalores são raízes de det(A−λI). A diagonalização exige uma base completa de autovetores independentes sobre o campo escolhido. Autovalores distintos fornecem autovetores independentes, enquanto autovalores repetidos podem ter um espaço próprio demasiado pequeno. Uma matriz simétrica real possui uma base ortonormal de autovetores reais. Uma matriz real de dimensão ímpar tem pelo menos um autovalor real porque seu polinômio característico real tem grau ímpar; isso sozinho não implica diagonalização nem todos os autovalores sendo reais.

A=[[1,1],[0,1]] tem polinômio característico (1−λ)². Autovetores satisfazem y=0, logo seu autoespaço tem dimensão um. São necessários dois autovetores independentes para diagonalizar uma matriz 2×2; A não é diagonalizável.

A multiplicidade algébrica de um autovalor não é automaticamente a dimensão do seu autoespaço.

Para $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ com $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, encontre bases do núcleo e da imagem. Resolva $T(v)=(3,6)$ e $T(v)=(3,7)$.

Solução resolvida

A segunda linha é o dobro da primeira, logo o posto é um. A equação homogênea resulta em $x=-2y-z$.

Os dois vetores exibidos são independentes. Toda saída é $(s,2s)$, e $(1,2)$ ocorre; este é um conjunto gerador da imagem. Postos mais nulidade totalizam $1+2=3$, a dimensão do domínio. Para $(3,6)$, todas as soluções são $(3-2a-b,a,b)$, com $a,b\in\mathbb R$. Para $(3,7)$ não há solução, pois $7\ne2\cdot3$.

Seja $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. Determine seus autovalores, determinante e diagonalização sobre $\mathbb R$ e $\mathbb C$. Encontre $A^n$ para inteiros $n\ge1$ sem multiplicação repetida.

Verificar após tentar

O polinômio característico é $(2-\lambda)^2$ e $\det A=4$. Resolver $(A-2I)v=0$ resulta em $v_2=0$, logo o espaço próprio tem dimensão um sobre qualquer campo. São necessários dois autovetores independentes; a matriz é invertível, mas não diagonalizável sobre nenhum dos campos. Escreva $A=2I+N$ onde $N^2=0$. A expansão binomial comutativa deixa apenas dois termos:

Multiplicar esta expressão por $A$ resulta na fórmula em $n+1$, verificando independentemente o coeficiente.