C.8 · Fase trigonométrica e curvas paramétricas

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Trigonometria em radianos, derivadas e parametrização de curvas.

• Distinguir amplitude, frequência angular, ângulo de fase e deslocamento horizontal
• Eliminar um parâmetro mantendo seu domínio e direção de traçado
• Usar derivadas paramétricas sem assumir que uma tangente vertical é estacionária

ângulo de fase: O desvio angular dentro do argumento de uma função periódica, definido módulo um período completo.

curva paramétrica: Curva cujas coordenadas são especificadas como funções de um parâmetro compartilhado.

Para y=A cos(ωx−φ) com A>0 e ω>0, a amplitude é A, o período é 2π/ω e o deslocamento horizontal é φ/ω. O ângulo de fase φ é medido dentro do argumento do cosseno; não é em si o deslocamento horizontal a menos que ω=1. Comece com a espaçamento pico-a-pico para o período e a distância linha-médio-a-pico para a amplitude. Para encontrar a fase, substitua um ponto conhecido e verifique a direção do movimento ali. Fases equivalentes diferem por 2π.

Para y=−2 cos(3x), reescreva o modelo com amplitude positiva como 2 cos(3x−π). Sua amplitude é 2, período 2π/3 e fase π; o deslocamento horizontal equivalente é π/3. Os picos ocorrem quando 3x−π for um múltiplo de 2π. Um ponto do gráfico em x=0 e y=0 sozinho não determina a fase unicamente: inclinações ou outro ponto distinguem os ângulos possíveis. Unidades e convenções angulares importam; derivadas trigonométricas ordinárias em cálculo usam radianos.

Uma curva paramétrica especifica x=x(t), y=y(t). Eliminar t descreve um conjunto de pontos, mas pode perder restrições e direção. Para x=cos³t, y=sin³t, raízes cúbicas reais dão |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, uma astroid com cúspides nos eixos. Quando t varia de 0 a 2π, começa em (1,0), passa por (0,1) em π/2 e percorre no sentido antihorário. Restringir t para [0,π/2] fornece apenas o arco do primeiro quadrante, não todo o locus implícito.

Quando dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). Uma tangente horizontal geralmente exige dy/dt=0 e dx/dt≠0; uma tangente vertical inverte essas condições. Se ambos se anularem, inspecione um limite ou a expansão local em vez de tomar 0/0 como inclinação. Para x=t², y=t³ em t=0, o quociente para t≠0 é 3t/2 e tende a zero: a cúspide tem tangente horizontal. Uma velocidade paramétrica nula não é, por si só, um máximo ou mínimo local de y como função de x.

Para y=−2 cos(3x), mínimos incluem x=0 e máximos incluem x=π/3. A representação de fase 2 cos(3x−π) dá os mesmos valores. Para x=2 cos t,y=sin t, a eliminação dá x²/4+y²=1; em t=π/4, dx/dt=−√2 e dy/dt=√2/2, logo inclinação −1/2. O intervalo de parâmetro completo [0,2π] traça a elipse uma vez no sentido antihorário.

O ângulo de fase e o deslocamento horizontal diferem pelo fator de frequência. Uma equação implícita pode adicionar partes da curva não traçadas. Se ambas as derivadas paramétricas se anularem, use raciocínio local em vez de rotular cada tal ponto como um extremo.

Para $y=-3\cos(2x)$, indique amplitude, período, representação de fase com amplitude positiva e o correspondente deslocamento horizontal. Parametrize a elipse $x^2/9+y^2/4=1$ no sentido antihorário.

Solução resolvida

A amplitude é três e o período $2\pi/2=\pi$. Escreva $y=3\cos(2x-\pi)$, com fase $\pi$ e deslocamento à direita $\pi/2$. Fase e deslocamento não são a mesma coisa. Uma parametrização é $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, que começa em $(3,0)$ e inicialmente sobe. Eliminar t verifica a equação da elipse.

Para $x=t^2,y=t^3$ sobre $-1\le t\le1$, determine o locus traçado e a tangente em t=0. A anulação da velocidade paramétrica prova que não há tangente? A equação implícita sozinha retém toda a restrição paramétrica?

Verificar após tentar

A eliminação resulta em $y^2=x^3$, com $0\le x\le1$ e ambos os sinais de y. Para t diferente de zero, $dy/dx=3t/2\to0$. A inclinação da secante pela origem é $y/x=t\to0$ também, logo a cúspide tem tangente horizontal. Ambas as derivadas paramétricas se anulam em zero, tornando o quociente bruto $0/0$ inconclusivo, sem provar ausência de tangente. A equação implícita sem restrições também possui pontos com x>1; a restrição de intervalo deve ser levada separadamente.