T.1 · Análise real e topologia

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Declarações quantificadas, desigualdades, sequências e funções contínuas.

• Aplicar definições de limite de sequência e função
• Distinguir compacidade, conexidade e completude
• Usar raciocínio de espaço métrico e topologia elementar

compacto: Toda cobertura aberta possui subcobertura finita.

supremo: O menor dos majorantes de um conjunto.

Uma afirmação epsilon-delta controla todas as entradas suficientemente próximas. A ordem dos quantificadores importa.

No espaço euclidiano real, conjuntos fechados e limitados são compactos. Não aplique essa equivalência a todo espaço métrico.

Imagens contínuas de conjuntos compactos são compactas; assim, uma função contínua real em domínio compacto atinge extremos.

Conexidade exclui separação em partes abertas disjuntas não vazias. Continuidade preserva conexidade; completude é propriedade separada.

f(x)=x em (0,1) é contínua e limitada, mas nunca iguala seu supremo 1. Em [0,1], a mesma função atinge seu máximo em 1. A extremidade ausente explica por que o teorema do domínio compacto não se aplica ao primeiro caso.

A conclusão de um teorema não pode ser usada antes que suas hipóteses tenham sido verificadas.

Prove a continuidade de $f(x)=x^2$ em 2 usando escolha explícita de epsilon-delta. Explique separadamente por que atinge mínimo em $[1,3]$.

Solução resolvida

Dado $\epsilon>0$, escolha $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. Se $|x-2|<\delta$, então $1<x<3$, logo $|x+2|<5$.

A escolha depende de epsilon, não da entrada posterior x. O intervalo $[1,3]$ é não vazio e compacto na métrica real ordinária. Continuidade garante extremos atingidos. Aqui $x^2\ge1$, com igualdade em 1, logo o mínimo é 1.

No espaço métrico $X=(0,1)$ com distância ordinária, X é limitado? É fechado em si mesmo? É compacto ou completo? Explique por que Heine–Borel não pode ser usado aqui.

Verificar após tentar

X é limitado e fechado relativamente a si mesmo (seu complemento em X é vazio). A sequência de Cauchy $1/(n+2)$ não tem limite em X, portanto X não é completo, nem compacto. Diretamente, a cobertura aberta relativa $\{(1/n,1):n\ge2\}$ cobre X, mas não possui subcobertura finita. Heine–Borel exige ser fechado e limitado como subconjunto do espaço euclidiano; X não é fechado em $\mathbb R$. As hipóteses de um teorema não podem alterar seu espaço ambiente durante a demonstração.