重ね合わせ

2つ以上の波が一点で重なるとき、その点における変位は、各波が単独で生じる変位のベクトル和である。これを重畳の原理という。

波は互いに通り抜け、変化なく進み続ける。このトピックにおけるすべての基礎は重畳の原理にある。

2点の記述については：ある点で2つ以上の波が重なり合うとき、合成変位は個々の波の変位の和となる。 加算されるのは振幅や強度ではなく変位であり、同種の波が重なる限りこの原理は適用されます。波は干渉性が必要ではなく、振幅も等しくなくても構いません。

2つの振幅が$A_{1}$と$A_{2}$の波が出会う場合：

• 同位相（山同士が重なる）：振幅は$A_{1} + A_{2}$（建設的干渉）。
• 反位相（山が谷と重なり、位相差$\pi$）：振幅は$|A_{1} - A_{2}|$（消滅的干渉）。
• その他の任意の位相差$\phi$：振幅はその2つの間となる。

強度については、$I \propto A^{2}$。位相の揃った2つの等しい波が重なり合い、強度は$(2A)^{2} = 4A^{2}$となります。これは単独の波1つ分の強度の4倍です。

$I \propto A^{2}$であるため、まず振幅で計算する。強度が$I$と$4I$の2つの波は、振幅が$A$と$2A$である：位相が揃って重畳すると振幅が$3A$、強度が$9I$となり、反位相で重畳すると振幅が$A$、強度が$I$となる。したがって、異なる強度を持つ2つの干渉波は完全に打ち消し合うことはなく、極小値の強度は$(A_{2} - A_{1})^{2}$であり、ゼロではない。振幅が$2A$の波が、反対方向に進む振幅$A/2$の波と出会うと、$2.5A$と$1.5A$の間で変動する合成波が生じ、真正な節を持たない定常波となる。位相が揃って出会う2つの等しい波のうち一方の振幅を倍にすると、合成波は$2A$から$3A$となり、強度は$4A^{2}$から$9A^{2}$に上昇する：$2.25$倍である。

2つの同一の進行波が反対方向に進み、重なると定在波が形成されます。例：固定端で反射した弦上の波が入射波と重なる；閉端で反射する空気柱内の音波；発振器と金属板の間の電子線。

定在波がどのように形成されるかを説明せよ（弦、空気柱、電子線のいずれの場合でも3〜4点問われる）：源からの波が遠端（壁、閉端、金属板）へ進み、反射されます。入射波と反射波は同じ周波数、波長、速さを持ち、反対方向に進みます。重なる領域で干渉（重ね合わせ） occurs；常に同位相で重なる点では変位が加算され最大振幅となる腹（アンチノード）が、常に逆位相で重なる点では互いに打ち消し合い節（ノード）が形成されます。「条件を述べよ」の場合：同じ種類の波2つ、同じ周波数（および波長）と速さを持ち、同じ直線上で反対方向に進むもの；節の振幅が零になるためには、振幅も等しい必要があります。電子線の実験における金属板は、波を元の経路に戻して反射させるためにあります。

節と腹

定在波において：

• 節（ノード） — 常に変位が零である点（2つの波が常に打ち消し合う）。隣り合う節の距離は $\lambda/2$ 。
• 腹（アンチノード） — 最大振幅を持つ点（2つの波が常に加算される）。隣り合う腹の距離は $\lambda/2$ 。
• 節と次の腹の距離は $\lambda/4$ です。

2つの節の間にある粒子は互いに同位相で振動しますが、振幅は異なります（腹で最大、節で零）。節の両側にある粒子は逆位相で振動します（位相差は $\pi$ ）。

So the phase difference between two points on the same loop (between adjacent nodes) is $0°$; between points on neighbouring loops it is $180°$; and between points on loops separated by one whole loop it is $0°$ again. Every point reaches its maximum displacement at the same instant and passes through zero at the same instant. A sketch of the string a quarter of a cycle after the instant of maximum displacement is a straight line along the rest position; half a cycle later it is the mirror image of the first sketch. In one period a particle at an antinode travels four amplitudes, so a particle that moves $72\ \text{mm}$ in one and a half periods has an amplitude of $12\ \text{mm}$.

** worked example.** 両端が固定された長さ $0.80\ \text{m}$ の弦が基本モードで振動しており、波の速さは $240\ \text{m s}^{-1}$ です。基本周波数を求めよ。

1つのループが弦に収まるので、$\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$ 。したがって

定在波と進行波の違い：進行波は長さ方向にエネルギーを伝搬させ、パターンが移動しますが、定在波はエネルギーを伝搬させず、パターンも移动せず、節は固定されています。進行波は全地点で同じ振幅を持ちエネルギーを運ぶのが特徴です。答案で挙げられている3つの違いは以下の通りです。進行波はエネルギーを伝搬させるが定在波はしない；進行波ではすべての点の振幅が等しいが、定在波では節で零から腹で最大まで振幅が変化します；進行波では隣り合う点の位相が異なるが、定在波では2つの節間のすべての点が同位相である。

節間隔からの波長測定

振動子で周波数 $f$ で弦を駆動し、定在パターンの出現を確認します。離れ離れた2つの節間の距離を測定し、その間に含まれる半波長の数で割ります。そうすれば $\lambda$ が求まり、$v = f\lambda$ を用いて波の速さを計算できます。

片側が閉じ他方が開いている管（共鳴管）の場合、閉端は変位の節、開端は変位の腹となります。基本モードでは $L = \lambda/4$ 、次の共鳴は $L = 3\lambda/4$ 、というように続きます。両端が開いている管の場合、両端とも腹であり、基本モードは $L = \lambda/2$ です。

The general rule: a closed end is a node and an open end an antinode, and a string fixed at both ends has a node at each end. So a closed pipe fits an odd number of quarter-wavelengths ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), while an open pipe and a fixed string fit whole half-wavelengths ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); a pipe open at both ends with $n$ nodes has $n + 1$ antinodes. Frequencies follow from $f = v/\lambda$: a closed pipe whose lowest note is $820\ \text{Hz}$ has $\lambda = 4L$, and a corridor $13.2\ \text{m}$ long with a reflecting door at each end resonates lowest at $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.

** worked example.** 長さ$0.51\ \text{m}$の管の片側を開端とし、もう片側を閉端としたとき、開端にあるスピーカーによって2つの節と2つの腹を持つ定在波が生じる。波長を求め、さらに$v = 340\ \text{m s}^{-1}$を用いて周波数を求めよ。

2つの節と2つの腹は、一端が閉じた管の第2モード（$L = 3\lambda/4$）であるため、$\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ および $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$ となる。この管で共振できる最も長い波長は$4L = 2.0\ \text{m}$である。

カリキュラムで指定されている実験はすべて、節または腹の間隔からの$\lambda$を測定する。共鳴管では、水から管を引き上げながら、開端でスピーカーまたは調音針を鳴らす；最初の高調波で音が急激に大きくなり、そのとき空気柱は$\lambda/4$の長さとなり、次に$3\lambda/4$でも再び大きくなる。したがって、管は2つの中点間で$\lambda/2$移動する（学生は機器を必要とせず、高調波が聞こえれば共振を検出できる）。ダストチューブでは、微細な粉体の変位節に山状に沈殿し、$\lambda/2$間隔で配置される。マイクロ波では、送信機と金属反射板の間のライン上レシーバーを動かすと、every $\lambda/2$ごとに最小値を読み取る。最小値から始まり、$1.05\ \text{m}$の間にさらに6つの最小値通过的したレシーバーは、$3\lambda$を横切ったことになる。したがって、$\lambda = 0.35\ \text{m}$ であり、同等の音の実験における$v = 340\ \text{m s}^{-1}$を用いると、$f = 970\ \text{Hz}$ となる。電子レンジ内の定在波は腹でチョコレートを溶かし、$\lambda/2$間隔で配置される。したがって、スポット間隔と電子レンジの周波数（$2.45\ \text{GHz}$）から、$c = f\lambda$ を用いて光速を求めることができる。

回折とは、波が隙間を通り或通过障碍物の周囲を通過した後に広がる現象である。すべての波（水、音、光、マイクロ波）は回折する。

2点採点問題「回折の意味を述べよ」に対して：障壁の隙間（開口部）を通る、あるいは障害物の縁を回り込む際に波が広がること。これにより波の進行方向は変わるが、速度、周波数、波長は変わらない。

広がりの程度は、波長と隙間の幅の比に依存する：

• 隙間が$\lambda$よりはるかに広い：ほとんど広がらず、波はほぼまっすぐ進む。
• 隙間が$\lambda$とおおよそ同じ大きさの場合：大きな広がりが見られ、波は扇状に広がる。
• 隙間が$\lambda$より小さい：非常に強い広がりを見せ、隙間はほぼ点源として振る舞う。

これをリップルタンク内の水波で示すことができます。直進する波が隙間のある障壁に出会い、隙間を狭くするほど波がより大きく湾曲します。同じ原理により、角の向こうにいる人の声（音声の波長は$\lambda$程度で1m付近、隙間のサイズに近い）は聞こえますが（回折による）、目に見えません（可視光の波長は$\lambda \sim 500\ \text{nm}$で、隙間のサイズよりはるかに小さいため）。

最大限の回折を得るには、隙間の幅は1波長程度にするべきである。したがって、特定の波の回折を増やすには隙間を狭くするか、特定の隙間に対してはより長い波長（＝低い周波数）を使う。波長$1.5\ \text{km}$のラジオ波は山の周囲を回折して背後のアンテナに到達するが、波長$1.5\ \text{cm}$のマイクロ波は回折しない。空気中の音波で周波数$0.44\ \text{kHz}$の場合、波長は$\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$であり、約$0.75\ \text{m}$の物体が最も回折させる。ドアの幅が$0.80\ \text{m}$の場合、低周波成分が最も大きく広がる。隙間の幅を複数の波長にしたり、周波数を上げたりすると、回折は減少する。

干渉とは、2つのコヒーレント波が重ね合わさって、振幅の大きい領域（建設的干渉）と振幅の小さい領域（破壊的干渉）が安定したパターンとして現れることである。

コヒーレンス

2つの波源がコヒーレントであるとは、一定の位相差を持つ波を放出していることを意味する（同様の周波数も必要となる）。別々のランプはコヒーレントではない。位相がランダムに変化するため、干渉パターンが速く点滅し、目には平均的な明るさしか認識できない。

1点定義：同相波とは位相差が一定であり、これは同じ周波数を必要とする。互いに位が揃っている必要はない：$180°$だけ隔たった2つの同相源から放射される光は、中央の線が最小値となるパターンを生む。2つの独立したレーザーや、ランプとレーザーは、たまたま周波数が一致していても非同相であるため、安定したパターンは形成されない。

単一光源から同相光を得るには、二重スリット装置内の2つのスリットを通過させる。両方のスリットは同一の波面によって照らされるため、2つの光線は固定された位相関係を保ち続ける。

明瞭なパターンの条件

2光源の干渉縞を見るには以下が必要である：

1. 2つの同相源（一定の位相差）。
2. およそ等しい振幅（否则、暗部が十分に暗くならない）。
3. 観測する位置で波が重なっていること。
4. 光（横波）の場合、同じ偏光面を持つこと。

実際には、光に対して：単一スリット（またはレーザー）が2つのスリットを同相にし、スリットが狭いため各スリットで回折が生じ、2つの光線が重なる領域に光が広がります。また、スリット同士は近接しておりスクリーンは遠方にあるため、干渉縞が十分に広く視認可能になる。

経路差

2つの同相源において、ある点での現象は、その点に到達する2つの波の間の経路差 $\Delta x$によって決まる：

• 建設的干渉：$\Delta x = n\lambda$（整数 $n = 0, 1, 2, \ldots$ の場合）。
• 消滅的干渉：$\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$。

経路差は位相差を決定する：経路が1波長であることは$360°$に相当する。波長$8.0\ \text{cm}$の位相同一の源からそれぞれ$100\ \text{cm}$と$80\ \text{cm}$進んだ波は、経路差$2.5\lambda$、位相差$180°$となり打ち消し合う。波長$4\ \text{cm}$の電波で経路が$6\ \text{cm}$（$1.5\lambda$）異なる場合は最小値となり、2つの振幅が等しい場合に限り強度はゼロになる。両方の源の周波数を等しく下げると波長が長くなり、同じ経路差はより少ない波数の分となるため、その点はもはや最小値ではなくなる。

二重スリット（ヤングの実験）

距離$a$だけ隔たった2つのスリットがあり、スクリーンまでの距離が$D$である（$D \gg a$ が成り立つと仮定する）。波長$\lambda$の光を用いると、スクリーン上に干渉縞が現れる。

縞間隔 $x$（1本の干渉縞から次のものまで）は

明縞（最大値）は、経路差が整数波長$\lambda$の倍数となる場所であり、暗縞（最小値）は$(n + \tfrac{1}{2})\lambda$となる場所である。縞は等間隔に並ぶ。

縞間隔を小さくするには：$a$を増加させる（スリット間隔を広げる）、$D$を減少させる（スクリーンを近づける）、またはより短い$\lambda$を用いる（青い光にする）。

明暗の干渉縞パターンが形成される理由を説明せよ（3点）：光は各スリットで回折し、2つの回折光線が重なり合い干渉する。2つのスリットからの経路差が整数波長の場合、波は位相を揃えて到達し建設的に干渉して明縞を生み、半波長の奇数倍の場合、位相反転して到達し消滅的に干渉して暗縞を生む。明るい光源では明縞が明るくなるが縞間隔は変わらない。青い光にすると縞間隔が小さくなるため、同じ間隔を維持するにはスリットを近づける必要がある。各スリットを狭くすると回折が大きくなり、縞間隔は変わらず広い範囲に縞が広がる。

計算例。 二重スリット実験において、スリット間隔が$0.50\ \text{mm}$、波長$600\ \text{nm}$の光で照明されている。スクリーンまでの距離が$2.0\ \text{m}$である。縞間隔を求めよ。

計算例。 波長$680\ \text{nm}$の赤色光が、間隔$0.16\ \text{mm}$のスリットに当たっている。第1暗縞と第9暗縞の中心間の距離が$3.2\ \text{cm}$である。スクリーンまでの距離$D$を求めよ。

8個の縞間隔で$3.2\ \text{cm}$となるため、$x = 4.0\ \text{mm}$および$D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$となる。パターンを中心に幅$5.0\ \text{cm}$のスクリーン上で、$x = 2.4\ \text{mm}$の場合、中央の縞の左右それぞれに10本ずつ明縞が収まり、合計で$21$本となる。$x$対$a$のプロットは$1/a$として減少する曲線であり、$x$対$\lambda$（または$D$）のプロットは原点を通る直線となり、傾きは$D/a$（または$\lambda/a$）であることから、$a$を求めることができる。

回折格子は、多数の等間隔スリットを持つ——通常、ミリメートルあたり数百〜数千本である。各スリットはコヒーレント源となる。格子の法線に対して角度$\theta$の位置で最大値が観測されるのは

ここで、$d$はスリット間隔（中心間）、$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$は級数、$\lambda$は波長である。

** worked example. ** 波長$600\ \text{nm}$の光を格子の法線方向に当てたとき、格子にはミリメートルあたり$500$本の線がある。第1次の（$n = 1$）最大値の角度を求めよ。

スリット間隔は$d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$であるため、

二重スリットと比較して、格子はより多くのスリットが加算されるため、はるかに鋭い最大値を示す。他のすべての方向では多くのスリットによって打ち消し合うからである。

格子での回折の説明： 光はすべてのスリットで広がり（回折）し、すべてのスリットからの波が重なり合う。隣接するスリット間の経路差が波長の整数倍となる方向では、すべての波が同位相となり、鋭い最大値が形成され、その間にはほとんど何も生じない。強度対角度のプロットは、$\theta = 0$および$\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$（ただし$\sin\theta_{n} = n\lambda/d$）における狭いピークの集合となる。$\sin\theta$では等間隔であるが、$\theta$では高次の順でわずかに離れる。

** worked example.** 波長 $680\ \text{nm}$ の光を、 $450$ 本/mm の回折格子に垂直に入射させる。第2次明紋2つの間の角度を求めよ。

$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$、したがって$\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$および$\theta_{2} = 37.7°$；2次のビーム2つは$2\theta_{2} = 75°$だけ離れています。

「mmあたりの本数」からすきまの間隔を求める

もし格子にミリメートルあたり$N$本の線があるなら、$d = 1/N$ミリメートルは$= 10^{-3}/N$メートルに相当する。ミリメートルあたり$450$本の線の場合、$d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$となる。

最高順番

特定の格子と波長に対して、$\sin\theta = n\lambda/d$は$1$を超えることはできないため、観測される最高順番は

$d/\lambda = 3.27$の場合、$n = 3$までの順番が存在しますが、$n = 4$は$\sin\theta > 1$を必要とするため観測されません。

したがって、広いスクリーン上の明紋総数は $2n_{\text{max}} + 1$ である：$700\ \text{nm}$ 光、 $400$ 本/mm に対し、 $d/\lambda = 3.57$ なので、 $n_{\text{max}} = 3$ であり、7本のビームが見える。短い波長ほど小さな角度で多くの順位が出る。白色光では零次以外のすべての順位はスペクトルとなり、紫が中心近く、赤が最も外側にある。これは $\theta$ が $\lambda$ とともに大きくなるためであり、零次は白のまま残る。2つの波長が同じ角度で最大となるのは $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$ のとき：$400\ \text{nm}$ の第3次順位は $600\ \text{nm}$ の第2次順位と重なる。

格子を用いた$\lambda$の測定

未知波長の平行光を格子に垂直に入射させる。中心から第1次極大までの角度$\theta_{1}$を測定する。これにより$\lambda = d \sin\theta_{1}$が得られる。高次の順でも同様の測定を行い平均をとることで誤差を減少できる。

両側の1次最大値の間の角度を測定し、2で割ると、ゼロ点設定誤差が相殺されます。高次の回折はより大きな角度を与えるため、パーセント不確かさが小さくなります。また、複数の回折について $\sin\theta$ 対 $n$ をプロットすると原点を通る直線となり、その傾きは $\lambda/d$ です。したがって $\lambda = Gd$（あるいは波長が既知の場合、$d = \lambda/G$）が求められます。2つの条件が正しくなければなりません：$\theta$ は格子の法線に対して測定され、表面に対してではありません。また、$d$ は隣接する線間距離であるため、$400$ 線/mm は $d = 2.5\ \mu\text{m}$ に相当し、$400$ とは異なります。

源の位相と経路の位相

コヒーレントな源は一定の位相差を持ち、必ずしも同位相で放射する必要はない。観測点における位相差は、初期の源の位相と経路差による位相変化の和として表される。一貫した符号則を用い、結果を$360^\circ$で剰余算せよ。

遅延する第2の源に対して、$\delta_{\text{arrival}}=\delta_{\text{source}}+360^\circ(r_2-r_1)/\lambda$。360° の倍数で最大値；180° を ⟨mod 360°⟩ で割った余りで最小値（振幅が等しい場合のみゼロ）。

** worked example.** 源が 180° 離れて放射している。追加された経路差が $\lambda/2$ を加えると、到着時に 180° が生じ、360° となる：最大値であり、最小値ではない。波動面図において、2つの山頂の交わる点は最大値、山頂と谷の遭遇する点は最小値である。

重なり合う次数とスクリーンの測定

異なる2つの波長が同じ方向に最大値を示すのは $n_1\lambda_1=n_2\lambda_2$ のときである。例えば、2次の 600 nm と3次の 400 nm が重なり合うのは、$n_1\lambda_1=2\times600=1200\ \text{nm}$ かつ $n_2\lambda_2=3\times400=1200\ \text{nm}$ だからである。

スクリーンの法線方向に距離$L$離れた位置で回折格子の階数を測定する場合、そのずれ$y$から$\theta=\tan^{-1}(y/L)$が得られる。その後、$d\sin\theta=n\lambda$を適用する。この幾何学的配置は小角度近似における二重スリットによる干渉縞間隔の関係とは異なる。

音の干渉の実験演示

同一信号発生器から2つのスピーカーを駆動し、波の周波数を揃えて一定の源位相差とする。オシロスコープまたは音圧レベル表示器に接続したマイクを、重なり合う音場内を移動させる。信号振幅が交互に大きく小さくなる様子が、建設的干渉と破滅的干渉を示す。振幅が大きい位置では到達位相が一致しており、振幅が小さい位置では位相が反対になる。マイクの位置を変えると経路差が変わる。同一の公称周波数を持つ無関係なスピーカーは、コヒーレンスを維持するとは限らない。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• 2源干渉：建設的（増強）進路差が$= n\lambda$の場合、破壊的（相殺）進路差が$= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$の場合；源は位相整合性でなければならない。
• 二重スリット：$\lambda = ax/D$；回折格子：$d\sin\theta = n\lambda$ — 記号をすべて理解すること。
• 定在波上に節と腹を示し、隣接する節の間隔は$\lambda/2$である；エネルギーを蓄えるが移動させない。
• 定在波は同じ周波数で互いに逆向きに伝搬する2つの波が必要である。

一般的なミス

• 重ね合わせの原理における振幅や強度の加算。変位は加算され、強度は合成振幅の二乗から導かれる。
• "Adjacent nodes are one wavelength apart." Half a wavelength; a node to the next antinode is a quarter.
• $d =$本/mmの回折格子を$d\sin\theta = n\lambda$に用いる。逆数をとると：$d = 10^{-3}/N$mとなる。
• 格子の表面から$\theta$を測定するか、2つの1次ビーム間の角度が$2\theta_{1}$であることを忘れる。
• 位相整合性を「位相が揃っている」と書く。位相整合性は一定の位相差を意味し、源が完全にずれている場合もある。
• 源を明るくすると縞間隔が変わると言うか、狭いスリットが間隔を変えると言う。明るさとスリットの幅はコントラストと可視化される縞の数を変えるだけで、$x = \lambda D/a$を変えない。