T.5 · Conjuntos abertos, compacidade e conexidade

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Conjuntos, conjuntos abertos relativos, funções contínuas e sequências.

• Calcular fecho, interior e fronteira em um espaço especificado
• Aplicar compacidade e conexidade a mapeamentos contínuos
• Distinguir topologia relativa da topologia euclidiana ambiente

topologia relativa: Subconjuntos abertos herdados pela interseção de um subespaço com conjuntos abertos do ambiente.

conexidade: Ausência de separação em subconjuntos abertos relativamente disjuntos não vazios.

Em um espaço métrico, um conjunto aberto contém uma pequena bola ao redor de cada um de seus pontos. O interior consiste nesses pontos; o fecho inclui todos os pontos de acumulação; a fronteira é fecho menos interior. Aberto e fechado não são rótulos mutuamente exclusivos; o conjunto vazio e o espaço inteiro são ambos. Em R, o conjunto [0,1) tem interior (0,1), fecho [0,1] e fronteira {0,1}.

Em um subespaço X, um conjunto aberto tem a forma X intersectado com um conjunto aberto ambiente. Assim, [0,1) é aberto relativo a [0,2], usando interseção com (-1,1), embora não seja aberto em R. Um conjunto também pode ser relativamente fechado sem ser fechado no espaço ambiente. Sempre especifique qual espaço define vizinhanças e qual métrica é usada.

Compacidade significa que toda cobertura aberta possui uma subcobertura finita. Em R^n euclidiano, Heine–Borel torna isso equivalente a ser fechado e limitado. Em um espaço métrico, compacidade é equivalente a compacidade sequencial; completude e limitação sozinhos não são suficientes em espaços métricos arbitrários. A imagem contínua de um conjunto compacto é compacta, garantindo máximos e mínimos atingidos para funções reais contínuas em um domínio compacto não vazio.

Conjuntos conexos não podem ser separados em duas partes abertas relativamente disjuntas não vazias; subconjuntos conexos de R são precisamente intervalos. A imagem contínua de um conjunto conexo é conexa, o que resulta no teorema do valor intermediário. Conexidade por caminhos implica conexidade, mas não vice-versa em todo espaço. Um conjunto compacto pode não ser conexo, e um conjunto conexo pode não ser compacto; um conjunto finito de dois pontos e um intervalo aberto fornecem os casos contrastantes.

Seja X=[0,1] com sua topologia relativa usual. O conjunto U=[0,0.5) é igual à interseção de X com (-1,0.5), logo U é aberto em X. Seu fechamento em X é [0,0.5], e sua fronteira em X é {0.5}; zero é um ponto interior relativo a X. Para uma função contínua f em X com f(0)<0<f(1), a conexidade garante um zero, enquanto a compacidade separadamente garante extremos atingidos.

O teste de Heine–Borel para conjuntos fechados e limitados é um teorema do espaço euclidiano. Conectividade e compacidade respondem a questões diferentes.

Em $X=[0,2]$ com sua topologia relativa, encontre o interior, o fecho e a fronteira de $A=[0,1)$. A é aberto ou fechado em X?

Solução resolvida

$A=X\cap(-1,1)$ é aberto em X, logo seu interior relativo é A. Seu fecho é $[0,1]$ e sua fronteira é $\{1\}$. Zero é interior relativo a X porque uma bola suficientemente pequena em X não tem parte negativa. A não é fechado em X: a sequência $1-1/n$ para $n\ge2$ tende ao ponto ausente 1. Na reta real ambiente, o interior e a fronteira seriam, respectivamente, $(0,1)$ e $\{0,1\}$.

Dê um conjunto real compacto desconexo e um conjunto real conexo não compacto. Uma função real contínua neste último deve atingir um valor extremo? Explique qual propriedade garante o teorema do valor intermediário.

Verificar após tentar

O conjunto finito $\{0,2\}$ é compacto, mas desconexo. O intervalo $(0,1)$ é conexo, mas não compacto. A função identidade contínua em $(0,1)$ não atinge nem máximo nem mínimo. A conexidade torna a imagem real contínua um intervalo, fornecendo portanto valores intermediários. A compacidade, por outro lado, faz com que uma imagem real contínua não vazia atinja seus valores extremos. Nenhuma propriedade substitui a outra.