T.8 · Condicionamento, inferência bayesiana e erro amostral

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Tabelas de probabilidade, esperança, variância e amostragem independente.

• Diferenciar probabilidades condicionais, conjuntas e de eventos independentes
• Calcular probabilidades a posteriori com uma tabela de taxa base completa
• Usar variância e tamanho da amostra para determinar o erro padrão da média amostral

probabilidade a posteriori: Probabilidade condicional à evidência observada após considerar proporções prévias.

erro padrão: Desvio padrão de uma estatística em amostras repetidas.

Para P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): restrinja a população a B antes de calcular a fração em A. Independência significa P(A∩B)=P(A)P(B), equivalentemente P(A|B)=P(A) quando o denominador é não nulo. Eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas não podem ser independentes, pois sua probabilidade conjunta é zero. Amostragem sem reposição geralmente altera probabilidades subsequentes; um denominador fixo para desenhos sucessivos descreveria um experimento diferente.

Construa probabilidades conjuntas multiplicando uma proporção de categoria prévia pela probabilidade condicional relevante. Se D é a condição e + um resultado positivo, P(D∩+)=P(D)P(+|D). A probabilidade total positiva é P(D)P(+|D)+P(não D)P(+|não D), pois são disjuntas e cobrem todos os resultados positivos. Bayes divide a primeira probabilidade conjunta por esse total. Sensibilidade é P(+|D), enquanto especificidade é P(−|não D); a taxa de falso-positivo é um menos a especificidade.

Para um teste hipotético com prevalência 2%, sensibilidade 90% e especificidade 95%, use uma população de 10,000 para clareza. De 200 pessoas com a condição, 180 testam positivo. De 9,800 sem ela, 490 testam positivo. Portanto 180 de 670 resultados positivos têm a condição: posterior 18/67, cerca de 26.9%. Inverter a condicional daria 90%, respondendo a uma pergunta diferente. Este é um modelo matemático, não uma recomendação sobre decisões clínicas.

Para observações idênticas e independentemente distribuídas com variância finita σ², a média amostral tem esperança μ e variância σ²/n; seu erro padrão é σ/√n. Esta é a dispersão das médias amostrais repetidas, não a dispersão de observações individuais. Quadruplicar n reduz o erro padrão pela metade, ao invés de reduzi-lo a um quarto. Dados de população normal resultam exatamente em média normal; caso contrário, uma aproximação do limite central exige condições adequadas e tamanho de amostra. Correlação invalida o cálculo simples de variância independente.

Seja P(A)=0.4, P(B)=0.5 e P(A∩B)=0.3. Então P(A|B)=0.6, logo A e B não são independentes, pois 0.3≠0.4·0.5. Se uma variável tem desvio padrão 12, uma amostra independente de tamanho 36 tem erro padrão da média 2. Aumentar o tamanho da amostra para 144 resulta em 1; o desvio padrão das observações individuais permanece 12.

Não inverta P(+|D) em P(D|+). Inclua falsos positivos no denominador posterior. O desvio padrão das observações individuais e o erro padrão de sua média têm comportamentos diferentes em relação ao tamanho da amostra.

Em um modelo declarado, 10% dos dispositivos têm defeito. Um teste é positivo para 80% dos defeituosos e 5% dos não defeituosos. Encontre a probabilidade de defeito dado um resultado positivo usando 1000 dispositivos esperados.

Solução resolvida

Contagens esperadas são 100 defeituosos e 900 não defeituosos. Contagens positivas são $100(0.8)=80$ e $900(0.05)=45$, respectivamente. O grupo condicionado contém 125 positivos, logo

Contagens negativas 20 e 855 verificam ambos os totais das linhas. A sensibilidade 0.8 é $P(+\mid D)$, não a condição invertida solicitada. Estas são taxas ilustrativas do modelo, não reivindicações de desempenho medido.

Observações independentes têm variância 25. Encontre o erro padrão de sua média para n=100. Se em vez disso cada par distinto tem covariância 1, encontre a variância da média. Quadruplicar n necessariamente reduz o erro padrão pela metade nesse segundo modelo?

Verificar após tentar

Independência dá $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ e em 100 erro padrão $5/10=0.5$. Com covariância igual a um,

Em 100 é 1.24. O erro padrão tende a um conforme n cresce, ao invés de tender a zero; quadruplicar n pode não reduzi-lo pela metade. Termos de covariância podem ser descartados apenas sob independência não correlacionada justificada, sendo a independência uma condição suficiente.