C.7 · Mudanças de coordenadas e teoremas integrais vetoriais

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Integrais múltiplas, derivadas parciais e fronteiras orientadas.

• Transformar integrais duplas e triplas com seus jacobianos
• Aplicar os teoremas de Green, Stokes e divergência com orientação correta
• Verificar singularidades do domínio antes de afirmar independência de caminho

divergência: A soma das derivadas parciais coordenadas de um campo vetorial que mede o fluxo local para fora.

campo conservativo: Um campo vetorial igual ao gradiente de um potencial escalar com integrais de linha independentes do caminho.

A mudança de variáveis escala área ou volume pelo determinante absoluto do Jacobiano. Coordenadas polares usam r dr dtheta; coordenadas cilíndricas usam r dr dtheta dz; coordenadas esféricas com phi medido a partir do eixo z positivo usam rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. Declare convenções angulares e transforme tanto o integrando quanto a região. Um Jacobiano ausente transforma uma integral de densidade uniforme na quantidade física errada.

O teorema de Green iguala a integral de circulação da fronteira planar orientada positivamente P dx+Q dy à integral dupla de Q_x−P_y sobre a região. As hipóteses usuais exigem derivadas primeiras contínuas em um conjunto aberto contendo a região. Um buraco precisa de sua própria fronteira interna orientada negativamente, ou outro tratamento válido para o domínio ausente. O teorema não pode integrar através de uma singularidade de campo.

O teorema de Stokes iguala a circulação na fronteira de uma superfície com a integral de superfície do rotacional F pontual ao normal orientado. A regra da mão direita vincula a direção da fronteira ao normal. O teorema da divergência iguala o fluxo externo através de uma superfície fechada à integral de volume do divergente F. Circulação, fluxo, rotacional e divergência são distintos; uma superfície fechada é necessária para o teorema usual da divergência.

Um campo gradiente possui integrais de linha independentes do caminho, determinadas por diferenças de potencial nos pontos extremos. Um campo livre de rotacional e continuamente diferenciável em um domínio aberto simplesmente conexo é conservativo. Ser livre de rotacional isoladamente em um domínio com furo é insuficiente. Para F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), a origem está excluída; a circulação no círculo unitário é 2π, embora o rotacional seja zero onde o campo estiver definido.

Para F=(x,y,z), a divergência é 3. O fluxo externo através da esfera de raio 2 é, portanto, 3 vezes seu volume, ou 3·(4π·2³/3)=32π. Isso evita uma parametrização de superfície. Para o campo plano (−y,x), o teorema de Green dá a circulação no sentido anti-horário ao redor do círculo unitário como a integral de 1−(−1)=2 sobre o disco, resultando em 2π. Inverter a orientação inverte o sinal da circulação.

Rotacional nulo não é suficiente quando o domínio tem um buraco. Fluxo externo e circulação anti-horária usam teoremas diferentes e regras de orientação.

Avalie $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ sobre $1\le x^2+y^2\le4$. Encontre o fluxo externo de $F=(x,y,z)$ através da esfera unitária.

Solução resolvida

O anel possui limites polares $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. Incluindo o jacobiano,

F é continuamente diferenciável em toda a bola e tem divergência três. O teorema da divergência fornece fluxo externo $3(4\pi/3)=4\pi$. Uma orientação interna inverteria seu sinal.

Seja $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ no plano perfurado. Seu rotacional escalar é zero ali. Avalie sua circulação no círculo unitário antihorário. Explique por que o teorema de Green não o torna zero.

Verificar após tentar

Parametrize $r(t)=(\cos t,\sin t)$ para $0\le t\le2\pi$. Então $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, logo $G\cdot r'=1$ e a integral é $2\pi$. O campo está indefinido na origem dentro do disco. O teorema de Green exige suavidade necessária em uma vizinhança da região, não apenas em sua fronteira. Rotacional nulo em um domínio perfurado não estabelece um potencial global; um campo fechado não exato pode circular em torno de seu furo.