A.4 · Anéis, ideais e módulos

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Anéis, corpos, subgrupos aditivos e homomorfismos.

• Distinguir unidades, divisores de zero e domínios integrais
• Identificar ideais e interpretar anéis quociente
• Comparar módulos sobre anéis com espaços vetoriais sobre corpos
• Derivar propriedades de anéis booleanos sem assumir comutatividade

ideal: Um subgrupo aditivo de um anel que absorve a multiplicação por todos os elementos do anel.

torção: Um elemento é aniquilado por um escalar não nulo no módulo especificado.

Para os exemplos de domínio, ideal e quociente abaixo, use um anel comutativo com identidade 1 distinto de 0. Um problema fonte pode especificar um anel geral; não assuma sua multiplicação comutativa a menos que declarado ou provado. Uma unidade possui inverso multiplicativo. Um divisor de zero não nulo multiplica algum elemento não nulo resultando em zero. Um domínio integral não possui tais divisores de zero; a cancelação de um fator não nulo funciona. Um corpo é um domínio no qual todo elemento não nulo é uma unidade. Z é um domínio, mas não um corpo; Z/6Z é neither.

Um ideal I é um subgrupo aditivo que absorve a multiplicação por todo elemento do anel. Isso é mais forte do que ser um subanel. Em Z, nZ é um ideal; os elementos quociente são classes de resíduos inteiros módulo n. Em um anel comutativo, R/I é um corpo exatamente quando I é maximal, e é um domínio exatamente quando I é primo. O ideal deve ser próprio em ambas as afirmações.

Um módulo permite escalares de um anel em vez de exigir um corpo. Todo grupo abeliano é um Z-módulo por adição repetida, mas não precisa ter base de espaço vetorial. Em Z/6Z como Z-módulo, 6 vezes o resíduo não nulo 1 é zero; isso é torção. Para um espaço vetorial sobre um corpo, um escalar não nulo é invertível e não pode anular um vetor não nulo.

Um submódulo é fechado sob adição e todas as ações escalares permitidas. Um mapa linear de módulos preserva ambos. O núcleo e a imagem são submódulos, e o quociente pelo núcleo é isomorfo à imagem. Não aplique a relação dimensão-nulidade para dimensão finita a um módulo arbitrário sem estabelecer um contexto adequado de módulo livre; operações de linha inteiras e operações de linha sobre corpos permitem divisões diferentes. Em um anel booleano geral, todo a satisfaz a²=a. Não assuma comutatividade para prová-la: a idempotência de a+a dá 4a=2a, logo 2a=0. Expandindo (a+b)²=a+b, obtemos ab+ba=0, e a característica dois torna −ba=ba; portanto ab=ba. A idempotência não implica nilpotência: em F2, o elemento não nulo 1 satisfaz 1^n=1 para todo n positivo.

Em Z/6Z, 2·3=0, logo 2 e 3 são divisores de zero. As unidades são 1 e 5 porque seu mdc com 6 é 1. Em Z, o ideal 5Z gera o campo Z/5Z, enquanto 6Z produz um quociente com divisores de zero. Como módulos Z, o mapa de Z para Z/6Z tem núcleo 6Z; o quociente identifica inteiros que diferem por um múltiplo de 6, em vez de produzir um espaço vetorial real.

Um conjunto pode ser um submódulo sem ser um espaço vetorial sobre os racionais. A divisão escalar é válida apenas quando o inverso do escalar pertence à estrutura.

Em $\mathbb Z/12\mathbb Z$, liste as unidades e os divisores de zero não nulos. O ideal $(4)$ é primo ou maximal?

Solução resolvida

As unidades são os resíduos coprimos a 12: $1,5,7,11$. Os demais resíduos não nulos $2,3,4,6,8,9,10$ são divisores de zero. Para cada tal a, $a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ módulo 12, com o segundo fator não nulo. O ideal $(4)=\{0,4,8\}$ fornece quociente isomorfo a $\mathbb Z/4\mathbb Z$. Isso não é um domínio, pois $2\cdot2=0$, e não é um corpo. Portanto, o ideal não é primo nem maximal.

Como um $\mathbb Z$-módulo, $\mathbb Z/6\mathbb Z$ pode ser livre? Compare os ideais $(2)$ e $(x)$ em $\mathbb Z$ e $\mathbb Q[x]$, respectivamente, usando seus quocientes.

Verificar após tentar

A nonzero free $\mathbb Z$-module has no nonzero vector annihilated by a nonzero integer: examine each integer coordinate. But $6[1]=0$ in $\mathbb Z/6\mathbb Z$. It is not free; a field-style basis argument is invalid. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ é um corpo, logo $(2)$ é maximal e primo. A avaliação em zero mapeia $\mathbb Q[x]$ sobre $\mathbb Q$ com núcleo $(x)$; seu quociente também é um corpo. Ambos os argumentos usam ideais próprios em anéis comutativos com identidade.