A.2 · Álgebra abstrata e teoria dos números

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Aritmética inteira, conjuntos, funções e prova por contraexemplo.

• Utilizar grupos, subgrupos, homomorfismos e estruturas quociente
• Diferenciar anéis, domínios de integridade e corpos
• Aplicar divisibilidade, congruências e teoria elementar dos números

homomorfismo: Um mapeamento que preserva a operação relevante.

corpo: Um anel comutativo em que cada elemento não nulo possui inverso.

Um grupo exige fecho, associatividade, identidade e inversos. Comutatividade é uma condição adicional.

Um homomorfismo preserva a operação. Seu núcleo é um subgrupo normal e identifica elementos mapeados para a identidade.

Um corpo permite divisão por todo elemento não nulo. Os inteiros formam um anel, mas não um corpo.

Trabalhar com congruências módulo n. Um resíduo a tem inverso multiplicativo exatamente quando mdc(a,n)=1.

Módulo 8, 3 tem inverso 3 porque 3·3=9≡1. Mas 2 não tem inverso porque gcd(2,8)=2. Módulo um primo, todo resíduo não nulo tem um inverso; isso gera um corpo finito.

Não cancele um fator em uma equação modular sem verificar se ele é invertível.

Comparar os grupos aditivos e as estruturas multiplicativas de $\mathbb Z/5\mathbb Z$ e $\mathbb Z/6\mathbb Z$. Listar todas as unidades multiplicativas em cada. Explicar por que remover zero nem sempre deixa um grupo multiplicativo.

Solução resolvida

Ambos os conjuntos completos de resíduos são grupos aditivos: fecho, associatividade e identidade provêm da soma inteira, e $-a$ é inverso aditivo. Um resíduo multiplicativo é unidade precisamente quando seu maior divisor comum com o módulo é um. As unidades módulo cinco são $1,2,3,4$; módulo seis são $1,5$. Módulo seis, $2\cdot3=0$ embora ambos os fatores sejam não nulos. O conjunto não nulo nem sequer é fechado sob multiplicação. Módulo cinco todo resíduo não nulo tem inverso; este anel é um corpo. Um anel, seu grupo aditivo e seu grupo de unidades são estruturas diferentes.

O mapa de redução $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ é dado por $\phi(n)=[n]$. Determinar seu núcleo, imagem e quociente. Resolver $2x\equiv2\pmod6$ completamente e explicar por que cancelar 2 módulo 6 falha.

Verificar após tentar

O mapa preserva adição e multiplicação. Seu núcleo é $6\mathbb Z$ e sua imagem são todos os seis resíduos. O quociente identifica inteiros com o mesmo resto, logo $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. A congruência significa $6\mid2(x-1)$, equivalentemente $3\mid x-1$. Logo $x\equiv1\pmod3$, resultando nos resíduos $1$ e $4$ módulo seis. Ambos substituem corretamente. Cancelar 2 mantendo módulo seis descartaria 4; 2 não tem inverso multiplicativo ali.