Integration and Accumulation of Change · ⁨적분과 변화의 축적⁩

AP Calculus BC · ⁨AP 미적분학 BC⁩ · Topic 6 · ⁨주제 6⁩

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6.1

Exploring Accumulations of Change · ⁨변화의 적분 탐구⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (CHA-4): Definite integrals allow us to solve problems involving the accumulation of change over an interval.

Learning Objective CHA-4.A: Interpret the meaning of areas associated with the graph of a rate of change in context.

CHA-4.A.1 The area of the region between the graph of a rate of change function and the $x$ axis gives the accumulation of change.
CHA-4.A.2 In some cases, accumulation of change can be evaluated by using geometry.
CHA-4.A.3 If a rate of change is positive (negative) over an interval, then the accumulated change is positive (negative).
CHA-4.A.4 The unit for the area of a region defined by rate of change is the unit for the rate of change multiplied by the unit for the independent variable.

한국어

지속적 이해 (CHA-4): 정적분은 구간 내에서의 변화량 축적 문제를 해결할 수 있게 해준다.

학습 목표 CHA-4.A: 변화율 그래프와 관련된 면적의 의미를 맥락 속에서 해석한다.

CHA-4.A.1 변화율 함수의 그래프와 $x$축 사이의 영역의 면적은 변화량의 축적을 나타낸다.
CHA-4.A.2 일부 경우, 변화량 축적은 기하학적 방법을 통해 계산할 수 있다.
CHA-4.A.3 어떤 구간에서 변화양이 양수(음수)이면, 축적된 변화량 역시 양수(음수)이다.
CHA-4.A.4 변화율로 정의된 영역의 면적의 단위는 변화율의 단위와 독립 변수의 단위를 곱한 값이다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Where a derivative measures a rate, an integral 积分 measures an accumulation 累积 – a total built up from a rate. If a rate of change acts over an interval, the area between its graph and the axis gives the net accumulated change. This "area = total change" idea is the foundation of integral calculus.

한국어

물탱크: 적분은 변화를 적분함 — 유속으로부터 총 부피

도함수가 **변화율(rate)**을 측정한다면, 적분은 **누적량(accumulation)**을 측정합니다 – 즉, 변화율로부터 쌓여 나간 총량입니다. 어떤 구간 동안 변화율이 작용할 때, 그래프와 축 사이의 면적은 순 누적 변화를 나타냅니다. "면적 = 총 변화"라는 개념은 적분학의 기초입니다.

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English	한국어
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	적분함수(Accumulation function)

6.2

Approximating Areas with Riemann Sums · ⁨리만 합을 이용한 면적 근사⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.A: Approximate a definite integral using geometric and numerical methods.

LIM-5.A.1 Definite integrals can be approximated for functions that are represented graphically, numerically, analytically, and verbally.
LIM-5.A.2 Definite integrals can be approximated using a left Riemann sum, a right Riemann sum, a midpoint Riemann sum, or a trapezoidal sum; approximations can be computed using either uniform or nonuniform partitions.
LIM-5.A.3 Definite integrals can be approximated using numerical methods, with or without technology.
LIM-5.A.4 Depending on the behavior of a function, it may be possible to determine whether an approximation for a definite integral is an underestimate or overestimate for the value of the definite integral.

한국어

지속적 이해 (LIM-5): 정적분은 기하학적 및 수치적 방법을 사용하여 근사할 수 있다.

학습 목표 LIM-5.A: 기하학적 및 수치적 방법을 사용하여 정적분을 근사한다.

LIM-5.A.1 정적분은 그래프, 수치, 분석적, 언어적으로 표현된 함수에 대해 근사할 수 있다.
LIM-5.A.2 정적분은 좌측 리만 합, 우측 리만 합, 중점 리만 합 또는 사다리꼴 합을 사용하여 근사할 수 있으며, 근사는 균등 분할或非等分을 사용하여 계산할 수 있다.
LIM-5.A.3 정적분은 수치적 방법을 사용하여 근사할 수 있으며, 이 과정에서 기술적 도구(Technology)를 사용하거나 사용하지 않을 수 있다.
LIM-5.A.4 함수의 성질에 따라 정적분의 근사값이 실제 정적분 값에 비해 과소평가(underestimate)인지 과대평가(overestimate)인지를 판단할 수 있다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The integral as area (Riemann sums)

Trapezoidal sums approximate area

A Riemann sum 黎曼和 estimates the area under a curve by adding the areas of thin rectangles. Split $[a,b]$ into subintervals and use the function's height at the left endpoint, right endpoint, or midpoint of each. A trapezoidal sum 梯形法 uses trapezoids instead, averaging the two endpoint heights – usually more accurate. With more, thinner rectangles the estimate improves.

Exam skill: be able to compute left, right, midpoint, and trapezoidal estimates from a table or graph, and state whether each over- or under-estimates based on whether the function is increasing/decreasing or concave up/down.

한국어

적분을 면적으로 (리만 합)

사다리꼈 합으로 면적을 근사함

**緻密 합(Riemann sum)**은 가늘고 긴 사각형들의 면적을 더하여 곡선 아래 면적을 추정합니다. $[a,b]$을 하구간으로 나누어 각 구간의 좌측 끝점, 우측 끝점, 또는 중간점에서의 함수 높이를 사용하십시오. **사다리꼴 합(trapezoidal sum)**은 사다리꼴을 사용하여 두 끝점의 높이의 평균을 취하므로 일반적으로 더 정확합니다. 사각형이 많고 가늘어질수록 추정치가 개선됩니다.

緻密 합은 사각형을 사용하여 곡선 아래 면적을 근사합니다

너비 h의 줄기가 곡선 아래 면적을 근사합니다 — 너비 h의 줄기는 곡선 아래 면적을 근사합니다

시험 기술: 표나 그래프에서 좌측, 우측, 중간점, 사다리꼴 추정치를 계산할 수 있어야 하며, 함수가 증가/감소하거나 위쪽/아래쪽 오목인지에 따라 각 추정치가 과대 또는 과소 추정임을 명시할 수 있어야 합니다.

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Approximate area with rectangles · ⁨사각형을 이용해 면적 근사하기⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

A Riemann sum approximates the area under a curve with rectangles. Add more, thinner rectangles and the estimate converges to the exact definite integral. · ⁨리만 합은 사각형을 사용하여 곡선 아랫면적을 근사합니다. 더 많고 얇은 사각형을 추가하면 추정치가 정확한 정적분으로 수렴합니다.⁩

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English	한국어
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	리만 합
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	사다리꼴 합

6.3

Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · ⁨緻密 합, 합산 기호, 그리고 정적분 기호⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (LIM-5): Definite integrals can be approximated using geometric and numerical methods.

Learning Objective LIM-5.B: Interpret the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.B.1 The limit of an approximating Riemann sum can be interpreted as a definite integral.
LIM-5.B.2 A Riemann sum, which requires a partition of an interval $I$, is the sum of products, each of which is the value of the function at a point in a subinterval multiplied by the length of that subinterval of the partition.

Learning Objective LIM-5.C: Represent the limiting case of the Riemann sum as a definite integral.

LIM-5.C.1 The definite integral of a continuous function $f$ over the interval $[a, b]$, denoted by $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, is the limit of Riemann sums as the widths of the subintervals approach 0. That is, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, where $n$ is the number of subintervals, $\Delta x_i$ is the width of the $i$th subinterval, and $x_i^*$ is a value in the $i$th subinterval.
LIM-5.C.2 A definite integral can be translated into the limit of a related Riemann sum, and the limit of a Riemann sum can be written as a definite integral.

한국어

지속적 이해 (LIM-5): 정적분은 기하학적 및 수치적 방법을 사용하여 근사할 수 있다.

학습 목표 LIM-5.B: 리만 합의 극한을 정적분으로 해석한다.

LIM-5.B.1 근사 리만 합의 극한은 정적분으로 해석할 수 있다.
LIM-5.B.2 리만 합은 구간 $I$의 분할(partition)을 필요로 하며, 각 항은 분할된 하위 구간의 한 점에서의 함수 값과 해당 하위 구간의 길이의 곱으로 이루어진 합이다.

학습 목표 LIM-5.C: 리만 합의 극한을 정적분으로 표현한다.

LIM-5.C.1 연속 함수 $f$의区间 $[a, b]$에서의 정적분, 즉 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$는 하위 구간의 너비가 0에 수렴하는 리만 합의 극한이다. 즉, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$이며, 여기서 $n$는 하위 구간의 개수, $\Delta x_i$는 $i$번째 하위 구간의 너비, $x_i^*$는 $i$번째 하위 구간 안의 임의의 점이다.
LIM-5.C.2 정적분은 관련 리만 합의 극한으로 변환될 수 있으며, 리만 합의 극한은 정적분으로 표기될 수 있다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Writing a Riemann sum with summation notation $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ and letting the number of rectangles grow without bound gives the exact area – the definite integral 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

The integral is the limit of Riemann sums; $a$ and $b$ are the limits of integration.

한국어

합산 기호(summation notation) $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$을 사용하여 緻密 합을 쓰고 사각형의 개수가 무한대로 커지도록 하면 정확한 면적, 즉 **정적분(definite integral)**을 얻을 수 있습니다:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

적분은 緻密 합의 극한(limit) 입니다; $a$과 $b$은 적분의 한계입니다.

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English	한국어
integral/ˈɪntɪɡrəl/	적분Unless integral.
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	정적분

6.4

The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · ⁨미적분의 기본 정리와 적분 함수⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-5): The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.

Learning Objective FUN-5.A: Represent accumulation functions using definite integrals.

FUN-5.A.1 The definite integral can be used to define new functions.
- Illustrative examples for FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 If $f$ is a continuous function on an interval containing $a$, then $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, where $x$ is in the interval.

한국어

지속적 이해 (FUN-5): 미적분학의 기본 정리는 미분과 적분을 연결시킨다.

학습 목표 FUN-5.A: 정적분을 사용하여 적분 함수를 표현한다.

FUN-5.A.1 정적분을 사용하여 새로운 함수를 정의할 수 있다.
- FUN-5.A.1을 위한 예시: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 $f$가 $a$를 포함하는 구간에서 연속 함수라면, $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$이며, 여기서 $x$는 그 구간 안의 점이다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The Fundamental Theorem of Calculus

An accumulation function 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gives the accumulated area from $a$ up to $x$. The Fundamental Theorem of Calculus (FTC) 微积分基本定理 says its derivative is the integrand:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

Differentiation and integration are inverse operations. With a variable upper limit and the chain rule, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

한국어

미적분학의 기본 정리

누적 함수(accumulation function) $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$은 $a$부터 $x$까지의 누적 면적을 줍니다. 미적분학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 에 따르면 이 함수의 도함수는 피적분함수(integrand)입니다:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

미분과 적분은 상쇄(inverse) 연산입니다. 상한이 변수이고 연쇄 법칙(chain rule)을 적용하면, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$입니다.

적분 함수는 부호 있는 면적을 더합니다; FTC는 그 도함수가 f임을 말함

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Accumulate area as an integral · ⁨적분을 통해 면적 축적하기⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

An accumulation function $\int_a^x f(t)\,dt$ builds up signed area as $x$ moves. The Fundamental Theorem says its derivative is just $f(x)$. · ⁨적분 함수 $\int_a^x f(t)\,dt$는 $x$이 이동함에 따라 부호 있는 면적이 쌓입니다. 기본 정리에 따르면 이 함수의 도함수는 단순히 $f(x)$입니다.⁩

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English	한국어
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	적분 함수
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	미적분학 기본 정리 (FTC)
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	원함수(alternative integral)
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	부정적분
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	u-대치法
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	부분 적분
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	부분 분수

6.5

Interpreting the Behavior of Accumulation Functions · ⁨누적 함수의 거동을 해석하기⁩

Syllabus

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
FUN-5 The Fundamental Theorem of Calculus connects differentiation and integration.	FUN-5.A Represent accumulation functions using definite integrals.	FUN-5.A.3 Graphical, numerical, analytical, and verbal representations of a function $f$ provide information about the function $g$ defined as $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Because $g'(x)=f(x)$, the graph of $f$ tells you everything about $g$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, has extrema where $f$ crosses zero, and is concave up where $f$ is increasing. Reading these connections off a graph of $f$ is a classic free-response task.

한국어

$g'(x)=f(x)$이기 때문에, $f$의 그래프는 $g$에 대해 모든 것을 알려줍니다: $g$은 $f>0$인 곳에서 증가하고, $f<0$인 곳에서 감소하며, $f$이 0을 지나는 곳에서 극값을 가지며, $f$이 증가하는 곳에서 위쪽 오목입니다. $f$의 그래프에서 이러한 연결 관계를 읽는 것은 전형적인 서술형 문제입니다.

6.6

Applying Properties of Definite Integrals · ⁨정적분의 성질 활용⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.A: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.

FUN-6.A.1 In some cases, a definite integral can be evaluated by using geometry and the connection between the definite integral and area.
FUN-6.A.2 Properties of definite integrals include the integral of a constant times a function, the integral of the sum of two functions, reversal of limits of integration, and the integral of a function over adjacent intervals.
FUN-6.A.3 The definition of the definite integral may be extended to functions with removable or jump discontinuities.

한국어

지속적 이해 (FUN-6): 기하학적 지식과 수학적 규칙을 적용할 기회를 파악하면 적분이 단순화될 수 있다.

학습 목표 FUN-6.A: 면적과 정적분의 성질을 사용하여 정적분을 계산한다.

FUN-6.A.1 일부 경우, 정적분은 기하학적 방법과 정적분 및 면적 간의 관계를 사용하여 계산할 수 있다.
FUN-6.A.2 정적분의 성질로는 상수 times 함수의 적분, 두 함수의 합에 대한 적분, 적분 한계의 반전, 인접한 구간에서 한 함수의 적분이 포함된다.
FUN-6.A.3 정적분의 정의는 제거 가능한 불연속점이나 점프 불연속점이 있는 함수로 확장될 수 있다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Definite integrals obey useful rules: reversing the limits negates the value ($\int_b^a=-\int_a^b$), an integral over a zero-width interval is $0$, they add over adjacent intervals ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), and constants factor out. Use these to combine or split given integral values.

한국어

정적분은 유용한 규칙을 따릅니다: 적분 한계를 뒤집으면 값의 부호가 반대가 됩니다($\int_b^a=-\int_a^b$), 너비가 0인 구간의 적분은 $0$이며, 인접한 구간에서 적분이 합쳐집니다($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), 상수는 outside로 빼낼 수 있습니다. 이를 사용하여 주어진 적분 값을 결합하거나 분리하십시오.

6.7

The Fundamental Theorem of Calculus and Definite Integrals · ⁨미적분학의 기본 정리와 정적분⁩

Syllabus

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
FUN-6 Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.	FUN-6.B Evaluate definite integrals analytically using the Fundamental Theorem of Calculus.	FUN-6.B.1 An antiderivative of a function $f$ is a function $g$ whose derivative is $f$. FUN-6.B.2 If a function $f$ is continuous on an interval containing $a$, the function defined by $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ is an antiderivative of $f$ for $x$ in the interval. FUN-6.B.3 If $f$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $F$ is an antiderivative of $f$, then $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The evaluation form of the FTC computes a definite integral from an antiderivative 原函数 $F$ (where $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

So integrating a rate of change over $[a,b]$ gives the net change in the quantity – the single most-used result in the course.

Worked example. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: an antiderivative is $F(x)=x^2+x$, so the value is $F(3)-F(1)=12-2=10$.

한국어

FTC의 평가(evaluation) 형태는 원시함수(alternative primitive) $F$(여기서 $F'=f$)을 사용하여 정적분을 계산합니다:

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

따라서 $[a,b]$에 대해 변화율을 적분하면 양의 **순 변화(net change)**를 얻게 되는데, 이는 해당 과정에서 가장 많이 사용되는 결과입니다.

해설 예제. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: 원시함수는 $F(x)=x^2+x$이므로, 값은 $F(3)-F(1)=12-2=10$입니다.

정적분은 곡선과 x축 사이의 부호 있는 면적입니다

6.8

Finding Antiderivatives and Indefinite Integrals · ⁨원시함수와 부정적분 찾기⁩

Syllabus

Enduring Understanding	Learning Objective	Essential Knowledge
FUN-6 Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.	FUN-6.C Determine antiderivatives of functions and indefinite integrals, using knowledge of derivatives.	FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ is an indefinite integral of the function $f$ and can be expressed as $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, where $F'(x) = f(x)$ and $C$ is any constant. FUN-6.C.2 Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives. FUN-6.C.3 Many functions do not have closed-form antiderivatives.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

An indefinite integral 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ is the family of all antiderivatives (hence the constant of integration $C$). Reverse each derivative rule: the power rule becomes $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (for $n\neq-1$), with $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, and the antiderivatives of $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\sec^2 x$ come straight from their derivatives.

한국어

부정적분 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$은 모든 원함수들의 집합(즉, 적분 상수 $C$)입니다. 미분 법칙을 역으로 적용하면: 지수 법칙이 $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$($n\neq-1$에 대해)로 변하며, $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$를 더하고, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\sec^2 x$의 원함수는 각각의 미분 결과에서 바로 얻을 수 있습니다.

6.9

Integrating Using Substitution · ⁨치환법을 이용한 적분⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.1 Substitution of variables is a technique for finding antiderivatives.
FUN-6.D.2 For a definite integral, substitution of variables requires corresponding changes to the limits of integration.

한국어

지속적 이해 (FUN-6): 기하학적 지식과 수학적 규칙을 적용할 기회를 파악하면 적분이 단순화될 수 있다.

학습 목표 FUN-6.D: 치환이나 동치 형태로 변형이 필요한 피적분식에 대해: (a) 부정적분을 구한다. (b) 정적분을 계산한다.

FUN-6.D.1 변수 치환은 원함수를 구하기 위한 기법이다.
FUN-6.D.2 정적분에 대해 변수 치환을 할 때는 적분 범위의 대응적인 변경도 필요하다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

u-substitution 换元积分 reverses the chain rule: choose $u=g(x)$ so that $g'(x)$ also appears, turning $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ into $\int f(u)\,du$. Remember to convert $dx$ to $du$ and, for a definite integral, either change the limits to $u$-values or convert back to $x$ at the end.

한국어

u-대입법은 연쇄 법칙의 역연산입니다: $u=g(x)$을 선택하여 $g'(x)$도 포함되어게 하여 $\int f(g(x))g'(x)\,dx$을 $\int f(u)\,du$로 변환합니다. $dx$를 $du$로 변환하는 것을 잊지 말고, 정적분의 경우 적분 한계를 $u$ 값으로 바꾸거나 최종적으로 다시 $x$로 환원해야 합니다.

6.10

Integrating Using Long Division and Completing the Square · ⁨나눗셈과 제곱완성을 이용한 적분⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.D: For integrands requiring substitution or rearrangements into equivalent forms: (a) Determine indefinite integrals. (b) Evaluate definite integrals.

FUN-6.D.3 Techniques for finding antiderivatives include rearrangements into equivalent forms, such as long division and completing the square.

한국어

지속적 이해 (FUN-6): 기하학적 지식과 수학적 규칙을 적용할 기회를 파악하면 적분이 단순화될 수 있다.

학습 목표 FUN-6.D: 치환이나 동치 형태로 변형이 필요한 피적분식에 대해: (a) 부정적분을 구한다. (b) 정적분을 계산한다.

FUN-6.D.3 원함수를 찾는 기법에는 등가 형태로 변형하는 방법이 포함되는데, 이를 위해 나눗셈이나 완전제곱식을 사용하기도 한다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

When a rational integrand is "top-heavy" (numerator degree $\ge$ denominator degree), long division rewrites it as a polynomial plus a proper fraction you can integrate. Completing the square in a denominator turns it into a form like $u^2+a^2$, leading to an arctangent antiderivative $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

한국어

유계 함수가 "분자가 분모보다 차수가 높은"(numerator degree $\ge$ denominator degree) 경우, 나눗셈을 통해 다항식과 적분 가능한 진분수로 재표기할 수 있습니다. 분모에서의 제곱완성은 이를 $u^2+a^2$와 같은 형태로 만들어 아크탄젠트 원함수 $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$를 유도합니다.

6.11

Integrating Using Integration by Parts · ⁨부분적분을 이용한 적분⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.E: For integrands requiring integration by parts: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.E.1 Integration by parts is a technique for finding antiderivatives. BC ONLY

한국어

지속적 이해 (FUN-6): 기하학적 지식과 수학적 규칙을 적용할 기회를 파악하면 적분이 단순화될 수 있다.

학습 목표 FUN-6.E: 부분적분法이 필요한 피적분식에 대해: (a) 부정적분을 구한다. BC 전공자만 (b) 정적분을 계산한다. BC 전공자만

FUN-6.E.1 부분적분法은的原函数(alternative primitive)을 찾는 기법이다. BC 전공자만

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Integration by parts 分部积分 reverses the product rule:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Choose $u$ to simplify when differentiated and $dv$ to be easy to integrate (the LIATE guide: logs, inverse-trig, algebraic, trig, exponential). It handles products like $\int x e^x\,dx$ and $\int x\ln x\,dx$, sometimes applied twice.

Worked example. For $\int x e^x\,dx$, choose $u=x$ ($du=dx$) and $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

한국어

부분적분은 곱의 미분 법칙의 역연산입니다:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

미분했을 때 $u$을 단순화하고 적분하기 쉬운 $dv$을 선택하십시오 (LIATE 가이드: 로그, 역삼각함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수). 이는 $\int x e^x\,dx$나 $\int x\ln x\,dx$과 같은 곱에 적용되며, 때로는 두 번 적용되기도 합니다.

작업 예시. $\int x e^x\,dx$에 대해 $u=x$($du=dx$)과 $dv=e^x\,dx$($v=e^x$)을 선택합니다:

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integrating Using Linear Partial Fractions · ⁨선형 편분수를 이용한 적분⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (FUN-6): Recognizing opportunities to apply knowledge of geometry and mathematical rules can simplify integration.

Learning Objective FUN-6.F: For integrands requiring integration by linear partial fractions: (a) Determine indefinite integrals. BC ONLY (b) Evaluate definite integrals. BC ONLY

FUN-6.F.1 Some rational functions can be decomposed into sums of ratios of linear, nonrepeating factors to which basic integration techniques can be applied. BC ONLY

한국어

지속적 이해 (FUN-6): 기하학적 지식과 수학적 규칙을 적용할 기회를 파악하면 적분이 단순화될 수 있다.

학습 목표 FUN-6.F: 선형 분수 분해法이 필요한 피적분식에 대해: (a) 부정적분을 구한다. BC 전공자만 (b) 정적분을 계산한다. BC 전공자만

FUN-6.F.1 일부有理函数(rational functions)는 기본 적분 기법을 적용할 수 있는 선형의 비반복 인자의 비율들의 합으로 분해될 수 있다. BC 전공자만

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Partial fractions 部分分式 split a rational function with a factorable denominator into a sum of simpler fractions:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

each of which integrates to a logarithm. This technique is essential for the logistic differential equation in the next unit.

한국어

편분수는 인수분해 가능한 분모를 가진 유계 함수를 더 간단한 분수의 합으로 쪼개어 표현합니다:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

각각의 항은 로그함수로 적분됩니다. 이 기법은 다음 단원의 로지스틱 미분방정식에 필수적입니다.

6.13

Evaluating Improper Integrals · ⁨부등적분 평가하기⁩

Syllabus

English

Enduring Understanding (LIM-6): The use of limits allows us to show that the areas of unbounded regions may be finite.

Learning Objective LIM-6.A: Evaluate an improper integral or determine that the integral diverges. BC ONLY

LIM-6.A.1 An improper integral is an integral that has one or both limits infinite or has an integrand that is unbounded in the interval of integration. BC ONLY
LIM-6.A.2 Improper integrals can be determined using limits of definite integrals. BC ONLY

한국어

지속적 이해(LIM-6): 극한의 사용은 무한 영역의 면적이 유한함을 보여줄 수 있음을 입증한다.

학습 목표 LIM-6.A: 부정적분을 계산하거나 적분이 발산함을 판별한다. BC 전공자만

LIM-6.A.1 부적분은 적분 구간 중 하나 이상의 한계가 무한하거나, 적분구간 내에서 피적분함수가 유계하지 않은 적분이다. BC ONLY
LIM-6.A.2 부적분은 정적분의 극한을 사용하여 결정할 수 있다. BC ONLY

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

Improper integrals: converge or diverge

An improper integral 反常积分 has an infinite limit of integration or an infinite discontinuity in the integrand. Evaluate it as a limit: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. If the limit is a finite number the integral converges 收敛; otherwise it diverges 发散.

Worked example. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, so it converges to $1$. By contrast $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ gives $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ and diverges – the same integrand-shape can go either way.

한국어

부등적분: 수렴 또는 발산

부등적분은 적분의 무한한 한계나 피적분 함수의 무한한 불연속점을 가집니다. 이를 한계로 평가합니다: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. 만약 이 한계가 유한한 수이면 적분은 수렴하며, 그렇지 않으면 발산합니다.

해설 예시. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$이므로, 이는 $1$으로 수렴합니다. 반면 $\int_1^\infty \frac1x\,dx$는 $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$을给出하여 발산합니다 – 동일한 피적분 함수 형태임에도 불구하고 수렴과 발산 중 하나일 수 있습니다.

Vocabulary · ⁨어휘⁩ Train · ⁨연습하기⁩

English	한국어
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	부정적분
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	수렴함
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	발산함

6.14

Selecting Techniques for Antidifferentiation · ⁨원적분 기법 선택⁩

Syllabus

English

This topic is intended to focus on the skill of selecting an appropriate procedure for antidifferentiation. Students should be given opportunities to practice when and how to apply all learning objectives relating to antidifferentiation.

한국어

이 주제는 원함수 구法에 적합한 절차를 선택하는 능력에 초점을 맞춘 것이다. 학생들에게 원함수 구法 관련 모든 학습 목표를 언제, 어떻게 적용해야 하는지 연습할 기회가 제공되어야 한다.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨출처: College Board AP Course and Exam Description⁩

English

The BC exam expects you to recognize which method fits: basic rules, substitution (a chain-rule pattern), by parts (a product), partial fractions (a factorable rational), or long division/completing the square. Being able to look at an integral and pick the right tool quickly is itself a tested skill.

한국어

BC 시험에서는 어떤 방법이 적합한지 식별하는 능력을 요구합니다: 기본 규칙, 대입법(연쇄 법칙 패턴), 부분적분(곱의 형태), 편분수(인수분해 가능한 유계 함수), 혹은 나눗셈/제곱완성 등입니다. 적분식을 보고 빠르게 적절한 도구를 선택할 수 있는 것 자체가 시험에 출제되는 기술입니다.

6.14

Exam tips · ⁨시험 팁⁩

English

Integration is antidifferentiation; use the power rule $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ and don't forget the $+C$.
The Fundamental Theorem links the two: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, and $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Approximate a definite integral with Riemann sums or the trapezoidal rule from a table of values.
A definite integral is a signed area (below the axis counts negative); split at sign changes for total area.
Use u-substitution and remember to change the limits (or back-substitute) accordingly.

한국어

적분은 원적분이므로 지수 법칙 $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$을 사용하고 $+C$을 잊지 마십시오.
기본 정리가 두 가지를 연결합니다: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, 그리고 $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
표의 값으로부터 라이만 합이나 사다리꼴 법칙을 사용하여 정적분을 근사하십시오.
정적분은 부호 있는 면적입니다(축 아래는 음수); 전체 면적을 위해 부호 변경 지점에서 분리하십시오.
u-대입법을 사용하고限界를 변경하거나(또는 역대입하여) accordingly 하십시오.

Interactive lessons on this topic · ⁨이 주제에 대한 인터랙티브 수업⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨즉시 체크 기능 exercises를 통해 단계별로 진행하세요.⁩

Past Papers · ⁨과거 시험지⁩

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