C.5 · Integrais impróprias e aplicações geométricas

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Antiderivadas, limites, comparação e integração geométrica.

• Definir integrais impróprias por limites em cada fronteira singular
• Selecionar fórmulas de área, volume e comprimento de arco da geometria
• Separar a convergência das integrais do cancelamento com sinal

integral imprópria: Uma integral definida por limites em fronteiras infinitas ou singulares.

valor principal: Um limite usando cancelamento simétrico prescrito que pode existir quando uma integral imprópria ordinária diverge.

Um limite de integração infinito é substituído por um limite finito. Em um ponto singular dentro do intervalo, separe a integral e exija que ambas as integrais unilaterais converjam separadamente. O cancelamento simétrico pode definir um valor principal de Cauchy, mas não prova a convergência da integral imprópria ordinária. Para 1/x através de zero, os dois lados divergem mesmo que os cortes simétricos cancelem.

A integral de x^(−p) de 1 a infinito converge exatamente quando p>1. De zero a 1, converge exatamente quando p<1. O mesmo expoente comporta-se diferentemente nas duas fronteiras. Para integrandos positivos, a comparação transfere a convergência de uma função maior integrável ou a divergência de uma menor não integrável; mantenha a direção da desigualdade correta. Para a integral de um máximo ou mínimo, resolva cruzamentos de ramos e verifique qual expressão domina cada intervalo. Para max(√(1−x²),x+1) em [−1,1], o cruzamento interno é zero; use o semicírculo em [−1,0] e a reta em [0,1]. A área é π/4+3/2, não a integral de nenhum ramo sobre todo o intervalo.

Para rotação em torno do eixo x, discos ou anéis integram π(R²−r²) dx. Cascas cilíndricas usam 2π vezes raio vezes altura e integram na variável correspondente. Selecione o método pela geometria e verifique raios não negativos. Área entre curvas integra superior menos inferior, dividindo onde sua ordem muda. Uma integral com sinal não é automaticamente área geométrica.

Para uma curva plana diferenciável y=f(x), o comprimento de arco é a integral de sqrt(1+(f′(x))²) dx. Uma superfície formada pela rotação de uma f não negativa em torno do eixo x tem área de integral 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. Estas são quantidades diferentes do volume. Se um intervalo for ilimitado, a fórmula geométrica ainda precisa de um teste de convergência.

Gire y=1/x para x≥1 em torno do eixo x. O volume do disco é π vezes a integral de 1/x², então V=π. O integrando da superfície lateral é 2π(1/x)sqrt(1+1/x⁴), pelo menos 2π/x; sua integral imprópria diverge. Volume finito, portanto, não implica área de superfície finita. Esta comparação evita tentar encontrar uma primitiva desnecessária.

Nunca conte um valor principal como uma integral imprópria convergente, nem inferir a finitude de uma quantidade geométrica a partir de outra.

Para qual p real $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ converge? Compare a integral imprópria ordinária de $1/x$ em $[-1,1]$ com seu valor principal simétrico.

Solução resolvida

Divida em 1. Próximo de zero, a convergência exige $p<1$; próximo de infinito, exige $p>1$. Nenhum p real atende ambos, e p=1 diverge logaritmicamente em ambas as extremidades. Ambas as partes unilaterais devem convergir independentemente. Para $1/x$ através de zero, as partes negativa e positiva divergem separadamente, então a integral imprópria ordinária diverge. Cortes simétricos cancelem para zero, resultando apenas em um valor principal. Zero não é o valor da integral ordinária.

Gire a região sob $y=1/x$, $x\ge1$, em torno do eixo x. Prove que seu volume é finito e sua área lateral é infinita.

Verificar após tentar

Discos dão $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. Para área de superfície, $y'=-1/x^2$ e

Seu integrando não negativo é pelo menos $2\pi/x$, cuja integral diverge. A comparação prova área lateral infinita. Isso inclui tanto uma tampa final nem a afirmação de que volume finito implica área finita.