A.5 · Polinômios e extensões de corpo

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Divisão de polinômios, campos e dimensão do espaço vetorial.

• Testar a irredutibilidade de um polinômio sobre o campo especificado
• Construir pequenos campos finitos a partir de polinômios irredutíveis
• Usar graus de extensão e a lei da torre
• Usar raízes ciclotômicas e relações de coeficientes para calcular somas e produtos

polinômio irredutível: Um polinômio de grau positivo sem fatoração em polinômios de graus positivos menores sobre o campo mencionado.

grau de extensão: A dimensão de um campo de extensão como espaço vetorial sobre seu campo base.

Um polinômio é irredutível sobre um campo se tem grau positivo e não pode ser fatorado em polinômios de graus positivos menores nele. Quadráticos ou cúbicos são irredutíveis exatamente quando não têm raiz nesse campo. Esse teste de raiz falha para grau quatro ou superior; por exemplo, (x²+1)(x²+2) não tem raiz real, mas é redutível sobre R. Sempre nomeie o campo base.

O quociente F[x]/(p) é um campo quando p é irredutível. Reduza potências usando p(alpha)=0, onde alpha é a classe de resíduo de x. Se F tem q elementos e p tem grau d, o quociente tem q^d elementos representados por polinômios de grau inferior a d. Z/4Z tem quatro elementos, mas possui divisores de zero, logo não é o campo com quatro elementos.

Sobre F2, p(x)=x²+x+1 assume valores 1 tanto em 0 quanto em 1 e é irredutível. Em seu quociente, alpha²=alpha+1 porque subtração equivale à adição na característica dois. Os quatro elementos são 0,1, alpha, alpha+1. Todos os três elementos não nulos devem ser unidades; calcule seus produtos em vez de tratar alpha como um número real ordinário.

Para campos aninhados de grau finito K dentro L dentro M, a lei da torre dá [M:K]=[M:L][L:K]. O grau de um elemento algébrico é o grau de seu polinômio mínimo. Uma extensão finita de grau dois não contém um elemento de grau três sobre o campo base. Sobre Q, sqrt(2) tem grau dois; ao adjuntar sqrt(3), obtém-se uma extensão de grau quatro, pois sqrt(3) não está em Q(sqrt(2)). Sobre C, as raízes primitivas n-ésimas da unidade têm ordem exata n e são as raízes do polinômio ciclotômico Φ_n. Para n=10, divida x⁵+1 por x+1 para excluir a raiz de ordem dois −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. As fórmulas de Vieta dão soma 1 e produto 1 de suas quatro raízes primitivas. Não some todas as décimas raízes nem assuma que toda raiz não trivial de ordem dez seja primitiva; a ordem de uma raiz deve ser verificada. Para um polinômio monic de grau d, o produto de suas raízes é (−1)^d vezes o coeficiente constante.

Em F2[alpha] com alpha²+alpha+1=0, multiplique alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Logo alpha^−1=alpha+1. Além disso, alpha³=1 e alpha não é 1, então sua ordem multiplicativa é 3. Isso produz um campo de quatro elementos. Em contraste, 2·2=0 em Z/4Z, provando que esse quociente não é um campo.

A redutibilidade de um polinômio muda com o campo de coeficientes. O polinômio x²−2 é irredutível sobre Q, mas se fatora sobre R.

Construa $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. Liste seus elementos e encontre o inverso do resíduo $\alpha=[x]$.

Solução resolvida

O quadrático assume valor um em ambos os elementos de $\mathbb F_2$, logo não tem raiz e é irredutível. Seu quociente é um campo. A divisão deixa um representante de grau inferior a dois: $0,1,\alpha,1+\alpha$. A relação é $\alpha^2=\alpha+1$ na característica dois. Consequentemente $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, logo $\alpha^{-1}=\alpha+1$. Isso não é $\mathbb Z/4\mathbb Z$, que possui um divisor de zero não nulo.

$x^4+4$ é irredutível sobre $\mathbb Q$? A ausência de raízes racionais responde a essa questão? Uma extensão de grau dois de $\mathbb Q$ pode conter uma raiz de um cúbico irredutível sobre $\mathbb Q$?

Verificar após tentar

A multiplicação direta resulta em $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, logo é redutível sobre $\mathbb Q$ apesar de não ter raízes reais, portanto nenhuma raiz racional. O teste de ausência de raízes caracteriza a irredutibilidade apenas para grau dois ou três sobre um campo. If an irreducible cubic root $\beta$ belonged to a degree-two extension L, then $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ and the tower law would make 3 divide 2. This is impossible. The conclusion uses irreducibility, not merely a cubic equation.