Para uma função diferenciável em um domínio aberto, um extremo local interno possui gradiente nulo. Essa condição é necessária, mas não suficiente. Para duas variáveis em um ponto crítico, seja D=f_xx f_yy−(f_xy)². Se D>0, f_xx>0 indica um mínimo local estrito e f_xx<0 indica um máximo local estrito; D<0 indica uma sela. Esses testes exigem regularidade adequada nas segundas derivadas próximas ao ponto.
Quando D=0, o teste das segundas derivadas é inconclusivo, não evidência de uma sela. As funções x⁴+y⁴ e x⁴−y⁴ possuem a mesma Hessiana nula na origem, mas uma tem um mínimo estrito e a outra muda de sinal. Avalie em direções contrastantes ou use uma desigualdade direta. Para uma forma quadrática, a positividade definida oferece uma interpretação mais geral da Hessiana.
Sobre uma restrição igualdade suave g(x,y)=c com gradiente não nulo g, resolva grad f=lambda grad g junto com g=c. Essas equações geram candidatos; elas não classificam nem garantem um extremo global. Se o gradiente da restrição se anular, a condição de regularidade falha e as equações do multiplicador podem omitir um extremo restrito. Trate esses pontos separadamente. Para x²+y²=a e xy=b>0, (x−y)²=a−2b mostra a necessidade de a≥2b. Isso também é suficiente: tome s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 e y=(s−d)/2. Esses valores reais satisfazem xy=b e x²+y²=a. Uma condição de mínimo sozinha exige essa verificação de alcance para estabelecer a solvabilidade.
Uma função contínua em um conjunto viável compacto atinge extremos globais. Para encontrá-los, compare todos os candidatos internos e todas as peças da fronteira, incluindo cantos e extremidades. Para um retângulo, otimize as restrições em cada aresta. Para um disco, a fronteira circular pode usar um parâmetro ou multiplicador. Resolver apenas o gradiente sem restrição ignora possíveis vencedores na fronteira.
