T.9 · Semelhança, escalonamento e loci de distância cônica

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Triângulos semelhantes, fórmula de distância e equações quadráticas.

• Corresponda vértices triangulares por ângulos iguais antes de formar uma razão de lados
• Aplicar fatores de escala de comprimento, área e volume a transformações geométricas
• Identificar condições de distância cônica e manter um ramo de hipérbole com sinal

semelhança: Igualdade dos ângulos correspondentes e razão comum de comprimentos correspondentes.

foco: Ponto fixo utilizado na definição de distância cônica.

Triângulos são semelhantes quando seus ângulos correspondentes coincidem; suas razões de lados correspondentes são então iguais. Escreva explicitamente a correspondência dos vértices. Se o triângulo APQ tem ângulo A igual ao ângulo A do ABC e ângulo P igual ao ângulo C, sua correspondência ordenada é A↔A, P↔C, Q↔B. Assim, AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. O lado AP está sobre AB, mas corresponde a AC; associar pelo local onde um lado está ou pela letra P pode levar à razão errada.

Com um fator de escala de comprimento comum k>0, os comprimentos multiplicam-se por k, as áreas por k² e os volumes por k³. Um aumento de 30% no comprimento significa k=1.30, logo um aumento de área de 1.30²−1=0.69, ou seja, 69%; não é 60%. Para sólidos semelhantes com uma razão de volumes de 27, a razão de comprimentos é 3 e a razão de área de superfície 9. Alterações percentuais e diferenças absolutas são quantidades diferentes; escreva a razão novo-para-antigo antes de convertê-la em percentual.

Um círculo fixa a distância a um ponto. Uma elipse fixa a soma das distâncias a dois focos. Uma hipérbole fixa a diferença absoluta dessas distâncias; uma parábola fixa a igualdade da distância a um foco e a uma diretriz. Estas são definições de conjuntos de pontos, não esboços para memorizar. Para focos (−c,0) e (c,0), uma elipse usa uma soma 2a com a>c. Uma hipérbole não degenerada usa uma diferença absoluta 2a com 0<a<c; uma diferença com sinal distingue seus dois ramos.

Para a hipérbole com eixo transversal horizontal, c²=a²+b² e a equação é x²/a²−y²/b²=1. Seja r_A a distância a (−c,0) e r_B a distância a (c,0). A condição r_A−r_B=2a>0 seleciona o ramo direito x≥a; a condição negativa seleciona o esquerdo. Elevar ao quadrado pode perder esse sinal, então verifique a condição de distância original após obter a equação. Diferença zero dá a mediatriz em vez de uma hipérbole; uma diferença excedendo a separação focal é impossível pela desigualdade triangular.

Seja AB=10, AC=15 e BC=20. Um ponto P em AB tem AP=6, e Q em AC faz ângulo APQ igual a ângulo ACB. Então AP/AC=6/15=2/5, logo PQ=8 e AQ=4. Separadamente, focos em (−5,0),(5,0) e distância-esquerda menos distância-direita igual a 6 dão a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 com x≥3. O ponto (−3,0) satisfaz a equação quadrada mas falha na condição signada.

Combine ângulos antes de lados. Porcentagens de área usam o quadrado do fator de comprimento. Uma equação de distância quadrada pode descrever ambos os ramos mesmo quando o problema original pede apenas um.

Sólidos semelhantes têm razão de área de superfície 9:25. Encontre suas razões correspondentes de comprimento e volume. Explique por que a correspondência dos vértices importa antes de formar uma razão de triângulo.

Solução resolvida

Tirar raízes quadradas positivas dá a razão de comprimento 3:5. Elevar ao cubo dá a razão de volume 27:125. A razão de área não é em si um fator de escala de comprimento. Os vértices correspondentes devem coincidir com ângulos iguais; caso contrário, as razões podem comparar lados não relacionados. A semelhança é uma suposição aqui; razões de área sozinhas não provam que sólidos arbitrários são semelhantes.

Para focos $A=(-5,0)$ e $B=(5,0)$, encontre o locus $|PA|-|PB|=6$. Derive sua equação padrão, escolha seu ramo e verifique o vértice na relação não elevada ao quadrado. O que acontece se a diferença solicitada for 12?

Verificar após tentar

Escreva $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ e $r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. A condição original é $r_A-r_B=6$. Como $r_A^2-r_B^2=20x$, multiplicar a diferença de distâncias por sua soma resulta em $r_A+r_B=10x/3$. Portanto, $r_B=5x/3-3$, que deve ser não negativo. Elevar essa igualdade ao quadrado resulta em $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. Expandir e agrupar resulta em $16x^2/9-y^2=16$. Assim, a meia distância focal é c=5, a meia diferença é a=3, e a hipérbole é $x^2/9-y^2/16=1$, usando $b^2=c^2-a^2=16$. A diferença positiva original seleciona o ramo direito $x\ge3$. Em $(3,0)$, as distâncias são 8 e 2, diferença seis; em $(-3,0)$, a diferença é menos seis. Elevar ao quadrado sozinho retém esse ramo inválido. Uma diferença de 12 excede $|AB|=10$ e é impossível pela desigualdade triangular reversa.