Quantum physics

전자기복사는 파동뿐만 아니라 입자처럼 행동합니다. 전자기복사의 입자는 광자이며, 빛의 속도로 이동하는 전자기 에너지의 작은 덩어리(양자)입니다.

"광자의 의미를 서술하시오(2점). 광자는 전자기복사의 양자(이산적 덩어리)인 에너지입니다." 두 부분 모두 점수를 받습니다: 양자 또는 덩어리(또는 "이산적 양")와 전자기복사(또는 "빛")에 대한 설명입니다. "빛의 입자"만으로 충분하지 않습니다. 복사가 이러한 덩어리로 존재한다는 것이 과목에서 말하는 입자성이며, 에너지는 $hf$ 크기의 덩어리로 전달되며 더 작은 조각으로는 전달되지 않습니다.

광자의 에너지

주파수 $f$인 광자의 에너지는

여기서 $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$은 플랑크 상수입니다. $c = f\lambda$을 사용하면:

해설 예시. 파장이 $500\ \text{nm}$인 녹색 빛 광자의 에너지를 구하시오. ($h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$, $c = 3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$.)

고주파(짧은 파장) 광자는 더 많은 에너지를 가집니다: 하나의 $\gamma$-선 광자는 라디오光子보다 훨씬 많은 에너지를 가집니다.

전자볼트

전자볼트(eV)는 원자 규모에서 유용한 에너지 단위입니다:

이는 전자가 전위차 1 V를 이동할 때 얻는 운동에너지입니다. 예를 들어, 가시광선 광자($\lambda \approx 500\ \text{nm}$)의 에너지는 $\approx 2.5\ \text{eV}$입니다. eV → J로 변환하려면 $1.60 \times 10^{-19}$을 곱하고, J → eV로 변환하려면 나눕니다.

전자볼트의 사용. 광자 에너지, 일함수 및 에너지 준위는 모두 몇 eV 수준이므로, 시험에서는 이를 eV로 제시하며 단위를 쉽게 변환할 것을 요구합니다: $2.0\ \text{eV}$ 일함수는 $2.0 \times 1.60 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19}\ \text{J}$이며, $4.0 \times 10^{-19}\ \text{J}$ 광자는 $2.5\ \text{eV}$입니다. 파장에 대한 유용한 shortcuts: $hc = 1.99 \times 10^{-25}\ \text{J m} = 1240\ \text{eV nm}$이므로, $2.0\ \text{eV}$ 광자는 $\lambda = 1240/2.0 = 620\ \text{nm}$(빨강)이고, $400\ \text{nm}$ 광자는 $3.1\ \text{eV}$의 에너지를 가집니다.

광자의 운동량

광자는 운동량도 가집니다:

정지 질량은 0이지만 비영역 운동량 $E/c$를 가집니다. 이로부터 복사압(표면을 밀어내는 광자)이 유도됩니다.

"$p = h/\lambda$임을 보이시오." 두 광자 관계식 $E = hf$과 $p = E/c$에서 시작합니다. 그러면 $p = hf/c$이 되며, $c = f\lambda$이므로 $f/c = 1/\lambda$, 따라서 $p = h/\lambda$입니다. 두 시작 식과 파동 방정식을 모두 제시하십시오. 점수는 결과물이 아닌 추론 과정에 주어집니다.

해설 예제. 자유 공간에서의 광자가 운동량 $9.5 \times 10^{-28}\ \text{N s}$를 가짐을 보였습니다. 이것이 빨간색 빛의 광자임을 증명하십시오.

$\lambda = h/p = 6.63 \times 10^{-34}/9.5 \times 10^{-28} = 7.0 \times 10^{-7}\ \text{m} = 700\ \text{nm}$로, 가시광 스펙트럼의 빨강 쪽 끝에 위치하며($400$–$700\ \text{nm}$), 에너지는 $pc = 2.9 \times 10^{-19}\ \text{J} = 1.8\ \text{eV}$입니다.

복사압. 강도 $I$(단위 면적당aces)의 빔이 면적 $A$에 입사할 때, 초당 $IA/(hf)$개의 광자가 방출되며 각 광자는 운동량 $h/\lambda$을 가집니다. 힘은 운동량의 변화율입니다. 거울 위에서는 각 광자가 반사되므로 운동량이 $2p$만큼 변하고, 힘은 $F = 2IA/c$(압력 $2I/c$)가 됩니다. 검정색 표면에서는 각 광자가 흡수되므로 운동량 변화는 $p$이며, 압력은 $I/c$입니다. 두 가지 결론이 도출되며, 둘 다 검토됩니다: 압력은 색이 아닌 강도에만 의존합니다. 동일한 강도의 파란빛은 초당 광자 수는 적지만 각 광자가 비례적으로 더 큰 운동량을 가져서입니다. 또한 태양광($I \approx 1\ \text{kW m}^{-2}$)조차 수 마이크로파스(mmPa) 정도의 압력만 발생시킵니다.

해설 예제. 강도 $160\ \text{W m}^{-2}$의 빨간 빛이 평면 거울에 수직으로 입사합니다. 각 광자의 운동량은 $9.5 \times 10^{-28}\ \text{N s}$입니다. 초당 거울 $1.0\ \text{m}^{2}$ 면적에 도달하는 광자의 수와 거울에 가해지는 압력을 구하십시오.

광자 에너지 $E = pc = (9.5 \times 10^{-28})(3.00 \times 10^{8}) = 2.85 \times 10^{-19}\ \text{J}$. $1.0\ \text{m}^{2}$ 면적당 초당 광자 수: $160/2.85 \times 10^{-19} = 5.6 \times 10^{20}\ \text{s}^{-1}$. 모든 광자가 반사되므로, 힘은 $F = 5.6 \times 10^{20} \times 2 \times 9.5 \times 10^{-28} = 1.1 \times 10^{-6}\ \text{N}$입니다. 면적 $1.0\ \text{m}^{2}$에서의 압력은 $1.1 \times 10^{-6}\ \text{Pa}$입니다(검산: $2I/c = 320/3.00 \times 10^{8} = 1.1 \times 10^{-6}\ \text{Pa}$). 같은 강도의 파란빛으로 빔을 교체하면 압력은 변하지 않습니다.

해설 예시. 파장 $2.0\ \text{mW}$인 레이저가 $650\ \text{nm}$의 빛을 방출한다. 이 레이저가 초당 방출하는 광자의 수와 빔을 완전히 흡수하는 표면에 가해지는 힘을 구하시오.

$E = hc/\lambda = (6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^{8})/(650 \times 10^{-9}) = 3.06 \times 10^{-19}\ \text{J}$이므로, 속도는 $P/E = 2.0 \times 10^{-3}/3.06 \times 10^{-19} = 6.5 \times 10^{15}\ \text{s}^{-1}$입니다. 힘은 초당 전달되는 운동량입니다: $F = P/c = 2.0 \times 10^{-3}/3.00 \times 10^{8} = 6.7 \times 10^{-12}\ \text{N}$ (또는 $6.5 \times 10^{15} \times h/\lambda$, 동일한 의미).

주파수가 충분히 높은 전자기파가 금속에 닿으면 전자들이 방출됩니다. 이를 광전자라 하며, 이 현상을 광전 효과라고 합니다.

"광전 효과의 의미를 서술하시오." 주파수가 충분히 높은 전자기파가 입사할 때 금속(표면)에서 전자들이 방출되는 현상. 2점 만점: 전자들의 방출 및 전자기파를 쬐는 금속 표면으로부터(또는 "빛을 비추었을 때")라는 조건입니다. 이는 커리큘럼이 제시한 복사의 입자적 성질에 대한 증거입니다. 왜냐하면 파동으로는 아래 현상을 설명할 수 없기 때문입니다.

임계 주파수와 일함수

모든 금속에는 가장 낮은 광자 주파수인 임계 주파수 $f_{0}$이 있습니다. 이보다 낮으면 빛이 아무리 밝아도 전자들은 전혀 나오지 않습니다. 일함수 $\Phi$는 표면의 전자를 해방시키는 데 필요한 최소 에너지입니다:

금속마다 다른 일함수를 가지며(대략 $2$–$5\ \text{eV}$).

2점 만점 정의. 금속의 일함수 에너지란 금속 표면의 전자를 제거하는 데 필요한 최소 에너지이다. '최소(minimum)'와 '표면(surface)로부터'라는 표현은 모두 점수를 받습니다. 금속 내부 깊은 곳의 전자를 빼내려면 더 많은 에너지가 필요하므로, 이 식은 최대 운동 에너지를 산출하기 때문입니다. 임계 주파수는 광전자가 방출되는 복사의 최소 주파수이며, 임계 파장 $\lambda_{0} = c/f_{0} = hc/\Phi$은 이에 대응하는 최대 파장입니다. 더 긴 파장은 아무런 영향을 주지 못합니다.

해설 예시. 파장이 $400\ \text{nm}$인 빛이 일조 $2.1\ \text{eV}$, 나트륨 $2.3\ \text{eV}$, 아연 $4.3\ \text{eV}$, 백금 $5.6\ \text{eV}$의 일함수를 가진 네 가지 금속에 입사한다. 어떤 금속에서 광전자가 방출되며, 최대 운동에너지는 얼마인가?

광자 에너지는 $hc/\lambda = 1240/400 = 3.1\ \text{eV}$입니다. 방출에는 $hf \geq \Phi$ 이상의 에너지가 필요하므로, 세슘($3.1 - 2.1 = 1.0\ \text{eV}$)과 나트륨($0.8\ \text{eV}$)이 광전자를 방출합니다. 아연과 백금은 빛의 세기가 얼마나 강해도 광전자를 방출하지 못합니다. 아연이 광전자를 방출하려면 파장이 $\lambda_{0} = 1240/4.3 = 290\ \text{nm}$ 이하로 짧아져야 하므로 자외선 영역이어야 하며, 이것이 정전기계 실험에서 아연에 UV 램프를 사용해야 하는 이유입니다.

해설 예제. 진공 상태의 광택 마그네슘 판은 자외선 주파수가 최소 $8.8 \times 10^{14}\ \text{Hz}$일 때만 전자를 방출합니다. 이 판에 주파수 $1.2 \times 10^{15}\ \text{Hz}$의 빛이 비춰질 때, 일함수와 광전자의 최대 속도를 구하십시오.

$\Phi = hf_{0} = (6.63 \times 10^{-34})(8.8 \times 10^{14}) = 5.8 \times 10^{-19}\ \text{J}$ ($3.6\ \text{eV}$). 그러면 $\tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2} = h(f - f_{0}) = (6.63 \times 10^{-34})(1.2 \times 10^{15} - 8.8 \times 10^{14}) = 2.1 \times 10^{-19}\ \text{J}$이므로 $v_{\text{max}} = \sqrt{2 \times 2.1 \times 10^{-19}/9.11 \times 10^{-31}} = 6.8 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$이다. $h$를 곱하기 전에 주파수를 빼야 하며, $hf$과 $\Phi$을 개별적으로 반올림하면 작은 차이에서 유효숫자 하나가 손실된다.

아인슈타인의 광전 효과 방정식

하나의 광자가 모든 에너지를 하나의 전자에게 전달합니다. 만약 광자 에너지 $hf$가 일함수보다 크다면, 전자는 최대 운동 에너지를 가져서 탈출할 수 있습니다:

해설 예제. 일함수가 $2.0\ \text{eV}$인 금속에 에너지 $3.5\ \text{eV}$의 광자로 구성된 빛이 비춰질 때, 광전자의 최대 운동 에너지를 구하십시오.

따라서 광전자의 최대 운동 에너지는 밝기가 아닌 주파수에 선형적으로 의존합니다.

그래프 읽기. 수식을 $E_{\text{K,max}} = hf - \Phi$로 쓰십시오: 기울기 $h$, 에너지 축에서의 절편 $-\Phi$, 주파수 축에서의 절편 $f_{0} = \Phi/h$인 직선입니다. 따라서 두 금속에 대한 그래프는 두 평행한 선(모든 금속에 대해 동일한 기울기 $h$)을 보여줍니다. 일함수가 더 큰 금속이 주파수 축을 오른쪽으로 더 멀리 절단하며, 빛의 세기는 어느 선도 이동시키지 않습니다. 이것이 플랑크 상수를 측정하는 방법이며, "금속 Y에 대한 선을 스케치하시오"라는 질문은 정확히 이 두 가지 특징에 대해 평가합니다.

최대 운동 에너지 측정하기. 광전자 회로에서 광전자는 진공을 넘어 수집판으로 이동하며, 전류는 초당 전자 수의 계수입니다. 수집판을 음성으로 만들고, 전자가 전위 경사를 올라가게 하며, 역 전압을 높여 전류가 정확히 0이 되는 정지 전위 $V_{\text{s}}$에 도달할 때까지 올린 후, $eV_{\text{s}} = E_{\text{K,max}}$를 구합니다. 두 가지 결과가 모두 검토됩니다: 고정된 주파수에서 세기를 배로 늘리면 낮은 역 전압에서 전류가 배가 되지만, $V_{\text{s}}$는 변하지 않습니다. 주파수를 높이면 $V_{\text{s}}$이 증가하지만, 고정된 세기에서는 전류가 증가하지 않습니다.

파동 모델의 실패 이유

파동 모델은 밝기가 전자의 운동 에너지를 결정해야 하고, 충분한 시간이 주어진다면 어떤 주파수에서도 방출이 일어나야 한다고 예측합니다. 그러나 실험 결과는 다음과 같습니다:

• 임계 주파수 이하에서는 발광이 일어나지 않으며, 빛의 세기가 아무리 강해도 마찬가지다.
• 임계 주파수 이상에서는 즉시 발생, 어둡더라도.
• 최대 KE는 밝기가 아닌 주파수에 의존합니다.
• 광전자 수(전류)는 밝기에 의존합니다.

광자 모델은 이를 설명합니다: 빛은 에너지가 $hf$인 광자로 도착합니다. 하나의 광자-전자 상호작용은 전자를 방출할 충분한 에너지가 있거나($hf \geq \Phi$) 그렇지 않거나 둘 중 하나입니다.

왜 최대 KE는 일정하지만 전류는 밝기에 따라 증가하는가

주파수가 같은 더 밝은 광선일수록 초당 광자 수가 많지만, 각 광자가 STILL $hf$를 운반합니다. 따라서 모든 전자의 최대 운동에너지(KE)는 $hf - \Phi$이며, 이는 오직 $f$에 의해 결정됩니다. 방출 속도(전류)는 광자 수, 즉 밝기에 비례하여 증가합니다. 밝기를 두 배로 늘리면 전류도 두 배가 되지만 최대 운동에너지는 변하지 않습니다.

해설 작성 (표준 3점 문제). (1) 각 광자는 한 개의 전자와 상호작용하며 자신의 에너지를 모두 전달합니다. (2) 광자의 에너지 $hf$는 주파수에만 의존하므로, 전자가 가져갈 수 있는 최대 에너지 $hf - \Phi$는 주파수에 의해 고정됩니다. (3) 같은 주파수에서 강도를 높이면 초당 광자 수가 늘어나 초당 방출되는 전자 수도 증가(전류 증가)하지만, 각 전자가 받는 에너지는 동일합니다. 반면 파동이라면 에너지를 표면 전체에 퍼뜨리므로 더 밝은 파동은 더 빠른 전자를, 어두운 파동은 에너지 축적을 위해 지연이 필요할 것입니다. 그러나 이러한 현상은 발생하지 않습니다.

광전 효과는 빛의 입자 nature에 대한 강력한 증거입니다. 그러나 간섭(Young의 이중 슬릿, 회절 격자)과 회절은 빛의 파동 nature을 보여줍니다. 따라서 빛은 파동과 입자의 양쪽 성질을 가집니다 — 이를 파동-입자 이중성이라고 합니다.

"파동-입자 이중성의 의미를 서술하시오" (2점). 전자기파(및 물질)는 간섭 및 회절과 같은 파동 특성, 그리고 광전 효과(또는 물질의 경우 이산적 충돌)와 같은 입자 특성을 모두 나타낼 수 있습니다. 각 radiation의 한 nature에 대한 한 가지 증거를 요구할 때, 입자성에는 광전 효과(임계 주파수 및 즉시 방출); 파동성에는 회절 또는 간섭(Young의 슬릿, 회절 격자)을 제시하십시오. 물질에 대해서는 파동 증거는 전자 회절입니다.

드브로이 가설

파동이 입자처럼 행동할 수 있다면, 아마도 입자가 파동처럼 행동할 수도 있습니다. 드브로이는 이동하는 모든 입자에 드브로이 파장이 있다고 제안했습니다:

여기서 $p = mv$. 예: $v = 4.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ 속의 전자는 $p = 4.46 \times 10^{-23}\ \text{kg m s}^{-1}$를 가지므로, $\lambda = 1.49 \times 10^{-11}\ \text{m} \approx 0.015\ \text{nm}$ — 원자 간격과 유사합니다.

"드브로이 파장의 의미를 서술하시오." 움직이는 입자와 관련된 파장 또는 운동량 $p$인 입자에 associate된 파동의 파장으로, $\lambda = h/p$로 주어지며, 여기서 $h$는 플랑크 상수이다. '공식을 서술하고 다른 기호의 의미를 설명하시오'라는 질문에서는 $h$를 플랑크 상수, $p$를 입자의 운동량이라고 명시한다. 파장이 작게 보이는 이유는 $h$가 작기 때문이다: $0.10\ \text{kg}$ 공이 $10\ \text{m s}^{-1}$ 속도로 움직일 때 $\lambda = 6.6 \times 10^{-34}\ \text{m}$를 가지는데, 이는 어떤 슬릿이나 격자 간격보다 훨씬 작아 일상적인 물체에서는 회절 현상이 관찰되지 않는다.

전자 회절

전자들이 결정 격자(예: 얇은 graphit)에 입사하면, 스크린 위에 밝은 고리 형태의 회절 패턴을 형성합니다. 이는 파장이 $\lambda = h/p$인 파파가 나타낼 것과 정확히 일치합니다. 이는 입자의 파동성(전자 회절)에 대한 직접적인 증거입니다: 회절은 오직 파동에서만 일어나지만, 전자는 회절을 일으킵니다.

더 빠른 전자는 운동량이 커지므로, 짧아진 드브로이 파장을 가지며, 회절 정도가 줄어듭니다—고리들이 서로 더 가까이 모입니다. 전자를 느리게 하면 고리들이 벌어집니다. 계산하는 방법: $p = \sqrt{2 m E_{\text{K}}}$이며, p.d. $V$로 가속된 전자에 대해, $E_{\text{K}} = eV$이므로 $\lambda = h/\sqrt{2m_{e} e V}$입니다.

*graphit 입자에 투사된 전자는 고리 회절 패턴을 형성합니다—회절은 오직 파동에서만 일어나므로, 전자는 파동처럼 행동합니다

해설 예제. 한 전자가 정지 상태에서 p.d. $2500\ \text{V}$로 가속됩니다. 이 전자의 드브로이 파구를 구하십시오. ($m_{e} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}$.)

그 전자의 운동 에너지는 $E_{\text{K}} = eV$이므로, $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2 m_{e} e V}}$:

이 값은 결정 내 원자 사이의 간격과 유사하므로, 전자가 graphit에서 회절하는 이유입니다.

가속된 전자에 대한 $\lambda$ 도출법. 질량 $m$과 전하 $q$를 가진 전자가 정지 상태에서 p.d. $V$로 가속되면서 운동 에너지 $qV = \tfrac{1}{2}mv^{2}$를 얻으므로, $v = \sqrt{2qV/m}$이고 $p = mv = \sqrt{2mqV}$; 따라서 $\lambda = h/\sqrt{2mqV}$입니다. 시험에서 요구하는 두 가지 결과: 증가시키는 $V$은 운동량을 증가시키고 파장을 단축시키므로, 회절 고리가 중심으로 수축합니다; 파구를 반으로 줄이려면 p.d.를 네 배로 늘려야 합니다.

전자 회절 설명 (4점). (1) 가열된 필라멘트에서 나오는 전자는 높은 전위차(p.d.)를 통해 가속되어 빔을 형성한다. (2) 이 빔이 얇은 다결정 graphite 필름에 도달하며, 탄소 원자의 규칙적인 간격인 약 $10^{-10}\ \text{m}$가 회절 격자 역할을 한다. (3) 형광판 위에서 전자는 중앙에 밝은 점이 있고 그 주변에 동심원형의 고리를 만든다. (4) 고리는 회절 무늬이며, 회절은 파동의 성질이므로 전자가 파동처럼 행동함을 의미하며, 고리의 반지름은 파장 $h/p$와 일치하여 드브로이 관계식을 확인시켜 준다. 패턴을 고리로 스케치하고, 점이나 간섭 무늬로 그리지 말라. 더 빠른 빔은 더 작은 반지름의 고리를 생성한다.

고립된 원자 내에서 전자는 특정 이산적 에너지 준위에만 존재할 수 있으며, 그 사이에는 존재할 수 없습니다. 가장 낮은 준위는 기저 상태이며, 나머지는 여기 상태입니다.

관례상 에너지는 음수로 표기되며, 전자가 원자로부터 완전히 분리되었을 때를 $E = 0$로 합니다. 수소 원자의 경우 기저 상태는 $E_{1} = -13.6\ \text{eV}$이며, 높은 준위는 0에 가까워집니다.

*수소의 전자 에너지 준위는 이산적이고 음수이며, 기저 상태는 $-13.6\ \text{eV}$입니다

방출 스펙트럼

전자가 높은 준위 $E_{2}$에서 낮은 준위 $E_{1}$로 떨어질 때, 하나의 광자를 방출합니다.

(두 에너지 모두 음수이지만, 그들의 차이는 양수입니다.) 준위가 이산적이므로, 특정 에너지의 광자—즉 특정 파장만 방출됩니다. 방출 스펙트럼은 어두운 배경 위에 있는 날카로운 밝은 선들의 집합으로, 각 전이마다 한 줄씩 있습니다. 이 패턴은 해당 원소의 '지문'과 같습니다.

선 스펙트럼 설명 (표준 4점). (1) 고립된 원자의 전자들은 이산적 에너지 준위에만 존재할 수 있습니다. (2) 여기 상태의 전자가 낮은 준위로 떨어지며 잃은 에너지를 하나의 광자로 방출합니다. (3) 광자 에너지는 두 준위의 차이, 즉 $hf = E_{2} - E_{1}$과 같으므로, 특정 주파수(파장)만 방출됩니다. (4) 가능한 각 전이는 하나의 선을 줍니다; 동일한 준위 세트는 매번 동일한 선을 제공하므로, 스펙트럼이 원소를 식별하는 데 사용됩니다. 선을 전이와 매칭하라고 요청받았을 때: 가장 큰 에너지 간격은 최고 주파수와 가장 짧은 파장을 가진 선을 생성합니다.

*수소의 방출 스펙트럼은 어두운 배경 위에 있는 날카로운 밝은 선들의 집합입니다

*원소의 실제 방출 스펙트럼: 각각 밝은 선들의 고유한 집합으로, 해당 원소의 지문과 같습니다

흡수 스펙트럼

백색광이 차가운 기체를 통과할 때, 상승 전이에 정확히 일치하는 에너지를 가진 광자들은 흡수됩니다. 이때 빛은 밝은 배경 위에 어두운 선을 보이며, 이것이 흡수 스펙트럼입니다. 이 어두운 선들은 같은 기체의 방출 선과 동일한 파장에 위치합니다.

어두운 선에 대한 설명. 두 에너지 준위의 차이와 동일한 에너지를 가진 광자는 흡수되어 전자를 높은 준위로 올린다; 여기된 전자는 곧 다시 떨어져 동일한 에너지를 가진 광자를 재방출하지만, 랜덤한 방향으로 방출되므로 거의 해당 빛이 원래 경로를 계속 진행하지 못한다. 나머지 백색광 중 광자가 갭에 맞지 않는 것은 그대로 통과한다. 따라서 같은 기체가 방출할 정확한 파장에 정확히 어두운 선이 나타난다: 태양 스펙트럼은 외층의 차가운 기체의 흡수선을 보여준다.

계산

두 알려진 준위 간의 전이에 대해:

단위를 일관되게 사용하십시오. eV를 줄(J)로 변환(× $1.60 \times 10^{-19}$)한 후 미터 단위의 $\lambda$을 구하거나, 빠르게 추정하려면 $hc \approx 1240\ \text{eV nm}$을 사용하십시오.

해설 예제. 수소의 네 가지 낮은 에너지 준위는 $-13.6$, $-3.40$, $-1.51$ 및 $-0.85\ \text{eV}$입니다. 기저 상태로의 전이에 의해 생성되는 세 선의 파장과 이 네 준위가 총 몇 개의 선을 생성할 수 있는지 구하십시오.

전이 $2 \to 1$: $\Delta E = 13.6 - 3.40 = 10.2\ \text{eV}$, 따라서 $\lambda = 1240/10.2 = 122\ \text{nm}$. $3 \to 1$: $12.09\ \text{eV}$, $\lambda = 103\ \text{nm}$. $4 \to 1$: $12.75\ \text{eV}$, $\lambda = 97.3\ \text{nm}$: 모두 자외선 영역이며, 가장 큰 에너지 전이가 가장 짧은 파장을 만듭니다. 네 개의 에너지 준위는 $4 \to 3$, $4 \to 2$, $4 \to 1$, $3 \to 2$, $3 \to 1$ 및 $2 \to 1$로 이어질 수 있으므로 여섯 개의 스펙트럼 선이 생성됩니다. 수소의 가시광선 적색 선은 $3 \to 2$입니다: $1.89\ \text{eV}$, $656\ \text{nm}$. (줄 단위로 계산할 때: $10.2\ \text{eV} = 1.63 \times 10^{-18}\ \text{J}$, $\lambda = hc/E = 1.99 \times 10^{-25}/1.63 \times 10^{-18} = 1.22 \times 10^{-7}\ \text{m}$.)

해설 예제. 한 레이저는 전자가 한 준위에서 다른 준위로 떨어질 때 파장 $650\ \text{nm}$의 빨간 빛을 방출합니다. 두 준위 사이의 에너지 간격(Energy gap)을 구하십시오.

$\Delta E = hc/\lambda = 1240/650 = 1.91\ \text{eV} = 3.1 \times 10^{-19}\ \text{J}$. 간격이 아니라 어느 준위인지가 색상을 결정합니다: 다른 준위를 가지지만 동일한 간격을 가진 두 원자는 동일한 선을 방출합니다.

해설 예제(소멸). 느리게 움직이는 전자와 양성자(positron)가 만나 소멸하여 동일한 두 광자를 생성합니다. 각 광자의 파장을 구하십시오. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

각 입자의 정지 에너지는 $E = mc^{2} = (9.11 \times 10^{-31})(3.00 \times 10^{8})^{2} = 8.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$($0.51\ \text{MeV}$)이며, 운동량 보존 법칙에 따라 에너지가 반대 방향으로 이동하는 두 광자 사이에 나누어지므로 각 광자는 $8.2 \times 10^{-14}\ \text{J}$를 운반한다: $\lambda = hc/E = 1.99 \times 10^{-25}/8.2 \times 10^{-14} = 2.4 \times 10^{-12}\ \text{m}$, 감마선. (쌍이 가지고 있던 임의의 운동에너지는 광자의 에너지에 추가된다.)

정의 문제는 고정된 문구로 채점합니다. 이 내용들을 정확히 외우고, 답은 하나만 제시하십시오.

• 광자: $E = hf = hc/\lambda$, $p = E/c = h/\lambda$. eV 단위의 파장과 에너지를 변환하기 위해 $hc = 1240\ \text{eV nm}$을 사용하고, 답이 요구할 때만 줄로 변환하십시오.
• 광전 방정식 $hf = \Phi + \tfrac{1}{2}mv_{\text{max}}^{2}$: 최대 에너지,光子-to-electron(하나의 광자로 하나의 전자); $E_{\text{K,max}}$에 대한 $f$ 그래프의 기울기는 $h$이며 절편은 $f_{0}$와 $-\Phi$입니다.
• 강도는 초당 광자 수(전류)를 변화시키고, 주파수는 각 광자의 에너지(최대 운동 에너지)를 변화시킵니다. 이 두 문장을 구분하면 모든 설명이 자연스럽게 쓰입니다.
• 증거: 입자를 위한 광전 효과, 파동을 위한 회절 및 간섭; 물체의 파동 특성에 대한 전자 회절, $\lambda = h/p = h/\sqrt{2mqV}$ 포함.
• 선 펙트럼: 불연속적인 준위, 전이마다 하나의 광자, $hf = E_{2} - E_{1}$; 가장 큰 간격이 가장 짧은 파장을 만듭니다; 흡수 선은 발광 선이 있었을 위치에 존재하는데, 이는 흡수된 빛이 모든 방향으로 재방출되기 때문입니다.
• 복사압력: 초당 $=$ 광자 당 $\times$ 운동량 변화에 해당하는 힘; 거울의 경우 $2p$, 흡수체의 경우 $p$; 압력은 세기에 의존하지만 색에는 의존하지 않는다.

흔한 실수

• 광자를 '빛의 입자'라고 정의하되 '양자/에너지 패킷'이라는 표현을 생략하거나, 일함수를 '최소' 및 '표면으로부터'라는 조건 없이 정의하는 경우.
• 더 밝은 빛이 더 빠른 광전자를 생성한다고 하거나, 한계 주파수 이하에서도_ERR Eventually 발현된다고 주장함.
• 하나의 식에서 eV와 줄(J)을 혼용함; 일함수를 빼지 않음; eV 단위의 최대 운동에너지에 $\tfrac{1}{2}mv^{2}$를 사용함.
• 가속된 전자의 드브로이 파장을 $h/(mv)$으로 작성하되, $v$을 추측하고 대신 $h/\sqrt{2mqV}$을 사용함.
• 전자 회절을 밝은 무늬나 점이라고 묘사함; 패턴은 원형 링이며, 높은 전위차는 이를 작게 만듭니다.
• 전이의 방향을 잘못 파악함: 발광은 낮은 준위로의 낙하이고, 흡수는 높은 준위로의 상승임; 광자 에너지는 차이이지, 단일 준위의 에너지가 아님.
• 가장 큰 에너지 간격이 가장 긴 파장을 산출한다고 주장함.
• 반사된 광자의 운동량 변화가 $2p$임을 잊거나, 동일한 강도의 청색 빛의 압력이 적색 빛과 동일함을 잊음.