고등 순수 수학 2

케이블에는 적절한 곡선이 필요함

단위 길이당 균일한 무게를 가진 자유롭게 매달린 유연한 체인은 중력 하에서 **카테나리(catenary)**를 형성한다. 이 형태는 쌍곡선 함수를 사용한다. 이동 및 확대된 모델은 $y=a\cosh((x-h)/a)+k$이며, $a>0$이다. 그 최저점은 $(h,a+k)$이다. $\cosh x$의 그래프는 표준화된 예제이며, 일반적인 매달린 체인이 반드시 $(0,1)$을 지나갈 필요는 없다.

지수함수로부터 여섯 가지 함수를 모두 구성하라

지수함수 식은 $e^x>0$을 사용한다. 다음과 같이 정의한다.

세 가지 **역함수(reciprocals)**는 다음과 같다.

합 $e^x+e^{-x}$은 항상 양수이다. 차이는 오직 $x=0$에서만 0이다. 따라서 sinh, cosh, tanh, sech는 모든 실수 입력에 대해 정의되며, cosech와 coth는 0을 제외한다.

작은 예제. $x=\ln2$에서 두 지수함수는 $2$과 $1/2$이다. 따라서 $\sinh x=3/4$, $\cosh x=5/4$, $\tanh x=3/5$가 된다. 역함수 값은 $\operatorname{cosech}x=4/3$, $\operatorname{sech}x=4/5$, $\coth x=5/3$이다. 0에서 sinh와 tanh는 0이며, cosh와 sech는 1이고, cosech와 coth는 정의되지 않는다.

도메인, 치역 및 극한 선을 스케치하라

도메인은 허용된 입력을 나열하고, 치역은 실제로 도달하는 출력을 나열한다. 절편, 대칭성 및 **점근선(asymptotes)**을 사용하여 완전한 스케치를 그리라.

• sinh는 홀함수이며 $(0,0)$을 지나 증가한다. 그 값의 범위는 모든 실수이다. 수평 점근선은 없다.
• cosh는 우함수이다. $(0,1)$까지 감소한 후 증가한다. 최소값에 의해 값의 범위는 $[1,\infty)$이며, x절편이나 수평 점근선은 없다.
• tanh는 홀함수이며 $(0,0)$을 지나 증가한다. 그 값의 범위는 $(-1,1)$이다. 수평 점근선 $y=-1$과 $y=1$은 도달되지 않는다.

역함수 그래프에 대해:

• sech는 우함수이며, 모든 실수 입력에 대해 양수인 값을 가진다. 최대값은 $(0,1)$, 값의 범위는 $(0,1]$, 수평 점근선은 $y=0$이다.
• cosech는 홀함수이며, 수직 점근선이 $x=0$이고 수평 점근선이 $y=0$이다. 값의 범위는 $\mathbb R\setminus\{0\}$이다. 각 개별 분지(브랜치)는 감소한다.
• 코타는 홀함수이며, 수직 점근선 $x=0$을 가진다. $x\to\infty$일 때 $1$에, $x\to-\infty$일 때 $-1$에 접근한다. 치역은 $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$이며, 각 분기에서 감소한다.

지정된 시작점에서 항등식 증명하기

항등식은 변수의 모든 허용된 값에 대해 참이다. 지수 제곱을 전개하면 다음과 같다.

$\cosh^2x>0$으로 나누면 $1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$이 된다. $\sinh^2x$으로 나누면 $x\ne0$에 대해 $\coth^2x-\operatorname{cosech}^2x=1$이 된다. 제한 조건은 여전히 항등식의 일부로 남는다.

질문에 지수 정의가 필요할 경우, 유도된 항등식을 인용하는 대신 해당 정의부터 시작하라. 한쪽에서 시작하여 전체 과정 동안 동일한 변수를 유지하라.

풀이 예시. 정의에서 시작하여,

분모는 모든 실수 $u$에 대해 0이 아니다. 결과를 인용하여 그 자체를 증명하려는 것은 순환 논리가 된다.

합동 공식과 이중각 결과 도출하기

지수 함수의 정의를 곱하면

예를 들어, cosh 공식의 우변은

이는 $\cosh(u+v)$의 정의이다. 혼합항이 상쇄된다. 차수 공식을 위해 $v$을 $-v$으로 교체하며, sinh가 홀함수이고 cosh가 짝함수임을 이용한다.

두 인자를 모두 $x$으로 두면

cos의 합동 공식과 달리, cosh의 합동 공식은 두 항의 곱 사이에 더하기 부호가 있습니다.

방정식을 풀고 두 교점 모두 확인하기

항등식을 사용하여 방정식을 sinh 또는 cosh에 대한 다항식으로 줄인다. 대신 $t=e^x>0$을 대입하고 0이 아닌 분모를 정리한 후 $t$에 대해 풀고, 치역 범위를 벗어난 근을 버려라.

풀이 예제. $\cosh2x=4\sinh^2x$을 푼다. $\cosh2x=1+2\sinh^2x$이므로,

두 부호 모두 유효하다. 아래 역함수를 사용하면

두 곡선 모두 even이며, 두 교점 모두 높이 $2$이다. 최소값은 다르다: $\cosh2x$는 $(0,1)$이고, $4\sinh^2x$는 $(0,0)$이다. 이는 공통 축 스케치 확인에 도움이 된다.

다른 치환법. $2\cosh x+3\sinh x=1$에 대해 $t=e^x>0$을 대입한다. 방정식은 다음과 같다:

근은 $(1\pm\sqrt6)/5$이지만, 양수 선택지만 양수이다. 따라서 $x=\ln((1+\sqrt6)/5)$. 실수 $x$에 대해 음의 이차방정식 근은 $e^x$과 같을 수 없다.

공식 도출 전에 역함수를 정의하기

역함수는 일대일 함수의 반대로 작용한다. 그 그래프는 $y=x$에 대해 대칭되어 정의역과 값역을 바꾼다. 쌍곡선 역함수는 로그 형식으로 표현할 수 있다.

sinh는 모든 실수 입력에서 일대일이다. tanh는 일대일이며, 값역은 $(-1,1)$이다. cosh는 **주 가지(Principal branch)**가 필요하다: 원본 입력을 0 이상으로 선택하라. 따라서 $\cosh^{-1}x$은 입력 $x\ge1$를 받아 출력 $\ge0$을 준다.

기호 $\sinh^{-1}x$는 sinh의 역함수를 의미하며, $1/\sinh x$이 아니다. 또한, 실수 $x$에 대해 $\cosh^{-1}(\cosh x)=|x|$입니다. 음의 원본 입력은 비음의 주 역함수로 반환될 수 없다.

양의 지수함수를 통해 역 sinh 유도하기

$y=\sinh^{-1}x$라고 합시다. 그러면 $x=(e^y-e^{-y})/2$입니다. $t=e^y>0$를 대입하면:

$\sqrt{x^2+1}>|x|$이므로 양근만 양수입니다. 따라서

$x<0$일 때에도 로그의 피연산자는 양수입니다. 예를 들어, $\sinh^{-1}(-3/4)=\ln(1/2)=-\ln2$입니다. 역 sinh의 범위는 모든 실수입니다.

가지 조건을 포함하여 역 cosh 유도하기

$y=\cosh^{-1}x\ge0$라고 합시다. 그러면 $x\ge1$이며 $t=e^y\ge1$입니다. 이 이차방정식은

$x>1$인 경우 두 근은 모두 양수이지만, 음근은 $1$보다 작습니다. 이는 음수 $y$를 주므로 선택한 가지의 범위를 벗어납니다. $x=1$에서는 두 근이 모두 $1$와 같습니다. 따라서

$x=5/4$일 때 역함수 값은 $\ln2$입니다. 반면, 전체 방정식 $\cosh y=5/4$는 $y=\pm\ln2$를 가집니다. 더 일반적으로, $\cosh y=k$는 $k<1$에 대해 실수 해가 없으며, $k=1$에는 하나, $k>1$에는 두 개의 해를 가집니다.

열린 구간에서 역 tanh 유도하기

$y=\tanh^{-1}x$라고 합시다. 여기서 $-1<x<1$입니다. 지수함수 정의를 $e^y/e^y$로 곱하면 다음과 같습니다:

이 구간에 걸쳐 $1+x$와 $1-x$는 모두 양수입니다. 양변에 로그를 취하면

예를 들어, $\tanh^{-1}(3/5)=\tfrac12\ln4=\ln2$입니다. 역함수는 모든 실수 출력을 가지지만, 입력값 $\pm1$는 제외됩니다. 도달하지 못한 수평 점근선은 유한한 역함수 입력값이 아닙니다.

역함수를 주의하여 사용하십시오

주요 역 sech를 선택할 때는 원래 가지 $y\ge0$를 선택해야 합니다:

역 cosech는 부호가 구분된 두 가지에 걸쳐 일대일 대응하므로, 다음을 얻습니다:

역 coth의 경우, 원함수의 입력값이 $(-1,1)$ 내부에 있어야 합니다:

예를 들어, $\operatorname{sech}^{-1}(3/5)=\ln3$이지만, $\operatorname{sech}y=3/5$는 두 부호 $y=\pm\ln3$를 모두 가집니다. 또한, $\operatorname{cosech}^{-1}(-3/4)=-\ln3$와 $\coth^{-1}2=\tfrac12\ln3$입니다. 함수의 역함수와 역함수의 역함수는 서로 다른 연산을 수행합니다.

원래의 제한 조건을 확인하십시오

역함수를 사용하기 전에 실수 도메인과 선택한 가지를 명시하십시오. 전체 방정식이 허용하는 경우 두 부호를 모두 유지하십시오. 각 다항식의 근을 substitution(대입) $t=e^x>0$ 등을 통해 반드시 검증하십시오.

증명에서는 요청된 정의에서 시작하여 대수적 변형을 보여주세요. 스킷 도형에서는 실제 절편, 대칭성, 제외된 입력값 및 한계 선을 표시하십시오. 정확한 로그 형식의 답도 여전히 원래의 쌍곡선 방정식을 만족해야 합니다.

하나의 지도, 반복되는 변환

행렬은 모델 내 한 번의 변화를 설명할 수 있습니다. 이 변화가 반복될 때는 지수 $A^{20}$와 같은 연산을 필요로 하며, 20번 하기는 구조를 숨길 수 있습니다. 이 수업은 세 가지 도구를 결합합니다: 행렬 방정식을 풀고, 특수 벡터를 찾아, 지수와 역을 단순화합니다. 해나 역이 존재하는 시점을 확인하세요.

세 개의 방정식을 하나의 행렬에 담기

$x,y,z$의 계수를 그 순서대로 각 행에 배치합니다. 우변은 열이며, 계수 행렬의 다른 행이 아닙니다. 행렬 방정식을 다시 읽으려면 각 행을 미지수 열과 곱해야 합니다. 누락된 변수의 계수는 0입니다.

고유한 점을 찾고 검증하기

여기서 $\det C=1\ne0$이므로, $C$는 비특이(non-singular) 입니다: 정확히 하나의 해가 존재합니다. 역행렬 곱셈은 유효하지만, 여기서는 소거법이 더 짧습니다. 두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 $y=2$을 얻습니다. 그러면 첫 번째 식으로 $x+z=4$를 구하고, 세 번째 식으로 $2x+3z=11$를 구하므로, 결국 $(x,y,z)=(1,2,3)$이 됩니다.

세 개의 원본 방정식을 모두 검증하십시오: $1+2+3=6$, $1+4+3=8$, 그리고 $2+2+9=13$입니다. 기하학적으로 세 평면은 하나의 점에서 만납니다. 두 개의 평면만 검증하는 것은 충분하지 않습니다.

영인수에는 추가 검증이 필요합니다

특이(singular) 계수 행렬은 영인수(determinant)가 0입니다. 방정식은 일관성 있는(consistent) (해가 최소 하나 있음)이거나 불일치(inconsistent) (해 없음)일 수 있으며, 특이함은 해가 없다는 것을 의미하지 않습니다. $x+y+z=3$과 $x+2y+z=4$에 대해 빼면 $y=1$, $x+z=2$을 얻습니다. 세 번째 방정식 $2x+3y+2z=7$는 조건을 추가하지 않습니다: 공통 선은 $(x,y,z)=(2-t,1,t)$, $t\in\mathbb R$입니다.

세 번째 우변만 $8$로 변경합니다. 첫 번째와 두 번째 방정식을 세 번째 방정식에서 빼면 $0=1$이 되므로, 모든 세 평면 위에 놓이는 점은 없습니다. 쌍별 교차는 공통 교점을 증명하지 못합니다. 일치하는 평면도 발생할 수 있으며, 동일한 방정식이 세 개일 경우 전체 평면의 해가 남습니다.

각 패널은 첫 번째와 두 번째 방정식에 의해 강제되는 y 값을 사용합니다. 남은 선들은 x와 z에 대한 조건을 나타냅니다.

예외적인 매개변수 값을 분리하기

아래 시스템에서 행 1을 행 2와 3에서 뺍니다. 인수수determinant는 $(a-1)(a+1)$이므로, 오직 $a=1,-1$만 별도의 일관성 검사를 필요로 합니다. 만약 $a\ne\pm1$이면, $y=1/(a-1)$, $z=0$ 및 $x=3-1/(a-1)$입니다. 영인수 경우를 분리하기 전에 $a-1$나 $a+1$으로 나누지 마십시오.

$a=1$에서 $0=1$은 불가능합니다. $a=-1$에서는 $y=-1/2$이지만 $z=t$는 자유 variable이므로, 공통 직선 $(x,y,z)=(7/2-t,-1/2,t)$이 형성됩니다. 계수 행렬 둘 다 특이행렬(singular)이지만, 두 번째 연립방정식만이 일관성을 가집니다.

특수 벡터는 직선 위에 머무릅니다

고유 벡터(eigenvector)는 0이 아닌 벡터 $\mathbf e$로, $A\mathbf e=\lambda\mathbf e$를 만족합니다. 이에 대응하는 고유값(eigenvalue)은 스칼라 $\lambda$입니다. $\mathbf e$의 0이 아닌 모든 배수는 같은 고유값에 대한 다른 고유 벡터가 됩니다. 양수 고유값은 벡터를 늘리거나 줄일 수 있습니다. 음수 값도 방향을 반전시키며, 0은 원점으로 보내어 방향이 정의되지 않습니다. 0 벡터는 방정식의 해이지만 절대 고유벡터가 될 수 없습니다.

두 개의 고유값과 그에 해당하는 벡터 찾기

$(A-\lambda I)\mathbf e=\mathbf0$의 0이 아닌 해는 $\det(A-\lambda I)=0$일 때 존재합니다. 이것이 특징 방정式(characteristic equation) 이며, $\det(\lambda I-A)=0$를 사용하면 동일한 근을 얻습니다. 아래 행렬에서 $\lambda=1$가 $u+v=0$을 주므로, $(1,-1)^T$를 선택하십시오. $\lambda=3$의 경우, $u-v=0$이므로 $(1,1)^T$를 선택하십시오. 각 경우를 $A$과 곱하여 확인하십시오.

이 방법을 3차원으로 확장하기

삼각행렬은 대각 성분을 고윳값으로 가지며, 그 특이 행렬식은 대각 요소들의 곱입니다. 고윳값을 구하기 위해 원본 행렬을 행감소하지 마십시오. 일반적인 행연산은 고윳값을 보존하지 않을 수 있습니다. 다음의 각 근에 대해 $(B-\lambda I)\mathbf e=0$를 풀십시오. $\lambda=3$에서 첫 번째 행은 $-u+v=0$를, 세 번째 행은 $w=0$을 주므로, 결과적으로 $(1,1,0)^T$이 됩니다.

지수에 따른 결과 증명하기

벡터의 역이 아닌 $A\mathbf e=\lambda\mathbf e$로 시작하십시오. 그러면 $A^2\mathbf e=A(\lambda\mathbf e)=\lambda^2\mathbf e$이 되며, 이를 반복하면 양수 정수 $n$에 대해 $A^n\mathbf e=\lambda^n\mathbf e$가 됩니다. 또한 $(A+cI)\mathbf e=(\lambda+c)\mathbf e$도 성립합니다. $A$가 역행렬이라면, $\lambda\ne0$와 $A^{-1}$과의 곱을 통해 $A^{-1}\mathbf e=\lambda^{-1}\mathbf e$을 얻을 수 있습니다. 양수 지수는 역행렬 존재 조건이 필요하지 않습니다.

For $B$, the vector $(0,0,1)^T$ has eigenvalue $-1$. Under $B^2$ its eigenvalue is $1$, under $B^3$ it is $-1$, and under $B^{-1}$ it is $-1$. The vector remains non-zero in all these cases.

각 열을 고윳값에 매칭하기

대각화는 $B=QDQ^{-1}$로 나타내는데, 여기서 $D$은 대각행렬입니다. 고유 벡터를 $Q$의 열에 배치하고, 그들의 고윳값을 같은 순서로 $D$의 대각 성분으로 배치하십시오. $BQ=QD$는 모든 세 개의 고유 벡터 방정식을 동시에 검증합니다. 열들이 선형 독립이어야 $Q^{-1}$이 존재할 수 있습니다. 실수이고 서로 다른 고윳값은 커리큘럼 사례에서 이를 보장하므로, 모든 행렬이 대각화 가능한 것은 아니라고 가정하지 마십시오.

반복적인 곱셈 없이 지수를 계산하기

$(QDQ^{-1})(QDQ^{-1})$에서 중간 $Q^{-1}Q$이 상쇄됩니다. 따라서 $B^n=QD^nQ^{-1}$: $D$의 대각 성분만 지수로 올립니다. $n=0$의 경우 이는 $I$을 줍니다; $B$가 역행렬이므로 음수 정수에도 동일한 공식이 적용됩니다. $B$의 개별 성분의 지수가 틀린 이유를 보여주는 위쪽 오른쪽 블록입니다.

이전 $2\times2$ 행렬 $A$에 대해, $Q_A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$와 $D_A=\operatorname{diag}(1,3)$을 선택하십시오. 그러면

변경된 행렬에 대한 벡터 재사용하기

다항식 $f(B)$는 같은 고유 벡터와 고윳값 $f(\lambda)$을 가집니다. 따라서 $f(B)=Qf(D)Q^{-1}$; 문제가 이동하거나 제곱된 행렬에 대해 묻더라도 $Q$을 바꾸지 마십시오. $(B+I)^2$의 경우, 동일한 $Q$와 함께 $D'=\operatorname{diag}(9,16,0)$을 사용하십시오. 이 행렬은 특이행렬이지만 여전히 대각화 가능합니다. 변형된 고윳값의 반복도 이미 역행렬인 $Q$을 무효화하지 않습니다.

$(B-2I)^3$에 대해 대각선은 $\operatorname{diag}(0,1,-27)$이 됩니다. $B^{-1}$에 대해서는 $\operatorname{diag}(1/2,1/3,-1)$이 됩니다. 모든 경우, $Q$을 만들기 위해 사용된 순서 $2,3,-1$를 유지하십시오.

고유 벡터로부터 행렬 재구성하기

고유 벡터부터 주어졌다면, $Q$와 $D$을 구성한 후 $QDQ^{-1}$를 계산하십시오. 열들은 resultant 행렬에 영향을 주지 않고 0이 아닌 상수배로 각각 스케일링될 수 있습니다. $(1,1)^T$가 고윳값 $4$을 가지고 있고, $(1,-1)^T$가 고윳값 $2$을 가진다면, 아래 계산은 $R$을 줍니다. $R(1,1)^T=4(1,1)^T$과 $R(1,-1)^T=2(1,-1)^T$을 확인하십시오.

행렬은 자체 방정식을 만족한다

캐이리-해밀턴 정리는 정사각행렬이 그 특성방정식을 만족함을 명시한다. 변수를 행렬로, 스칼라 상수를 해당 상수에 $I$을 곱한 것으로 각각 치환한다. $B$에 대해 세 인자의 전개는 $\lambda^3-4\lambda^2+\lambda+6=0$이다. 따라서 $B^3-4B^2+B+6I=0$ 또는 $B^3=4B^2-B-6I$이다.

문제의 행렬에 대한特征 방정식을 사용하십시오. $B^3-4B^2+B+6=0$을 적는 것은 단위행렬을 생략하고 행렬에 스칼라를 더하는 것입니다. 이 정리는 전체 행렬이 고윳값이라는 것을 의미하지 않습니다.

높은 차수의 항을 낮은 차수로 환산하기

$B^3$의 항등식에 $B$을 곱한 후, 다시 $B^3$으로 치환한다. 답은 더 이상 대각화하지 않고도 $B^2,B,I$의 선형결합으로 표현된다. 이동된 큐브는 $B$과 $I$가 가환하기 때문에 전개할 수 있습니다. 전개 후 Cayley–Hamilton 정리를 사용하여 3차 이상의 모든 항을 정리하십시오.

캐이리-해밀턴 정리를 통한 역행렬 구하기

$\det B=-6\ne0$이므로, 특성항등식에 $B^{-1}$을 곱하여 정리한다. 이는 $B$에 대한 다항식 형태인 역행렬을 주며, 존재 여부를 확인하기 전에 역행렬을 곱하지 않는다. $2\times2$ 행렬 $A$에 대해 $A^2-4A+3I=0$은 $A^{-1}=(4I-A)/3$을 준다. 캐이리-해밀턴 정리는 두 가지 행렬 크기 모두에 적용 가능하다.

역제곱은 더 단순화될 수 있습니다. $B^3$에 대한 단위식에 $B^{-2}$을 곱하십시오: $B-4I+B^{-1}+6B^{-2}=0$. $B^{-1}$에 대한 식을 대입하여 다음을 얻습니다 $B^{-2}=(B^2-10B+25I)/36$.

방법 선택 및 근거 제시

세 개의 연립방정식의 경우: 계수행렬을 구성하고 특이 매개변수 값을 분리한 뒤, 해를 구하거나 불일치를 증명하며 기하학적 성질을 설명한다. 고유벡터의 경우: 비영 벡터임을 명시하고 특성방정식을 풀며 각 벡터를 근에 대응시킨다. 제곱이나 역행렬의 경우: 대각화 또는 캐이리-해밀턴 중 하나를 선택하고 중간 항등식을 보이며 결과를 검증한다. 판별식, 근의 나열 또는 최종 행렬만으로는 방법론의 대부분을 설명할 수 없다.

$C\mathbf x=\mathbf b$은 연립방정식을 나타냅니다. $A\mathbf e=\lambda\mathbf e$, $\mathbf e\ne0$은 특별한 방향을 묘사합니다. $A=QDQ^{-1}$은 가역인 고유벡터 행렬을 필요로 합니다. 케일리-해밀턴 정리는 행렬의 제곱을 환원하며, 행렬이 비특이일 때 그 역행렬을 제공합니다.

시간에 따라 기록된 곡선을 따르기

움직이는 도구(tool)가 $x(t)$과 $y(t)$로 주어진 곡선을 따를 수 있다. 이 곡선의 기울기는 시간 $t$의 변화당보다 $x$의 변화당 $y$의 변화량으로 정의되며 단순히 시간 변화량으로 정의되지 않는다. 미분은 기울기와 그 변화량을 제공한다. $x=0$ 근처에서 짧은 다항식은 곡선 전체를 서술하지 않더라도 값, 기울기 및 굵기를 일치시킬 수 있다.

여섯 쌍곡함수의 미분

지수함수 정의를 미분하여 $(\sinh x)'=\cosh x$과 $(\cosh x)'=\sinh x$을 얻는다. 일반 코사인과 달리 쌍곡 코사인은 여기에 음의 부호가 없다. 나머지 네 쌍곡함수는 분수법 또는 역수법을 사용한다. 실수 영역은 여전히 분모의 영점을 제외한다.

예를 들어, $(\tanh x)'=(\cosh^2x-\sinh^2x)/\cosh^2x=\operatorname{sech}^2x$입니다. 코시치와 코타의 도함수는 $x\ne0$에서 성립합니다.

역삼각함수의 미분 도출

$y=\sin^{-1}x$에서 $\sin y=x$을 쓰고 미분하면: $\cos y\,y'=1$이 된다. 기본 분기에는 $\cos y\ge0$이 있으므로, $-1<x<1$에 대해 $y'=1/\sqrt{1-x^2}$이다. 주분에서 $y=\cos^{-1}x$, $-\sin y\,y'=1$, $\sin y\ge0$에 대해. 미분값은 음수이다. 또한 친숙한 반_lengths의 미분식을 유지한다.

여기서 지수 $-1$은 역함수를 의미하며, 역함수가 아닙니다. 역사인과 역코사의 함수는 $\pm1$에서 끝점 값을 가지지만, 그곳에서는 유한한 도함수를 가지지 않습니다.

역쌍곡선 함수의 미분식 유도

$y=\sinh^{-1}x$에 대해 $\sinh y=x$을 미분하면 $\cosh y\,y'=1$이 된다. $\cosh y>0$이므로 $\cosh y=\sqrt{1+x^2}$를 사용한다. 역_cosh에는 $y\ge0$을 선택하여 $\sinh y=\sqrt{x^2-1}$을 얻는다. 역_tanh에는 $1-\tanh^2y=1-x^2$을 사용한다. 유한한 미분값이 존재하는 개구 구간을 기록한다.

역코시는 x=1에서 정의되며, 값은 0입니다. 유한한 도함수 공식은 오직 x가 1보다 클 때만 적용됩니다.

내부 미분식과 정의역을 유지하기

연쇄법칙에 의해 $\dfrac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))u'(x)$이 된다. 올바른 외부 공식은 내부 미분식이 없으면 불완전하다. $\cosh^{-1}(2x)$의 경우 함수는 $x\ge1/2$이 필요하지만, 아래 유한한 미분값은 $x>1/2$이 필요하다. $\sin^{-1}(2x)$의 경우 유한한 미분값은 $|x|<1/2$이 필요하다.

암시적 관계식을 한 번 미분하기

암시적 관계식은 $x$과 $y$이 섞여 있다. $y$을 $x$의 함수로 treating: $(y^2)'=2yy'$와 $(xy)'=y+xy'$는 곱의 미분법에 따른다. $x^2+xy+y^2=7$에 대해 분모로 나누기 전에 $y'$을 포함하는 모든 항을 모으고 시작한다. $(1,2)$에서 분모는 $5\ne0$이며 $y'=-4/5$이다.

암시적 관계식을 다시 미분하기

2계 도함수는 $y''=d^2y/dx^2$이다. 단순화되지 않은 첫 번째 관계식을 다시 미분하면 긴 분수 연산을 피할 수 있다. $2x+y+xy'+2yy'=0$을 미분하면 아래 식이 나온다. $(1,2)$에서는 2계 도함수 방정식을 구성한 후에만 $y'=-4/5$을 대입한다.

$yy'$의 도함수는 $(y')^2+yy''$이며, 단순히 $yy''$이 아닙니다. 기울기 공식의 분모가 0인 경우에는 별도의 분석이 필요하며, 이것이 원 곡선이 해당 점에 존재하지 않음을 자동으로 증명하지는 않습니다.

역함수와 암시적 곱을 결합하기

$y^2-\sinh^{-1}(xy)=1-\ln2$에 대해 점 $(3/4,1)$은 $\sinh^{-1}(3/4)=\ln2$이기 때문에 곡선 위에 있다. 계산의 조직화를 위해 $p=y'$과 $S=\sqrt{1+x^2y^2}$를 설정한다. 아래 첫 번째 관계식은 해당 점에서 $p=4/7$을 준다. 2계 도함수를 구하기 위해서는 대입하기 전에 미분해야 한다: $(y+xp)'=2p+xy''$과 $S'=xy(y+xp)/S$.

$(3/4,1)$에서 $S=5/4$과 $p=4/7$입니다. 두 번째 관계식은 다음과 같습니다.

제곱근 인자에 변수 $y$도 포함되어 있습니다. 이를 $x$만의 함수로 취급하면 연쇄 법칙 항을 누락하게 됩니다.

매개변수 미분식을 기울기로 변환하기

매개변수 표현은 $x=x(t)$과 $y=y(t)$을 사용한다. $x'(t)\ne0$인 지점에서 $dy/dx=y'(t)/x'(t)$이다. 여기서의 쐐기표는 명시한 변수를 가리켜야 한다. $x=t^2-4$, $y=e^t$, $t>0$에 대해 기울기는 $e^t/(2t)$이다. $x=0$에서 선택된 분지에는 $t=2$이 있으므로 점은 $(0,e^2)$이고 그 기울기는 $e^2/4$이다.

2계 도함수에도 dx/dt로 나누기

$dy/dx$을 $t$에 대해 미분하는 것은 아직 $x$에 대한 이계도함수가 아닙니다. 그 결과를 다시 $dx/dt$으로 나눕니다. 작업된 곡선에서 추가 인수는 분모를 변경합니다. $t=2$에서 결과는 매개변수 도함수 $e^2/8$이 아닌 $e^2/32$입니다.

0에서의 도함수를 이용해 다항식 만들기

맥클로린 급수는 $x=0$에서 평가된 $x$에 대한 미분을 사용한다. 그 $x^n$ 계수는 $f^{(n)}(0)/n!$; 계승을 생략하지 말라. $x^2$까지의 항을 구하려면 대입하기 전에 $f(0),f'(0),f''(0)$을 구하십시오. $e^x$에 대해서는 이 값들이 모두 $1$이므로 첫 번째 항들은 $1+x+x^2/2$입니다.

도함수 일치는 국소적 성질을 설명합니다. 이것만으로는 무한 급수가 모든 곳에서 함수와 같음을 증명하지는 못합니다.

미분을 통한 합성 전개 유도하기

$f(x)=e^{1/(x+3)}$이라 하고 $E=e^{1/3}$을 씁니다. 연쇄 법칙에 의해 $f'=-(x+3)^{-2}f$이 얻어지며, 이제 $f''$에는 곱의 미분 법칙이 필요합니다. 0에서 $f(0)=E$, $f'(0)=-E/9$, $f''(0)=7E/81$. 마지막 값을 $2!$으로 나누어 이차 계수를 구하라.

$f(x)=\ln(1+x)$에 대해 원점에서의 값은 삼계도함수까지 $0,1,-1,2$입니다. 따라서 첫 세 개의 비영항은 $x-x^2/2+x^3/3$입니다. 계승을 유지하십시오: $2/3!=1/3$.

tan을 위한 연속적 암미분 사용법

$y=\tan x$의 경우, $y'=\sec^2x=1+y^2$부터 시작합니다. $x=0$에서 $y=0$과 $y'=1$; 이 관계는 이후 도함수를 $y$과 그 도함수로 표현하게 유지합니다. 아래의 다음 두 도함수는 $y''(0)=0$과 $y'''(0)=2$을 제공합니다. 따라서 $\tan x=x+x^3/3+\cdots$; 상수항이나 2차항은 없습니다. 여기서는 일반 계수 공식이 필요하지 않습니다.

매개변수 곡선을 전개하기 전에 x 영점을 찾기

마클로린 전개는 $x=0$을 중심으로 하므로, 반드시 $t=0$을 의미하지는 않습니다. $x=t^2-4$, $y=e^t$, $t>0$의 경우, 이미 구한 도함수와 $t=2$을 사용하십시오. 여기서 $y(0)=e^2$, $y_x'(0)=e^2/4$, $y_{xx}''(0)=e^2/32$. 이차 계수는 $e^2/32$이 아니라 $e^2/64$이다.

분기 $t>0$이 없으면 $t=\pm2$은 $x=0$와 두 개의 서로 다른 점을 만듭니다. 단일 값 $y(0)$을 할당하기 전에 국소 분기를 식별하십시오.

쌍곡선 매개변수를 국소 전개에 연결하기

$x=\sinh t$와 $y=2t+\cosh t$의 경우, 일계미분은 $(2+\sinh t)/\cosh t$입니다. $\cosh t>0$이므로, 모든 실수 $t$에 대해 $dx/dt$로 나누는 것이 유효합니다. 비율 미분 법칙을 적용한 후 다시 $\cosh t$으로 나눕니다. $x=0$에서 $t=0$이므로, $y=1$, $dy/dx=2$ 및 $d^2y/dx^2=1$입니다.

근사와 수렴을 분리하여 고려하기

유한 테일러 다항식은 국소 근사이며, 무한 급수는 수렴 구간이 필요합니다. $\ln(1+x)$에 대해 그 구간은 $-1<x\le1$이며, $e^x$인 사인과 코사인의 경우 모든 실수 $x$입니다. 구간 밖에서는 급수가 발산할 수 있으므로 항을 더한다고 해서 근사가 항상 개선되는 것은 아닙니다. 구간 내에서도 수렴만으로는 유한 단계마다 근사가 개선됨을 보장하지는 않습니다.

그림에 표시된 오차는 유한 합과 ln(1+x) 사이의 절대 차이입니다. 두 함수 값은 모두 존재하지만, x=0.5만이 급수 구간 내에 위치합니다.

미분하기 전에 변수 선택하기

역함수에 대해서는 분지 및 유계 도함수 영역을 명시한 후 내부 도함수를 적용합니다. 암시적 관계에 대해서는 $y'$ 인자를 모두 포함하고, $y''$에 대해 다시 곱의 미분 법칙을 사용합니다. 매개변수 곡선에 대해서는 $x$에 대한 각 도함수를 $dx/dt$로 나눕니다. 마클로린 전개에서는 $x=0$를 찾아 필요한 도함수를 계산한 뒤 계승으로 나눕니다.

역함수가 존재할 수 있는 지점에서는 유한 도함수가 존재하지 않을 수도 있습니다. 매개변수 값이 x좌표와 같을 필요는 없습니다. 두 번째 매개변수 도함수가 $d^2y/dx^2$과 같을 필요도 없습니다. 이러한 차이를 확인하면 잘못된 지점에서 올바른 공식이 사용되는 것을 방지할 수 있습니다.

길이는 페인트와 다른 적분입니다

곡선 스트립은 길이 방향으로 재료가 필요하며, 이를 축에 회전시키면 페인트가 필요한 면적이 됩니다. 두 값 모두 그래프 아래 면적을 단순히 구하는 것이 아닙니다. 먼저 측정 대상을 결정합니다. 그 다음 원함수, 표준형 또는 치환 중 하나를 선택하되, 한계값과 부호 제한 사항을 유지하십시오.

쌍곡선 함수를 적분하기

알고 있는 도함수를 역으로 사용하여 쌍곡선 함수를 적분합니다. 부정적 적분에는 상수 $C$를 포함하고, 로그 식의 피연산자가 음수가 될 수 있는 곳에는 절댓값을 사용합니다. 제안된 답을 미분하여 확인합니다. 인자의 일부는 여전히 중요합니다: $\int\cosh(3x)\,dx=\sinh(3x)/3+C$.

coth와 cosech 공식은 $x=0$을 제외하는 구간에서 적용됩니다. 유용한 곱형 표현은 $\int\operatorname{sech}^2x\,dx=\tanh x+C$과 $\int\operatorname{sech}x\tanh x\,dx=-\operatorname{sech}x+C$입니다.

세 가지 제곱근 형식을 매칭하기

$a>0$에 대해서는 역함수를 선택하기 전에 제곱근 안의 식을 매칭해야 합니다. 더하기 부호가 있는 근사식에는 역 sinh를 사용하며, 부호를 바꾸면 역함수와 실수 영역이 모두 변경됩니다. 아래의 역 cosh 답안은 양의 분지 $x>a$을 사용합니다. 어떤 실수 구간 $|x|>a$에서도 로그 식 $\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$가 원함수로 작용할 수 있습니다.

치환 전 제곱완성하기

제곱완성은 표준형을 드러냅니다. 여기에서 $x^2+4x+13=(x+2)^2+9$이므로, 이동을 통해 역 sinh 형태를 명확히 할 수 있습니다. $x^2$의 계수가 1이 아닌 경우, 인수를 주의 깊게 분리하십시오. 최종 답안을 미분하여 외부 곱인자를 확인하십시오.

근사식에 대한 쌍곡선 치환 사용

$\sqrt{x^2+4}$에 대해서는 $x=2\sinh u$을 배치합니다. 그러면 $dx=2\cosh u\,du$가 되며, 비음의 제곱근은 $2\cosh u$입니다. 왜냐하면 $\cosh u>0$이기 때문입니다. $\cosh^2u=(1+\cosh2u)/2$을 사용하고 $x$로 되돌립니다. 정적분인 경우 한계값을 모두 변환하거나 평가하기 전에 $x$로 되돌려야 합니다.

$x=0$에서 $x=3/2$까지의 새로운 적분 구간은 $u=0$와 $u=\ln2$입니다. 정확한 적분 값은 $2\ln2+15/8$입니다.

삼각함수 분지 선택하기

삼각함수 치환 $x=2\sin\theta$이 $\sqrt{4-x^2}=2|\cos\theta|$을 제공합니다. 절댓값을 제거하기 전에 $\cos\theta\ge0$가 되기도록 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$를 선택하십시오. 아래의 정적분에서 $x=0,1$을 $\theta=0,\pi/6$로 바꿉니다. 이중각 공식으로 $\cos^2\theta$를 적분합니다.

부분적분을 다시 사용하고 반각 공식을 활용하세요

$I=\int e^x\sin x\,dx$에 대해 두 번의 부분적분을 반복하면 $I$로 돌아옵니다. 동일한 계산을 다시 시작하기보다, 그 반복된 적분을 묶어두세요. 사인과 코사인으로 구성된 유리식에서, $t=\tan(x/2)$은 $\sin x=2t/(1+t^2)$, $\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$, $dx=2dt/(1+t^2)$을 제공합니다. 기수배인 $\pi$을 가로지르지 않는 가지(branch) 위에서 계산하십시오.

삼각함수 환원 공식을 유도하세요

감소 공식(reduction formula)는 특정 지수를 가진 적분을 더 작은 지수를 가진 적분과 연결합니다. $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx$에 대해 부분적분법에서 $u=\sin^{n-1}x$과 $dv=\sin x\,dx$을 선택하십시오. $n\ge2$의 경계 항은 0입니다. $\cos^2x$을 $1-\sin^2x$로 교체하면 $I_{n-2}$과 $I_n$이 모두 포함되어; 나누기 전에 후자를 먼저 묶어두세요.

기본 사례는 $I_0=\pi/2$과 $I_1=1$입니다. 따라서 $I_4=(3/4)(1/2)I_0=3\pi/16$입니다. 짝수 인덱스와 홀수 인덱스는 서로 다른 기본 사례를 따릅니다.

0이 아닌 경계 항을 유지하세요

$J_n=\int_0^1x^ne^{2x}\,dx$에서 $e^{2x}$을 적분하고 $x^n$를 미분하세요. $x=1$에서 경계 항은 0이 아니라 $e^2/2$입니다. 아래의 재귀 식에는 $n\ge1$이 필요합니다. $J_0$을 직접 평가하세요: 하한 끝점에서 $-1/2$가 기여합니다. $n=0$에서 재귀 식을 적용하면 이를 잃어버립니다.

두 번의 부분적분으로 두 단계 줄일 수 있습니다

$K_n=\int_0^2(2-x)^n\sinh x\,dx$을 설정하세요. 첫 번째 부분적분으로 $-2^n+n\int_0^2(2-x)^{n-1}\cosh x\,dx$을 얻습니다. $n\ge2$에 대한 두 번째 부분적분은 경계 항이 0이고 $K_n=-2^n+n(n-1)K_{n-2}$을 줍니다. 기본 적분들은 여전히 직접 평가해야 합니다.

힌트가 $\tan x\sec^{n-2}x$을 미분하라고 할 수 있습니다. 그 도함수는 $(n-1)\sec^nx-(n-2)\sec^{n-2}x$입니다. $0$부터 $\pi/4$까지 적분하면, $n\ge2$에 대해 다음을 얻습니다:

여기서 $H_0=\pi/4$, $H_2=1$, $H_4=4/3$입니다. 끝점 항은 필수적입니다.

부등식을 선택하기 전에 직사각형을 그리십시오

양수 감소 함수에서 좌측점 사각형은 적분을 과대평가하고 우측점 사각형은 과소평가합니다. 각 사각형의 면적은 높이×너비이며, 높이만으로는 면적이 아닙니다. $f(x)=1/(1+x)$에서 $[0,2]$에 대해 네 개의 사각형을 사용할 때, $\Delta x=1/2$입니다. 아래 합은 정확한 적분 $\ln3$을 가두는 역할을 합니다.

단위 폭의 합과 수축하는 폭의 합을 구분하여 유지하십시오

$1/x$ 아래에서 단위 너비 사각형은 정수 $n\ge2$과 $\ln(n+1)<\sum_{r=1}^n1/r<1+\ln n$에 대해 결과를 줍니다. 상한선에서는 첫 항 $1$을 따로 두고, $r=2,\ldots,n$항을 $r-1$부터 $r$까지의 스트립과 비교하세요. $n$에서 $[0,1]$에 등간격 스트립을 사용할 때, 너비는 대신 $1/n$입니다. 연속 함수에서 리만 합은 적분에 수렴하므로, 너비와 표본 점을 모두 확인하세요.

증가 함수의 경우 좌우 부등호 방향이 반대가 됩니다. 미분이나 실제 구간에서의 단조성을 확인하지 않고 감소 함수 도표를 그대로 복사하지 마십시오.

합을 높이×너비 형태로 다시 쓰세요

모든 분모를 $n^2$으로 나누어 표본점 $r/n$을 드러내십시오. 아래 합은 우단점 사다리형 합이며, $n$에 극한 적분을 곱한 것이 아닙니다. $f(x)=1/(4+x^2)$이 $[0,1]$에서 감소하므로 유한 합은 적분보다 작습니다. 좌측 합과 우측합 사이의 간격은 $(f(0)-f(1))/n=1/(20n)$이며, 이는 0으로 수렴합니다.

ds로부터 데카르트 호환 곡선 길이 구하기

미소 변위 길이는 $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$입니다. 증가하는 $x$에 대한 단일 순환 시 호 길이는 $L=\int_a^b\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx$이며, 이는 $\int y\,dx$가 아닙니다. $y=\cosh x$에 대해 $0\le x\le\ln2$, $\sqrt{1+\sinh^2x}=\cosh x>0$입니다. 따라서 $L=[\sinh x]_0^{\ln2}=3/4$입니다.

$y=x^2$과 $0\le x\le1$에 대해, $\int_0^1\sqrt{1+4x^2}\,dx$에서의 쌍곡선 치환은 $L=\sqrt5/2+\sinh^{-1}(2)/4$를 줍니다. 끝점 사이의 직선 거리는 $\sqrt2$이며, 이는 더 작습니다.

매개변수 곡선의 속도를 사용함

$x=x(t)$과 $y=y(t)$에 대해 $ds=\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}\,dt$입니다. 선택한 매개변수 구간이 필요한 호를 정확히 한 번 그리는지 확인하십시오. $x=3(t-\sin t)$, $y=3(1-\cos t)$, $0\le t\le\pi$일 때, 반각 사인이 음이 아니므로 속도는 $3\sqrt{2-2\cos t}=6\sin(t/2)$입니다.

$x=\ln(\cosh2t)$, $y=\tan^{-1}(\sinh2t)$, $0\le t\le\ln2$에 대해 미분값은 $2\tanh2t$와 $2\operatorname{sech}2t$입니다. 항등식 $\tanh^2+\operatorname{sech}^2=1$는 속도를 $2$로 만들어주므로, $L=2\ln2$입니다.

극좌표 호length 공식에 두 항 모두 포함함

극곡선 $r=r(\theta)$에 대해, 반경 방향 및 측면 변화는 각각 기여합니다: $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$. 따라서 $L=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta$이며, 각도는 라디안 단위로 합니다. $r=2(1+\cos\theta)$이 $0\le\theta\le\pi$에 대해 정의될 때, 제곱근은 $4|\cos(\theta/2)|=4\cos(\theta/2)$입니다. 이 구간은 위쪽 절반을 정확히 한 번 그리며, 길이는 $8$입니다.

회전체 표면적을 구하기 전에 반지름 선택하기

회전체 표면적의 좁은 띠 영역은 $2\pi\rho\,ds$이며, 여기서 $\rho\ge0$은 회전축까지의 거리입니다. $x$축에 대해서는 $|y|$를, $y$축에 대해서는 $|x|$를 사용합니다. $y=x+1$, $0\le x\le2$, $ds=\sqrt2\,dx$입니다. 호가 동일하더라도 축을 변경하면 반지름이 변합니다.

$\pi\int y^2\,dx$는 부피 공식이지 표면적 공식이 아닙니다. 음수 좌표가 음수 면적을 주지는 않습니다. 교육과정은 직각좌표계 및 매개변수 표면만을 요구하며, 극좌표로 직접 정의된 표면은 포함되지 않습니다.

표면적 적분에서 매개변수와 속도를 유지함

매개변수 호에 대해서는 $S_x=2\pi\int|y(t)|\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt$을 사용하거나, $y$축에 대해 $|y(t)|$을 $|x(t)|$로 교체하십시오. 제곱근 속도는 좌표 감소를 처리하며 음의 길이를 생성하지 않습니다. $x=2\cos t$, $y=2\sin t$, $0\le t\le\pi/2$일 때 속도는 $2$입니다. $x$축에 대한 회전은 반지름 $2$인 반구체를 만듭니다; $y$축에 대해서도 동일한 결과가 성립합니다.

치환 방향이 역행할 때 적분 범위 변경하기

표면적 적분은 기하학적 설정 후 추가 치환이 필요할 수 있습니다. $y=\tanh x$에 대해, $0\le x\le\tanh^{-1}(1/3)$을 $x$축에 회전시키면 $2\pi\int\tanh x\sqrt{1+\operatorname{sech}^4x}\,dx$가 됩니다. $u=\sqrt{1+\operatorname{sech}^4x}$을 대입하십시오. 그러면 $du/dx=-2\operatorname{sech}^4x\tanh x/u<0$이 $x>0$이 됩니다. 변환된 적분 범위를 뒤집으면 마이너스 부호가 제거됩니다.

상단 $x$ 끝점에서 $\tanh x=1/3$이므로, $\operatorname{sech}^2x=8/9$와 $u=\sqrt{145}/9$입니다. 적분 전 $u^2/(u^2-1)=1+1/(u^2-1)$를 분할하십시오. 변환된 적분은 양수입니다.

설정, 간소화, 계산 및 확인

대입 및 감소를 위해 변환된 미분, 경계 항과 유효한 인덱스 범위를 표시하십시오. 직사각형의 경우 극한을 취하기 전에 비교를 그리고 직사각형의 너비를 포함하십시오. 호 길이 또는 표면적의 경우 $ds$을 먼저 작성하고, 매개변수 구간과 음이 아닌 반지름을 선택한 후 적분하십시오. 타당한 원함수가 잘못된 기하학적 설정을 수정할 수 없습니다.

무한 적분의 답은 미분으로 확인하십시오. 허용된 낮은 인덱스에서 감소를 검증하십시오. 합계는 도표와 비교하십시오. 가능한 경우 길이와 현, 면적과 단순한 기하학적 사례를 대조하십시오.

한 번의 회전과 스케일 변경을 반복하십시오

각 단계마다 방향과 길이가 변하는 화살표를 상상해 보십시오. 0이 아닌 복소수의 곱셈은 이 두 가지 변화를 결합하며, 지수 연산은 이를 반복합니다. 데모아르의 정리는 이러한 거듭제곱과 각도를 연결합니다. 또한 삼각함수 항등식, 다항 방정식 또는 두 실수 급수를 하나의 복소 계산으로 전환하는 데 도움이 됩니다.

i를 곱하면 길이는 유지됩니다. 일반적인 0이 아닌 곱수라면 길이와 각도 모두 변경될 수 있습니다.

길이를 곱하고 각도를 더하십시오

0이 아닌 수를 극형식(polar form)으로 $z=r\operatorname{cis}\theta$로 나타내되, $\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta$여야 합니다. 이때 절댓값(modulus)은 $r>0$이고, 편각(argument)은 $2\pi$에 대해 정의됩니다. 곱셈은 절댓값을 곱하고 인수를 더하며, 나눗셈은 절댓값을 나누고 인수를 뺍니다. 최종 각도는 문제에서 요구한 구간에 맞게 조정하십시오.

양의 정수와 음의 정수의 거듭제곱을 적용하십시오

정수 $n$에 대해, $z^n=r^n\operatorname{cis}(n\theta)$입니다. 음의 지수는 $z\ne0$이 필요합니다; 역수를 취하면 각도의 부호가 반대가 되고 절댓값은 그 역수로 대체됩니다. $z=1+i=\sqrt2\operatorname{cis}(\pi/4)$에 대해, $z^6=8\operatorname{cis}(3\pi/2)=-8i$입니다. 또한 $z^{-2}=(1/2)\operatorname{cis}(-\pi/2)=-i/2$도 성립합니다.

지수는 인수를 곱할 뿐이며, 실수부와 허수부를 각각 제곱하지는 않습니다. 0에는 인수가 없으므로 양수 정수 지수는 직접 처리할 수 있으나, 0의 음수 지수는 정의되지 않습니다.

유한유도법으로 양의 정수 정리를 증명하십시오

수학적 귀납법을 사용하십시오. 명제는 $n=1$에서 참입니다. 임의의 양의 정수 $k$에 대해 $(\operatorname{cis}\theta)^k=\operatorname{cis}(k\theta)$가 참이라고 가정하십시오. Multiply this assumed equality by $\operatorname{cis}\theta$. The angle-addition identities give the next case below, so the base case and conditional step prove every positive integer case.

$m>0$일 때 $(\operatorname{cis}\theta)^{-m}=1/\operatorname{cis}(m\theta)=\operatorname{cis}(-m\theta)$입니다. 이는 귀납 자체가 음수 정수를 포함했다고 주장하지 않고도 증명된 결과를 음수 정수까지 확장합니다.

실수부와 허수부를 비교하십시오

$(c+is)^n$을 $c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$, …으로 전개한 뒤, 실수부는 $\cos n\theta$과 비교하고 허수부는 $\sin n\theta$과 비교하십시오. 5승의 경우, 실수부에서 $s^2$을 $1-c^2$로 대입하고, 허수부에서 $c^2$을 $1-s^2$으로 대입하십시오. 최종 항등식을 인용하는 것이 아니라 대입 과정을 보여주십시오.

세제곱의 실수부 역시fan $\cos3\theta=c^3-3cs^2=4c^3-3c$을 줍니다.

부분을 나누어 탄젠트 공식 도출

$t=\tan\theta$인 경우, $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$의 허수부를 실수부로 나누고, 분자와 분모를 모두 $\cos^3\theta$으로 나누십시오. 두 접선이 모두 존재해야 한다. 따라서 $\cos\theta\ne0$와 분모 $1-3t^2\ne0$; 곱하기 교차로 얻은 방정식에도 여전히 해당 확인이 필요하다.

여러 각도를 사용하여 지수 표현

$z=\operatorname{cis}\theta$을 대입하면 $z+z^{-1}=2\cos\theta$과 $z-z^{-1}=2i\sin\theta$이 됩니다. 거듭제곱을 전개하고 $z^m$을 $z^{-m}$과 짝지어 처리하십시오. 아래의 4제곱 전개는 $\sin^4\theta$를 상수 plus 여러 각도의 코사인으로 바꾼다. 지수가 홀수일 때는 $i^n$의 부호를 유지한다.

다섯 번째 지수는 $16\sin^5\theta=\sin5\theta-5\sin3\theta+10\sin\theta$를 산출한다. 이를 도출한 후에야 역수를 취할 수 있다: $\sin\theta\ne0$에 대해서는,

다항식을 각도 방정식으로 변환

$32x^5-40x^3+10x-1=0$에 대해, $x=\cos\theta$에 대입한다. 5배각 항등식은 $2\cos5\theta-1=0$를 준다. $0\le\theta\le\pi$를 선택하되, 코사인이 일대일인 구간에서 행한다. $[0,5\pi]$ 내에서 $5\theta=\pm\pi/3+2k\pi$을 풀면 아래에 제시된 다섯 개의 서로 다른 근을 얻는다. 5차 다항식의 모든 근은 이 다섯 개의 서로 다른 검증된 근으로 완전히 소거된다.

Scaling interval에서 사인을 사용할 때 다섯 각도를 나열하는 것이 자동으로 다섯 개의 서로 다른 근을 의미하지는 않는다. 실제 사인/코사인 값과 다항식의 차수를 확인하고, 유효하지 않은 반복 값을 제거하며 valid한 서로 다른 근은 제거하지 말라.

역삼각함수 근 처리

근을 세컨트(sec)로 표현하려면, $x=\sec\theta$에 대입하여 따라서 $1/x=\cos\theta$을 얻는다. 원래 다항식에서 $x=0$을 제외한 후, 오직 $x$의 제곱으로 나누어야 한다. $x^5-10x^4+40x^2-32=0$에 대해, 0은 근이 아니다. $x^5$로 나누면 $1-2\cos5\theta=0$가 되므로, 근들은 이전 단계의 같은 다섯 각도에 대한 세컨트 값들이다.

유리 지수는 가지(convention) 규정이 필요하다

For $z=r\operatorname{cis}\theta\ne0$ and coprime integers $p,q$ with $q>0$, the complex branches of the rational power use all equivalent arguments before dividing the angle by $q$. 지정된 주값(principal value)은 한 가지를 선택하며, 모든 근을 위한 방정식을 풀 때 모든 $q$ 값을 유지해야 한다. 음수 $p$도 $z\ne0$가 필요하다. 약분되지 않은 분수를 사용하여 가지 개수를 결정하지 마라.

$z=8$과 지수 $2/3$에 대해 세 가지 값은 $w^3=64$를 풉니다: 이들은 $4\operatorname{cis}(0)$, $4\operatorname{cis}(2\pi/3)$ 및 $4\operatorname{cis}(4\pi/3)$입니다. 친숙한 실수 값 $4$은 그 중 하나입니다.

단위가 아닌 수의 근 찾기

$R>0$에 대해 $w^n=R\operatorname{cis}\Theta$를 풀기 위해, 절댓값(모듈러스) $R^{1/n}$와 인자(argument) $(\Theta+2k\pi)/n$, $k=0,\ldots,n-1$를 사용한다. 완전한 집합을 구한 후, 각 인자를 요청된 구간에 변환한다. For $w^3=8i$, the roots have modulus $2$ and arguments $\pi/6,5\pi/6,-\pi/2$. Reciprocating them gives the three values of $(8i)^{-1/3}$, with modulus $1/2$ and opposite arguments.

단위근의 활용

$n$ 단위근은 $z^n=1$를 푼다: $k=0,\ldots,n-1$에 대해 $z_k=\operatorname{cis}(2k\pi/n)$. 이들은 단위 원 위에 위치하며, $2\pi/n$ 라디안 또는 $360^\circ/n$ 간격으로 분리되어 있다. $n>1$에 대해, 그들의 합은 0이다. 그들은 $z^n-1$의 선형 인자 $z-z_k$을 제공한다. 만약 $\omega^3=1$과 $\omega\ne1$라면, $1+\omega+\omega^2=0$입니다; 비영 조건 없이 $\omega-1$를 소거하지 마라.

지수가 모든 근을 방문하는지 확인

단위근의 원시근은 $n$차 단위근을 모두 거친 후 그 거듭제곱이 $1$로 돌아옵니다. $\omega=\operatorname{cis}(2\pi/n)$인 경우에는 전체 순환이며, $\omega$의 거듭제곱은 더 짧은 순환을 가질 수 있습니다. $n=6$의 경우, $\omega^2$의 거듭제곱은 오직 $1,\omega^2,\omega^4$만을 거치고 반복됩니다. 임의의 정수 $m$에 대해 아래에 있는 $m$의 거듭제곱의 완전한 합은 $6$이 $m$을 나눌 때 $6$이고, 그렇지 않으면 0입니다.

합산하기 전에 C와 iS를 각각 더합니다

$C=\sum_{r=0}^n\cos(r\theta)$과 $S=\sum_{r=0}^n\sin(r\theta)$이라 할 때, $C+iS$는 비 $z=\operatorname{cis}\theta$인 기하급수입니다. $z\ne1$인 경우, 먼저 급수를 합하고 복소 지수함수를 반각 형태로 인분합니다. $\theta$이 $2\pi$의 배수일 때는 원래 합을 사용합니다: $C=n+1$, $S=0$.

기하 가중치를 포함합니다

$C_n=\sum_{r=1}^n\rho^r\cos(r\theta)$과 $S_n=\sum_{r=1}^n\rho^r\sin(r\theta)$에 대해, $q=\rho\operatorname{cis}\theta$를 취합니다. 유한 합은 $q\ne1$일 때 $q(1-q^n)/(1-q)$입니다. 분모를 실수로 만들기 위해 $1-\overline q$을 곱한 뒤 부분으로 비교합니다. $D=1-2\rho\cos\theta+\rho^2$인 경우, 허수부는 아래 식이며, 실수부는 동일한 분자에서 구할 수 있습니다.

$q=(1+i)/2$과 $n=4$에 대해, $q/(1-q)=i$와 $q^4=-1/4$입니다. 따라서 $\sum_{r=1}^4q^r=5i/4$: 코사인 가중 합은 $0$이며, 사인 가중 합은 $5/4$입니다.

이항 가중치에 대한 이항 정리를 사용합니다

$C=\sum_{r=0}^n\binom nr\cos(r\theta)$과 $S=\sum_{r=0}^n\binom nr\sin(r\theta)$에 대해, 이항 정리는 $C+iS=(1+e^{i\theta})^n$를 제공합니다. $-\pi<\theta<\pi$ 위에서, $1+e^{i\theta}=2\cos(\theta/2)e^{i\theta/2}$은 음이 아닌 절댓값을 가집니다. 드 무아브르 공식을 적용한 뒤 실수부와 허수부를 비교합니다. $r=1$에서 시작하면 합산에서 $1$만 $C$에서 제거됩니다.

$n=6$과 $\theta=\pi/3$에 대해, $1+e^{i\theta}=\sqrt3e^{i\pi/6}$이므로 $C+iS=27e^{i\pi}=-27$이다. 따라서 $C=-27$, $S=0$는 $r=0,\ldots,6$에 해당한다.

타당한 무한급수의 극한을 취합니다

$|q|=\rho<1$이면, $q^n\to0$과 $r=1$로부터의 복소 기하 합이 $q/(1-q)$로 수렴합니다. 이 수렴 조건을 사용한 뒤 실수부와 허수부를 취합니다. 실수 분모 $D=1-2\rho\cos\theta+\rho^2$과 함께, 아래 공식들이 따릅니다. $q=(1+i)/2$인 경우, 무한합은 $i$이므로 $C=0$, $S=1$입니다.

$|q|\ge1$일 때 유한 기하급수 공식은 무한합을 정당화할 수 없다. 마지막 항을 제거하기 전에 수렴 여부를 확인하라. 특수 경우 $q=1$는 유한 비를 정의할 수 없으므로 직접 계산해야 한다.

미분을 통해 인덱스를 내립니다

유한 사인 합을 $\theta$에 대해 미분하면 $\sum_{r=1}^nr\rho^r\cos(r\theta)$을 얻습니다. 대안적으로 유한 기하 다항식에 $q\,d/dq$를 적용할 수 있습니다. 아래 결과는 $n\rho^n\to0$을 사용하여 $|q|<1$에 대해 타당한 극한을 가집니다. 이는 무한급수가 항상 항별로 미분 가능하다고 가정하는 대신, 극한을 취하기 전에 유한 항등식을 사용합니다.

$q=i/2$에서 극한 가중 합은 $-8/25+6i/25$이다. 따라서 가중 코사인 합은 $-8/25$이고 가중 사인 합은 $6/25$이다.

작업에 맞는 복소 표현을 선택합니다

지수에 대해서는 절댓값, arguments, 가지 조건을 명시합니다. 삼각함수 항등식에서는 선택하기 전에 전개합니다. 다항식의 근에 대해서는 각도 구간을 선택하고, 유효하지 않은 나눗셈을 제외하며, 상이한 값의 개수를 세고 합니다. 합에 대해서는 기하 또는 이항 가중치를 올바르게 선택하고, $C+iS$을 결합하며, 예외 사례와 수렴 조건을 유지합니다. 단위근에 대해서는 거듭제곱이 전체 순환인지 혹은 더 짧은 순환인지를 확인합니다.

곱하기는 확대와 회전 결합이다. 드 무아브르 공식은 지수와 각도를 연결한다. 성분을 비교하여 항등식과 합을 얻으며, 허용된 모든 인자를 유지하면 완전한 근 집합이 된다.

들어오는 것과 나가는 것을 균형 맞추기

• 탱크에 잘 섞인 액체 50 리터가 있다. 매분 10 리터가 들어와 2 그램의 염분을 포함하며, 10 리터가 나간다. $M$가 염분 질량(그램)이고 $t$가 시간(분)이라면, 유출은 분당 $10(M/50)=M/5$ 그램을 제거한다.
• 미분 방정식은 $M'=2-M/5$이다. 이는 함수와 그 변화율을 연결한다. 우리는 질량을 구하고 초기 질량을 사용하며 긴 시간이 지난 후의 상황을 검토할 것이다.

1차 방정식을 선형 형태로 변환하기

• 1계 선형 방정식은 $y'+P(x)y=Q(x)$ 형태의 형태를 가진다. 먼저 $y'$의 계수로 나누되, 이 계수가 0이 아닌 구간 내에서 수행한다. 여기서 primes(초음)는 독립 변수에 대한 미분임을 의미한다.
• For $2xy'-4y=2x^3$, division gives $y'-2y/x=x^2$, so $P=-2/x$, not $-4$. Use an interval such as $x>0$; do not extend the result across $x=0$ without checking the original equation.

곱의 미분법에서 적분 인자를 구성하기

• 우리는 $\mu y'+\mu Py=(\mu y)'$를 원한다. 곱의 미분법은 $\mu'=P\mu$을 요구하므로, 적분 인자 $\mu=e^{\int P\,dx}$를 얻는다. 0이 아닌 임의의 상수 배수는 모두 유효하므로 가장 간단한 것을 선택하라.
• 모든 항에 $\mu$을 곱한 후 적분하고, $\mu$로 나눈다. 일반해에는 하나의 임의 상수를 남긴다:

대수적 적분 인자 예제 완성하기

• $y'-2y/x=x^2$이 $x>0$일 때, $\mu=e^{-2\ln x}=x^{-2}$를 선택한다. 곱하면 $(x^{-2}y)'=1$이 되며, 이는 $x^2$가 아니다.
• 적분하여 $x^{-2}y=x+C$을 얻으므로, $y=x^3+Cx^2$이다. 만약 $y(1)=2$라면, $C=1$과 $y=x^3+x^2$가 되며, 치환을 통해 $2xy'-4y=2x^3$을 구할 수 있다.

적분 인자가 표준 적분을 드러내도록 하기

• $y'-\dfrac{x+2}{(x+2)^2+9}y=1$을 고려하자. 여기서 $y(1)=0$이다. 분자는 분모의 미분의 절반이므로, 따라서 $\mu=((x+2)^2+9)^{-1/2}$이며

• 전 주제에서 다룬 역쌍곡선 적분을 사용한다. 초기 조건이 상수를 결정한다:

여기서 $\sinh^{-1}$은 역쌍곡선 사인을 의미하며, 역수가 아니다.

주어진 구간에서 쌍곡선 인자를 사용하기

• $y'+y\coth x=\cosh x$이 $x>0$일 때, $\int\coth x\,dx=\ln(\sinh x)$이다. $\mu=\sinh x$을 선택하면, $(y\sinh x)'=\sinh x\cosh x$가 된다.
• 따라서 $y\sinh x=\tfrac12\sinh^2x+C$과 $y=\tfrac12\sinh x+C\operatorname{csch}x$이다. 만약 $y(\ln2)=1$라면, $\sinh(\ln2)=3/4$을 사용하여 $C=15/32$를 구할 수 있다. 방정식 자체는 $x=0$에서 정의되지 않는다.

종속해결식과 특해 부분을 분리하기

• 선형 방정식 $L[y]=f(x)$의 경우, 종속함수(CF)는 $L[y]=0$을 풀어야 한다. 특수적분(PI)은 $L[y]=f(x)$의 임의의 한 해이다. 선형성에 의해 $y=\mathrm{CF}+\mathrm{PI}$이 성립한다.
• 이 원리는 1계에서도 적용된다: $y'+2y=e^x$의 경우, CF는 $=Ce^{-2x}$이고 PI는 $=e^x/3$이다. 특수해는 임의 상수가 결정된 완전한 해를 뜻하며, PI의 다른 이름이 아니다.

세 가지 종속해결식의 형태 모두 찾기

• 상수 계수를 가진 $ay''+by'+cy=0$과 $a\ne0$에 대해, $y=e^{mx}$을 대입하면 보조 방정식 $am^2+bm+c=0$이 된다. 두 개의 독립된 항을 사용하되, 중근이 있을 경우 추가된 $x$를 포함해야 한다.
• 이 예제들은 서로 다른 근, 중근, 그리고 복소 공변근을 다룬다:

다항함수 특해에 있는 모든 항을 일치시키기

• $y''+y'-2y=2x^2+3x+1$에 대해 $y_p=ax^2+bx+c$을 시도하십시오. 오른쪽에서 생략된 경우에도 모든 낮은 차수를 포함하십시오. $y_p'=2ax+b$과 $y_p''=2a$를 대입하십시오.
• 최고차부터 시작하여 계수를 맞추십시오:

따라서 $a=-1$, $b=-5/2$, $c=-11/4$ 및 $y_p=-x^2-5x/2-11/4$입니다.

지수함수를 시도하고 그 도함수를 대입하기

• $y''+2y'+5y=4e^{-x}$에 대해 $y_p=ke^{-x}$을 시도하십시오. 이 함수의 미분은 $-ke^{-x}$과 $ke^{-x}$이므로, $(1-2+5)ke^{-x}=4e^{-x}$과 $k=1$가 됩니다.
• 이를 복소근 CF와 결합하십시오. $y(0)=y'(0)=0$인 경우 전체 해는 $y=e^{-x}(1-\cos2x)$입니다. 미분 조건에는 PI 미분뿐만 아니라 CF 미분도 포함되어야 합니다.

시도 해결식에 사인과 코사인을 모두 포함하기

• $y''+2y'+2y=2\sin2x+6\cos2x$에 대해 $y_p=a\sin2x+b\cos2x$을 시도하십시오. 강제항이 하나만 있어도 미분은 두 함수를 혼합합니다.
• 대입과 계수 매칭을 통해 다음을 얻습니다:

그러므로 $y_p=\sin2x-\cos2x$이며 전체 해에 $e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$이 추가됩니다.

이미 종속해결식에 포함된 시도를 수정하기

• 시도해가 CF에 포함된 경우 $L$을 적용하면 0이 되어, 비영우변과의 계수 매칭이 불가능합니다. 시도해를 CF와 독립적이 되도록 $x$까지 곱하십시오. 이는 시도법에서의 공명 조정입니다.
• $y''+4y=\sin2x$의 경우 $\sin2x$이 CF에 포함됩니다. $y_p=kx\cos2x$을 사용하십시오; 대입하면 $y_p''+4y_p=-4k\sin2x$이 되므로 $k=-1/4$입니다. 따라서 PI는 $=-x\cos2x/4$입니다.

x의 거듭제곱을 선택하기 전에 중첩된 횟수 세기

• $y''-4y'+4y=e^{2x}$의 경우 보조근 $2$이 중복됩니다. $e^{2x}$과 $xe^{2x}$이 이미 CF에 포함되어 있으므로 시도해는 $y_p=kx^2e^{2x}$입니다.
• 미분하고 대입하면 $y_p''-4y_p'+4y_p=2ke^{2x}$이 됩니다. 따라서 $k=1/2$이며

낯선 형태라도 제공된 형태를 사용하기

• 문제에서 표준 다항/지수/사인-코사인 목록 외의 PI 형식을 제공할 수 있습니다. 해당 형식을 미분한 후 방정식에 대입하여 계수를 구하십시오. 임의로 다른 가족을 추측하지 마십시오.
• $x>0$ 위의 $y''+y=2/x^3+1/x$에 대한 $y_p=k/x$이 주어졌습니다. $y_p''=2k/x^3$입니다. 대입하면 $2k/x^3+k/x=2/x^3+1/x$이 되므로 $k=1$입니다. 전체 해는 $A\cos x+B\sin x+1/x$입니다.

완전한 해에 조건 적용하기

• $y''+y'-2y=2x^2+3x+1$로 돌아가라. 전체 해는 $Ae^x+Be^{-2x}-x^2-5x/2-11/4$이다. $y(0)=y'(0)=0$를 적용하기 전에 미분하라.
• 주어진 조건은 $A+B=11/4$과 $A-2B=5/2$이므로, $A=8/3$와 $B=1/12$가 된다. 두 개의 독립적인 조건은 보통 두 상수를 결정하지만, 일부 경계 조건은 서로 모순되거나 한 상수가 자유로울 수 있다.

과도 응답과 영구 응답 해석하기

• $y''+2y'+2y=2\sin2x+6\cos2x$의 과도(transient) 항은 $e^{-x}(A\cos x+B\sin x)$이다. 유한한 초기 상수에 관계없이 $x\to\infty$로 갈 때 0으로 수렴한다.
• 영구 반응은 $y\approx\sin2x-\cos2x=\sqrt2\sin(2x-\pi/4)$이다. 진폭(amplitude) 은 $\sqrt2$이고, 각주파수는 $2$이며, $\sin2x$에 대한 위상 지연(phase lag) 은 $\pi/4$이다. 부가 근의 실수부가 양수라면 이 감쇠 논리가 성립하지 않는다.

연쇄 법칙을 사용하여 독립 변수 변경하기

• $x=e^t$일 경우, $Y(t)=y(e^t)$과 $t=\ln x$를 쓰면 $x>0$이 된다. 연쇄 법칙에 의해 $Y_t=xy_x$이 되며, 다시 한 번 미분하면 $Y_{tt}=xy_x+x^2y_{xx}$이 된다.
• 따라서 올바른 대입식은 $x^2y_{xx}=Y_{tt}-Y_t$이며, 단순히 $Y_{tt}$만이 아니다:

변환된 방정식을 풀고 다시 원래 변수로 돌아가기

• $x=e^t$을 $x^2y''-3xy'+4y=x^2$에 사용하라. 변환된 방정식은 $Y_{tt}-4Y_t+4Y=e^{2t}$이며, 방금 구한 중복 공명 해를 포함한다.
• 명시된 조건을 적용하기 전에 원래 변수로 돌아와야 한다. $y(1)=0$과 $y'(1)=1$이므로, $A=0$와 $B=1$가 된다:

y = ux를 사용하여 변수 분리하기

• Given $xy'=y+\sqrt{4x^2+y^2}$ and $y(1)=0$, work on $x>0$ and set $y=ux$. The product rule gives $y'=u+xu'$. Also $\sqrt{x^2(4+u^2)}=x\sqrt{4+u^2}$ on this interval.
• $xu$를 소거한 후 분리 가능한 변수법을 사용하여 적분한다:

조건에 의해 $C=0$이 되므로, $u=2\sinh(\ln x)=x-1/x$과 $y=x^2-1$이 된다. 원래 방정식에서 양의 제곱근 부호를 확인하라.

합 대입으로 분실된 해를 발견하기

• $y'=(1+2x+2y)/(2x+2y-1)$이 주어졌을 때, $z=x+y$을 대입하라. 그러면 $z'=1+y'=4z/(2z-1)$가 된다. $z\ne0$에 대해서는 $(1/2-1/(4z))\,dz=dx$를 적분하라.
• $y(1)=0$과 함께, 국소 분기에는 $z>1/2$이 있으며 결과는 다음과 같다

$z$으로 나누면 개별 해인 $z=0$ 또는 $y=-x$을 잃는데, 이는 이 초기 조건을 만족하지 않는다. 원래 방정식은 $z=1/2$에서 정의되지 않는다.

주어진 수치를 사용하여 모델 문제 해결하기

• 탱크 방정식 $M'+M/5=2$에 대해 적분 인자는 $e^{t/5}$이며, 이는 $M=10+Ce^{-t/5}$를 산출합니다. 초기에는 순수한 액체이므로 $M(0)=0$입니다. 따라서 $M=10(1-e^{-t/5})$ 그램입니다.
• 한계 질량의 절반에 도달하는 시간은 $t=5\ln2$분입니다. $t\to\infty$일 때, 질량은 $M\to10$ 그램이며 유입/유출 염분 속도 모두 분당 2 그램에 수렴합니다. 이 모델은 일정한 부피, 고정된 유입량 및 즉각적인 균일 혼합을 가정합니다.

방법을 선택하고 원래 방정식을 검증하기

• 적분 인자를 선택하기 전에 1차 선형 방정식을 표준형으로 변환하십시오. 일정 계수의 경우 CF를 구하고, PI를 선택 및 확인한 뒤 두 값을 더한 후 모든 조건을 적용하십시오. 주어진 치환의 경우 변수뿐만 아니라 미분값도 변환하십시오.
• 최종 답을 미분하여 원본 방정식에 대입하고 조건을 확인하며, 허용 구간을 유지하고 단위, 한계 또는 모델 가정을 해석하십시오. 올바른 변환된 방정식은 아직 원본 변수에서의 해가 아닙니다.

• 초등함수 항등식과 미분법을 배우고, 적분에서 역초등함수를 사용한다.
• 종속함수 $+$와 특해를 합친 선형 미분방정식을 풀고, 경계 조건을 적용한다.
• 복소수의 거듭제곱과 루트 및 삼각함수 항등식을 유도하는 데 드 무아브의 정리를 사용한다.
• 주어진 치환을 통해 적분을 표준 형태로 환산한다.