交流

交流 (a.c.) は常に方向を反転させる。家庭用電源は正弦波交流であり、時間に対して正弦波に従う $I$ または $V$ である：

(純抵抗負荷の場合、電圧と電流は位相が揃っているが、これは本シラバスにおける場合である。)

重要用語

• 周期 $T$ — 1周期分の時間。単位：s。
• 周波数 $f$ — 秒あたりの周期数；$f = 1/T$。家庭用電源は一般的に $50\ \text{Hz}$ または $60\ \text{Hz}$ である。
• 角周波数 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$。
• peak value $I_{0}$ or $V_{0}$ — the largest value in a cycle (also called the amplitude).
• ピーク・トゥ・ピーク値 $2 I_{0}$ — $+I_{0}$ から $-I_{0}$ まで。オシロスコープを読む際に有用である。

The two-mark definitions. The frequency of an alternating current is the number of complete cycles per unit time (say "per second" or "per unit time", and "complete cycles" or "oscillations"). The period is the time for one complete cycle, and the peak value is the maximum value of the current or voltage during a cycle. Note that the mean value of a sinusoidal current over a cycle is zero, which is exactly why the r.m.s. value is needed to describe it.

式を読み解く。 $V = V_{0} \sin(\omega t)$ において、前の数字が最大値であり、$t$ を乗算する数字が $\omega = 2\pi f$ である。角度 $\omega t$ はラジアンなので、計算前に電卓をラジアンモードに設定する。$\cos$ が $\sin$ の代わりに書かれている電源波形は、同じ波だがゼロからではなく最大値から始まるものである。

** worked example.** 電源出力が $V = 320 \sin(100\pi t)$ (ボルト、秒) である。最大値、周波数、周期、r.m.s.値を求め、さらに $t = 0$ 後の最初の時刻で $V = 160\ \text{V}$ となる時の値を求めよ。

ピーク$V_{0} = 320\ \text{V}$。$\omega = 100\pi\ \text{rad s}^{-1}$、したがって$f = \omega/2\pi = 50\ \text{Hz}$および$T = 1/f = 0.020\ \text{s}$。$V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$。$V = 160\ \text{V}$の場合：$\sin(100\pi t) = 0.5$、したがって$100\pi t = \pi/6$および$t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$。（$V = 18\cos(40\pi t)$については同じ読み取りで$V_{0} = 18\ \text{V}$、$f = 20\ \text{Hz}$、$T = 50\ \text{ms}$が得られ、$+18\ \text{V}$から始まるグラフを描く。）

CROトレースの読み取り

他の波と同様（トピック7）、陰極線オシロスコープを用いて：

• 横方向の目盛り × タイムベース → 周期$T$、したがって$f = 1/T$。
• 垂直目盛り × $y$-ゲイン → 最大電圧 $V_{0}$（中心から最大値まで測定するか、ピーク・トゥ・ピークから半分に分割する）。

抵抗性負荷 $R$ について、瞬間的な電力は $P(t) = I(t)^{2} R$ である。$I = I_{0}\sin(\omega t)$ を用いると：

This is always positive, with peak $I_{0}^{2} R$ and minimum zero, oscillating at twice the frequency of $I$. The mean of $\sin^{2}(\omega t)$ over a cycle is $\tfrac{1}{2}$, so the average power is

抵抗器への平均交流電力は最大電力の半分である。

「計算によって平均電力が最大電力の半分であることを示せ。」 最大値が $12\ \text{V}$ の電源が $680\ \Omega$ の抵抗器を駆動する。最大電力：$P_{0} = V_{0}^{2}/R = 12^{2}/680 = 0.212\ \text{W}$、電圧が最大値にある瞬間の瞬間電力。平均電力：r.m.s.値 $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$ を用いるので、$\langle P \rangle = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 8.49^{2}/680 = 0.106\ \text{W}$ となり、ちょうど半分となる。2つの計算は別々に行う必要がある。「$0.212$ の $\tfrac{1}{2}$」と書くだけでは得点できない。なぜなら、それは証明すべき事柄そのものだからである。$\tfrac{1}{2}$ は $(1/\sqrt{2})^{2}$ である：r.m.s.の係数を二乗すること。

r.m.s.電流 $I_{\text{r.m.s.}}$ は、同じ抵抗 $R$ において同じ平均電力を与える一定の直流である。$\langle P \rangle = I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$ より：

** worked example.** 交流電源の最大電圧が $12\ \text{V}$ である。その r.m.s.電圧を求めよ。

$\sqrt{2}$ という名前は root-mean-square に由来する：$I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle I^{2} \rangle}$ および $\langle \sin^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}$。（正弦波の場合のみ必要である。）

2点満点の定義。 交流のr.m.s.値とは、同じ抵抗器で同じ（平均）電力を消費する直流（定常流）の値である。「発熱効果に言及して」とは、まさにこの文の意味である：同じ抵抗器、同じ電力（または同じ発熱）、直流である。「$I_{0}/\sqrt{2}$」とだけ書かれた定義では得点はゼロである。なぜなら、その数式は正弦波の場合にのみ成り立つからである。

** worked example（非正弦波）。** 各周期の前半で$+2.0\ \text{A}$、後半で$-1.0\ \text{A}$の電流が抵抗器を流れる。これは正方形波である。そのr.m.s.値と、$10\ \Omega$の抵抗器における平均電力を求める。

電流を二乗する：$4.0\ \text{A}^{2}$の間と$1.0\ \text{A}^{2}$の間でそれぞれ二乗するため、平均二乗値は$(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^{2}$となり、$I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$となる。平均電力は$= I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$である。電流の符号は発熱に影響しない（二乗されるため消滅する）ので、$I_{0}/\sqrt{2}$では正解が得られず、$1.4\ \text{A}$となる：この簡易法は正弦波に限定される。

なぜr.m.s.が重要か

表記される交流値はすべてr.m.s.値である。「$230\ \text{V}$ mains（家庭用電源）」とは$V_{\text{r.m.s.}} = 230\ \text{V}$を意味し、ピーク値は$V_{0} = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$である。部品はr.m.s.ではなくピーク値に耐えうるものを選ぶ必要がある。平均電力は直流の形式で表される：

** worked example。** 抵抗が$50\ \Omega$のヒーターが$230\ \text{V}$ r.m.s.の家庭用電源に接続されている。r.m.s.電流と消費される平均電力を求める。

** worked example。** r.m.s.値が$4.2\ \text{V}$、周波数が$50\ \text{kHz}$の正弦波電源が$150\ \Omega$の抵抗器に接続されている。ピーク電流、平均電力を求め、電流の方程式を記せ。

$V_{0} = 4.2\sqrt{2} = 5.9\ \text{V}$なので、$I_{0} = V_{0}/R = 5.9/150 = 0.040\ \text{A}$となる（あるいは$I_{\text{r.m.s.}} = 4.2/150 = 0.028\ \text{A}$から$\times\sqrt{2}$へ）。平均電力は$= V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 4.2^{2}/150 = 0.12\ \text{W}$。$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5.0 \times 10^{4} = 3.1 \times 10^{5}\ \text{rad s}^{-1}$を使うと：$I = 0.040 \sin(3.1 \times 10^{5} t)$（アンペア、秒）となる。2つの系列を明確に分けること：ピーク値は方程式や部品の定格に用い、r.m.s.値は電力計算に用いる。

整流とは、ダイオード（片側方向にしか導通しない素子）を使って交流電圧を単方向（直流のような）電圧に変換することである。

「整流を何と言っているか述べよ。」 交流電流（または電圧）を直流電流（または電圧）に変換すること: どれだけ変動しても、常に一方向に流れるもの。 ダイオードは順方向バイアス時（すなわち、シンボルの三角形の平らな端であるアノードが棒状のカソードより正の電位が高いとき）のみ導通する。 otherwise（それ以外の場合）は逆方向バイアスとなり、開回路スイッチのように振る舞う。理想的とする：片側は零抵抗、他方は無限大抵抗。

半波整流

負荷との直列に単一ダイオードを配置すると、各周期の正の半周期のみを通す。負の半周期ではダイオードは逆バイアス状態となり、電流は流れない。これを半波整流という。

出力：正の半周期波形に、平坦なゼロ区間が含まれる。平均出力は$V_{0}/\pi \approx 0.32 V_{0}$。欠点：入力の半分が無効化され、出力が非常に不均一である。

回路の完成。「図を完成させて半波整流を実現せよ」という問題には、電源と負荷の間に直列にダイオードを1つ配置し、三角形の矢印は出力電流の流向を指し、$V_{\text{OUT}}$を負荷両端から取る必要があります。出力を平滑化するコンデンサがある場合、それは**負荷両端（並列）**に接続されます。直列に接続すると直流成分が完全に遮断されてしまいます。

全波整流（ブリッジ整流器）

ブリッジ整流器は4個のダイオードを用い、交流端子のどちらが正であっても、負荷を流れる電流の向きは常に一定となるように配置されている。これにより全波整流が可能となる。各半周期で異なるダイオードの対が導通するが、負荷には常に同じ向きの電流が流れる。

ブリッジの解説（標準4点問題）。 端子Pが正の場合、電流はPを出て、Pから遠ざかる方向を指すダイオードを通り、負荷の上部に至り、負荷内を下に流れ、Qに向かうダイオードを通じてQに戻る。他の2個のダイオードは逆方向バイアスであり、電流は通らない。Qが正の場合は別の対が導通するが、配置上、電流は依然として負荷の上部から入り込む。両半周期を通じて負荷電流は同じ向きである。各半周期でどのダイオードが導通するかを名付け、負荷のどの端が正か述べよ。

ブリッジの完成。 二極体が欠落しているブリッジ回路において、すべての二極体について次のルールを思い出す： conventional current（正電流）は三角形の方向に流れる。正の出力端子に接続された両方の二極体はその端子へ向かって配置され、負の出力端子に接続された両方の二極体はその端子から離れて配置される。逆向きに接続された二極体があるブリッジ回路では、片方のみ半周期で電源が短絡するか、あるいは何も通らない。

Output: a continuous run of positive half-waves (no gaps), at twice the input frequency. The mean output is $2V_{0}/\pi \approx 0.64 V_{0}$ — double the half-wave value. It uses all the input and is smoother and easier to filter.

図の描き方

• 半波整流：交流電源 — 単一的二極体 — 負荷$R$、直列接続。
• 全波ブリッジ：4つの二極体を「ダイヤモンド」の腕のように配置；交流入力を対角線の一方のペアに接続し、負荷$R$をもう一方の対角線ペア間に接続する。二極体の向きにより、入力極性がどちらであっても負荷端子の極性は一定に保たれる。

"State the difference between half-wave and full-wave rectification." In half-wave rectification only one half of each input cycle appears at the output and the other half is blocked (the output is zero for half the time); in full-wave rectification both halves appear, one of them inverted, so there are no gaps and the output has twice the input frequency. A sketch should show, for half-wave, positive humps separated by flat zero sections of equal length; for full-wave, positive humps joined at the zero line.

整流器の出力はまだ凹凸がある。これを滑らかにするには、コンデンサ$C$を負荷$R$に対して並列に接続する。

動作原理

• パルスの立ち上がり部分で、コンデンサはほぼピークまで充電される。
• 立ち下がり部分（およびギャップ）では、二極体は逆バイアスとなるため、コンデンサは負荷を通じて放電し、電流を流れ続ける。電圧は時間定数$RC$（トピック19）に従って低下する。
• 次のピークでコンデンサが再び充電され、サイクルが繰り返される。

出力は現在ピーク付近にあり、小さな谷がある。この谷の大きさがリップルであり（この一連の手順全体を平滑化と呼ぶ）。

** worked example（例題）。** $50\ \text{Hz}$ 電源に供給される半波整流器の負荷$1.2\ \text{k}\Omega$に$470\ \mu\text{F}$ コンデンサが並列に接続されている。ピーク間の出力減少分を推定し、ブリッジ整流器の場合どのように変化するか述べよ。

The peaks are $T = 1/50 = 20\ \text{ms}$ apart (half-wave: one peak per cycle). The time constant is $RC = (1.2 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 0.56\ \text{s}$. Between peaks the capacitor discharges to $V_{0} e^{-t/RC} = V_{0} e^{-0.020/0.56} = 0.965\,V_{0}$, a fall of about $3.5\%$. With full-wave rectification the peaks are $10\ \text{ms}$ apart, so the fall is only $1.8\%$; doubling the capacitance would halve it again. Because $t \ll RC$ the fall is approximately $V_{0}\, t/(RC)$: the ripple is proportional to the time between peaks and inversely proportional to both $R$ and $C$. (A network of capacitors across the output combines by the rules of Topic 19 before it is used here.)

リップルを低減する要因

• より大きい$C$ → 蓄えられる電荷量が増加 → ピーク間の谷が小さくなる → リップルが小さくなる。
• より大きい$R$ → 負荷電流が小さくなる → 放電が遅くなる → リップルが小さくなる。
• higher rectified frequency (full-wave is twice the input) → less time to discharge between peaks → smaller ripple.

要するに、ピーク間時間に対する大きな$RC$ は、滑らかな出力をもたらす。

Sketching the smoothed output. Draw the unsmoothed humps faintly first. The smoothed curve touches each peak, then falls along a gentle curve (steepest just after the peak) until the next hump rises to meet it, where it turns sharply upwards and follows the hump to the peak. It never falls to zero, and it never rises above the peak. For half-wave rectification the decay has to last through the missing half-cycle as well, so the ripple is about twice that of full-wave for the same $RC$. If the question changes $C$ or $R$, redraw on the same axes: a larger $RC$ hugs the peak line more closely; a smaller $RC$ sags further.

目的のまとめ

平滑化コンデンサはリップルを低減し、敏感な電子機器に適した安定した直流電圧を提供する。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• $V = V_{0} \sin\omega t$が$\omega = 2\pi f$ラジアン毎秒の単位を持つ場合: $V_{0}$と$\omega$を方程式からそのまま読み取ります。時間計算にはラジアンモードを使用します。
• $I_{\text{r.m.s.}} = I_{0}/\sqrt{2}$ と $V_{\text{r.m.s.}} = V_{0}/\sqrt{2}$ は正弦波のみに適用され、それ以外の場合には方形波、平均値、平方平均二乗根となる。公称交流電源の値はr.m.s.であり、部品の定格はピーク値である。
• 抵抗器における平均電力は $I_{\text{r.m.s.}}^{2}R = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$ であり、ピーク電力の半分である；平均電流はゼロだが、平均電力はゼロではない。
• One diode in series gives half-wave rectification; a four-diode bridge gives full-wave, with the load current always in the same direction and the output at twice the input frequency.
• スムージング：コンデンサは負荷 Across に接続する；リップルは、より大きな $C$、より大きな $R$（より小さい負荷電流）、および高い整流周波数によって減少する。ピーク間の減衰時間が $V_{0}e^{-t/RC}$ であるためである。
• 形状にはスケッチの注釈があり、ピークラインに触れる山、ゼロに決して到達しない減衰、ハーフ波には平坦なゼロ区間があるが、フル波にはない。

一般的なミス

• 電力計算にピーク値を使用するか、$V = V_{0}\sin\omega t$における振幅として有効値(r.m.s.)を使用するか。
• $\omega = f$ または $\omega = 2\pi/f$ を書く；それは $2\pi f = 2\pi/T$ である。
• r.m.s.値を「ピークを $\sqrt{2}$ で割ったもの」と定義するか、「同じ電力」や「同じ抵抗器」という条件を省略する。
• 方形波や三角波に $I_{0}/\sqrt{2}$ を適用する。
• ダイオードを逆順に描くか、同じ出力端子に接続された2つのダイオードが反対方向を向いているブリッジを描く。
• スムージング用コンデンサを負荷と直列に接続する。
• ピーク間でゼロに下降したり、ピークより上に描かれた平滑化出力。
• 負荷抵抗が大きいほど、リップルは小さくなる（放電が遅れる）。大きくならないことに注意。
• 未平滑な全波整流は安定した直流ではなく、隆起の列である。