T.4 · Sequências, séries e convergência uniforme

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Limites de sequências, supremo, continuidade e séries numéricas.

• Use critérios de Cauchy, convergência monótona e subsequência
• Distinga convergência pontual da convergência uniforme de funções
• Verifique hipóteses antes de permutar limites e integrais

sequência de Cauchy: Uma sequência cujos termos suficientemente tardios são arbitrariamente próximos uns dos outros.

convergência uniforme: Convergência com um índice de limiar de erro válido em todo ponto do domínio.

Uma sequência real convergente é de Cauchy, e toda sequência de Cauchy real converge porque R é completo. Em Q, uma sequência de Cauchy pode se aproximar de um número irracional e falhar em convergir dentro de Q. Uma sequência real monótona limitada converge. Uma sequência limitada pode não convergir, mas Bolzano–Weierstrass garante uma subsequência convergente; (-1)^n tem dois limites subsequenciais diferentes.

Para uma série numérica, a convergência absoluta implica convergência; a convergência condicional não permite rearranjos arbitrários sem alterar a soma. A série harmônica alternada converge, mas sua série de valores absolutos diverge. No teste da razão, um limite abaixo 1 prova convergência absoluta e um acima 1 prova divergência; um limite igual a 1 é inconclusivo, como demonstram tanto a soma 1/n quanto a soma 1/n².

A convergência pontual escolhe um índice N separado para cada x e tolerância. A convergência uniforme escolhe um único N que funciona para todo x no domínio. Para funções reais, verifique o supremo de |f_n−f| sobre todo o domínio. Um limite pontualmente contínuo não prova por si só convergência uniforme. Extremidades do domínio e picos decrescentes frequentemente distinguem os dois conceitos.

Um limite uniforme de funções contínuas é contínuo. Em um intervalo fechado e limitado, a convergência uniforme de funções Riemann-integráveis permite trocar limite e integral. Trocar derivadas exige hipóteses extras; a convergência uniforme das funções sozinha é insuficiente. O teste M de Weierstrass estabelece convergência absoluta uniforme de uma série de funções se cada termo for limitado por M_n em todo o domínio e a soma de M_n convergir.

Em [0,1], f_n(x)=x^n tende a 0 para x<1 e a 1 em x=1. O limite é descontínuo, logo a convergência não pode ser uniforme; diretamente, o erro supremo é 1, aproximado abaixo de 1. Em [0,a] com 0≤a<1, o limite é zero e o supremo é a^n, que tende a zero, logo a convergência é uniforme. Mudar o domínio altera a conclusão.

Verificar vários valores fixos de x não prova nem um limite superior do supremo nem convergência uniforme. O ponto que produz o maior erro pode mudar com n.

Determine a convergência pontual e uniforme de $f_n(x)=x^n$ em $[0,1]$ e em $[0,a]$ para $0<a<1$ fixo. Compare $\sum1/n^2$ com a série harmônica alternada quanto à convergência absoluta.

Solução resolvida

Em $[0,1]$, o limite é zero para $x<1$ e um em 1. Este limite é descontínuo, logo funções contínuas $f_n$ não podem convergir uniformemente. Mais diretamente, o erro supremo em $[0,1)$ é um. Em $[0,a]$, o supremo é $a^n\to0$, logo a convergência é uniforme para zero. A p-série com p=2 converge absolutamente. A série harmônica alternada converge por termos decrescentes tendendo a zero, mas a série absoluta diverge; sua convergência é condicional.

Seja $g_n(x)=\sin(nx)/n$ em $\mathbb R$. A convergência é uniforme? Suas derivadas podem convergir para a derivada de seu limite? Use um ponto explícito para decidir.

Verificar após tentar

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, então as funções convergem uniformemente para zero. Mas $g_n'(x)=\cos(nx)$, e em $x=0$ essas derivadas são todas 1. A derivada do limite zero é 0. Assim, a convergência uniforme das funções sozinha não justifica diferenciar um limite; são necessárias hipóteses adicionais sobre a convergência das derivadas.