AP Calculus BC · Topic 7 · トピック 7
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微分方程式を用いたモデル化
通常は関数を与えられ、その傾きを求められます。微分方程式はその逆です。すべての点における傾きのルールを与えられて、…
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Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.A： 問題の言語的な記述を、導関数式を含む微分方程式として解釈する。
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.
微分方程式は関数とその導関数との関係を表します。多くの現実の事象は変化率で記述されます。「個体数がその大きさに比例して増加する」ことは $\dfrac{dP}{dt}=kP$ となります。言葉での説明から方程式を立てる（何が変化しているか、それに比例的是什么かを特定する）ことが最初のスキルです。
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.B： 微分方程式の解を検証する。
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.
解とは、方程式を満たす関数のことです。検証するには、提案された解を微分して方程式に代入し、両辺が一致するか確認します。一般解には定数 $C$ が含まれ、特殊解は条件から $C$ を固定したものです。
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-7 | FUN-7.C |
|
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.
傾き場は、方程式が示す傾き $\dfrac{dy}{dx}$ を持つ短い線分を多数の点に描きます。解を解くことなく、解曲線の家族を可視化します。スケッチするには、各格子点で右辺を計算し、その傾きの線分を描きます。
A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · 傾き場 は各点における傾き $dy/dx$ を描きます。解曲線は小さな線分常に接しながら通っていき、流れに沿ってスケッチすることができます。
| English | 日本語 |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 微分方程式 |
| slope field/sləʊp fiːld/ | 傾き場 |
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.C： 微分方程式の解を推定する。
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.
解曲線は川の流れに従う船のように、線分に沿って進みます。傾き場から特定の点を通る特殊解をスケッチしたり、長期行動を記述したり、解が平坦になる場所（傾きがゼロに近い場所）を特定したりできます – 図のみから解について推論する能力です。
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.C： 微分方程式の解を推定する。
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:
Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.
Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.
Euler法は、傾き場に沿ってステップを踏むことで数値的に解を近似します。既知の点から始め、小さなステップ $\Delta x$ を取り、更新します：
Exam skill: テーブルから手動でEulerステップを2〜3回実行でき、Euler法が解のconcavityに応じてunder- or over-estimates（過小評価または過大評価）することを知っています。
Worked example. $y(1)$ を近似します。 $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ 、 $y(0)=1$ で、ステップ $\Delta x=0.5$ を使用します。 Step 1: $(0,1)$ での傾きは $0+1=1$ なので、 $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$ です。 Step 2: $(0.5,1.5)$ での傾きは $0.5+1.5=2$ なので、 $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$ です。
| English | 日本語 |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | オイラー法 |
| separable/ˈsepərəbl/ | 変数分離可能 |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初期条件 |
| exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/ | 指数関数的増加または減少 |
| logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/ | ロジスティックモデル |
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.D： 微分方程式の一般解を求める。
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:
Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.
可分微分方程式は、すべての $y$ を片側に、すべての $x$ を他方に置いてから積分できる形に書けます：
Worked example. $\dfrac{dy}{dx}=xy$ を $y(0)=2$ で解きます。可分化すると、 $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ から $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$ となり、したがって $y=Ae^{x^2/2}$ です。条件 $y(0)=2$ から $A=2$ が得られるため、 $y=2e^{x^2/2}$ となります。
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.E： 微分方程式の特解を求める。
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.
初期条件（既知の点、例： $y(0)=5$ ）は定数 $C$ を決定します。一般解を解き、条件を代入して $C$ を見つけ、特殊解を書きます。定義域に注意してください – 特殊解は初期点を含む区間でのみ有効です。
| Enduring Understanding | Learning Objective | Essential Knowledge |
|---|---|---|
FUN-7 | FUN-7.F |
|
FUN-7.G |
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Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields
方程式 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ は、変化率が量に proportional （比例）であることを示しており、指数関数的増減を与えます。変数分離を行うと
y = a·e^(bx) + c
The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · 方程式 $dy/dt=ky$ には 指数関数 的な解があります：量は自身に比例した速度で変化し、無制限の増加（$k>0$）またはゼロへの減少（$k<0$）をもたらします。
Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.
Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY
持続的理解 (FUN-7)： 微分方程式を解くことで、関数を決定し、モデルを作成できる。
学習目標 FUN-7.H: コンテキストにおけるロジスティック成長モデルの意味を解釈する。BC ONLY
Source: College Board AP Course and Exam Description · 出典: College Board AP コースおよび試験説明書
Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:
Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.
実際の成長は資源によって制限されるため、ロジスティックモデルは carrying capacity $L$ を追加します：
** worked example.** $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$ について、環境収容力は $L=2000$ (個体数がそこで一定になる) であり、増殖が最も速いのは $P=\dfrac{L}{2}=1000$ です – これらは方程式からそのまま読み取れます。計算は不要です。
| English | 日本語 |
|---|---|
| carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ | 環境収容力 |
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