C.4 · Expansões de Taylor e extremidades de séries de potências

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Derivadas, séries geométricas e testes de convergência.

• Construir polinômios de Taylor e controlar o erro de aproximação
• Determinar raios de convergência e testar os extremos separadamente
• Diferenciar e integrar séries potências dentro de seu intervalo de convergência

raio de convergência: A distância a partir do centro da série dentro da qual uma série potência converge absolutamente.

resto: A diferença entre uma função e sua aproximação finita.

O polinômio de Taylor de grau m em a é a soma de f^(k)(a)(x−a)^k/k! para k de zero a m. O fatorial pertence a cada coeficiente. Se a próxima derivada for limitada em magnitude por M entre a e x, o resto de Lagrange tem magnitude no máximo M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. A suavidade sozinha não garante que a série de Taylor infinita seja igual à função em todos os pontos.

Uma série potência sum c_n(x−a)^n converge absolutamente dentro de seu raio R e diverge fora dele. Testes da razão ou da raiz geralmente determinam R, com valores possíveis zero e infinito. Em x=a−R e x=a+R, o teste frequentemente se torna inconclusivo; substitua cada extremo na série original. Os comportamentos nos dois extremos podem diferir.

Dentro do intervalo aberto de convergência, a diferenciação e a integração termo a termo preservam o raio. Podem alterar a inclusão dos extremos. Comece com a série geométrica 1/(1−x)=sum x^n para |x|<1, depois integre de zero a x para obter −ln(1−x)=sum x^n/n para n≥1. Verifique a constante de integração e o domínio do logaritmo real.

Séries também resolvem formas indeterminadas removíveis. Para avaliar (e^x−1−x)/x² próximo a zero, mantenha o primeiro termo sobrevivente x²/2 em vez de usar apenas e^x≈1+x. Uma truncação assintótica estabelece o limite; uma desigualdade de intervalo finito precisa de um argumento separado de sinal ou magnitude do resto. Não substitua em uma série fora de seu intervalo de convergência.

Para sum x^n/n com n≥1, o teste da razão dá raio 1. Em x=1 é a série harmônica divergente; em x=−1 é uma série alternante convergente. Assim, seu intervalo de convergência real é [−1,1). Diferenciar internamente resulta em sum x^(n−1)=1/(1−x), que não converge em nenhuma extremidade. O raio permaneceu 1 enquanto a inclusão das extremidades mudou.

Um raio não é um intervalo completo de convergência. Testes de extremidade e coeficientes fatoriais devem ser verificados explicitamente.

Encontre o intervalo de convergência de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ e de sua diferenciação termo a termo. Aproxime $e^{0.1}$ pelo seu polinômio de Taylor quadrático com um limite de erro justificado.

Solução resolvida

O teste da razão dá raio um. Em 1 a série harmônica original diverge; em -1 a série alternada converge. Assim, o intervalo original é $[-1,1)$. A derivada é $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ apenas para $|x|<1$; seus termos não tendem a zero em nenhum dos extremos. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. Em $[0,0.1]$, a terceira derivada é $e^x<2$. O limite de Lagrange fornece $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. O limite é propositalmente conservador, não uma afirmação de erro exato.

Avalie $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. Explique por que substituir o cosseno por apenas $1-x^2/2$ não pode determinar este limite.

Verificar após tentar

O teorema de Taylor próximo a zero dá $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. A subtração cancela os termos constantes e quadráticos, deixando $x^4/24+O(x^6)$. Após a divisão, o limite é $1/24$. Uma truncação com resto meramente $o(x^2)$ não oferece controle após a divisão por $x^4$; mantenha e limite a primeira ordem sobrevivente.