重力場

定義

重力場とは、他の質量による力を受ける質量が存在する領域である。重力場の強さ $g$ は、その地点に置かれた小さな試験質量に対する単位質量あたりの重力である：

単位：$\text{N kg}^{-1}$ （$\text{m s}^{-2}$ と同じ——この場中の自由落下加速度）。$g$ はベクトルで、力の向き（源となる質量へ向かう）を示す。

出題者の表現。 重力場とは、質量が力を受ける空間の領域である。ある点における重力場の強さとは、その点に置かれた小さな試験質量に対する単位質量あたりの重力である。ある点における場線の向きとは、そこに置かれた（小さな試験）質量に働く力の向きである。これらはすべて1問の定義であり、「単位質量あたりの力」が採点ポイントであり、「1 kgにかかる力」では不十分である。

場線

重力場は、試験質量に働く力の向きを示す場線で描かれる：

• 点質量または均質球（外部からは点質量として扱える）の周りでは、場線は放射状で内向きである。
• 地球表面近くの狭い範囲では、場線はほぼ平行で間隔が等しく、真下を向いている——これは一様場である。

線が密集しているほど強い場を表す。

地表付近で$g$ が一定である理由（場線を用いた2問の解説）：地球の半径に比べてサイズが小さい領域では、放射状の場線はほぼ平行であり、高さとともに間隔はほとんど変わらない。したがって、間隔が表す場の強さは、領域の上部でも下部でもほぼ同じである。惑星全体を見ると、距離とともに線が広がり、場は弱まる。

** worked example.** 点Pが点質量を表している。Pの周りの重力場を表す線を描き、線の向きが何を示すかを述べよ。

Pの周りに均等に配置された直線的な放射状の線を描き、矢印はPへ向かって内向きとする。線の向きは、そこに置かれた小さな試験質量に働く力の向きである——重力は常に引力だけであるため、常に場を生む質量へ向かう。

点質量 $m_{1}, m_{2}$ が距離 $r$ で離れている場合、各質量にかかる力は

結ぶ線上に互いに引き寄せる。これがニュートンの万有引力の法則である。定数 $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ は万有引力定数である。

解答例の言葉遣い： 2つの点質量間の万有引力は、それぞれの質量の積に比例し、分離距離の二乗に反比例する——両方の比例関係と「点質量」が含まれること。「式と他の記号の意味を述べよ」と聞かれた場合、$F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ を$G$ （万有引力定数）、$r$ （中心間の距離）として答える。

** worked example.** 質量がそれぞれ$1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$ の孤立した均質球2つがあり、その中心間は$2.0\ \text{m}$ 離れている。それら間の万有引力を求め、その大きさについて述べてくれ。

$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$ 。これは各球の重さの$10^{-9}$ に相当する（$9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$ ）：日常の物体間の重力は無視できる程度であり、惑星レベルの質量で初めて noticeable な場が生じる。「孤立している」とは、他の質量を考慮する必要がないことを意味する。

点質量として扱う球

一様な球体（惑星や恒星など）の場合、その外部の任意の点における重力場は、全質量が中心に集まった点質量による場と等しい。したがって、地表から見た地球も中心に点質量があるとして扱うことができる。（球体の内部の点は異なる振る舞いをするため、カリキュラムの対象外である。）

二つの質量の間では、場は引き算され、ポテンシャルは加算される。 場の強さはベクトル量である：二つの球体を結ぶ線上では、二つの場は反対向きを向くため、それらが打ち消し合う点があり、合力の場はゼロとなる。ポテンシャルはスカラー量である：二つのポテンシャルは単に加算され、どちらも負であるため、ポテンシャルは最も負の値が小さくなる（最大となる）点、すなわち場がゼロになる点で最大となる。

** worked example.** 質量$M$、半径$R$の同一の孤立した一様な球体XとYがあり、その中心間距離は$L$である。点Pは中心を結ぶ線上にある。线上で合力の場強度がゼロとなる位置を答え、その地点での重力ポテンシャルを求めよ。

対称性より、XとYの場は中央点、各中心から$L/2$の位置で等しく逆向きとなるため、合力の場はそこではゼロとなる。Pにおけるポテンシャルは和$\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$である。Pで放たれた質量はそこに留まり、他のどこかで放たれた質量は近い球体へ落下する。

一点質量からの場強度

点質量$M$から距離$r$にあるテスト質量$m$にかかる重力を式$g = F/m$に代入する：

したがって、$g$は源から離れるにつれて$1/r^{2}$に従って減少する。

The two-mark derivation. The force on a test mass $m$ at distance $r$ from a point mass $M$ is $F = GMm/r^{2}$ (Newton's law). Field strength is force per unit mass, $g = F/m$, so $g = GM/r^{2}$. Write both lines: the law and the definition are the two marks. Because $g \propto 1/r^{2}$, halving the distance makes the field four times stronger: at distance $x/2$ the field is $4g$, in the same direction, towards $M$.

** worked example.** 地球表面における重力の場強度を求めよ。（地球の質量$M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$、半径$R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$、$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$。）

$g$が地球表面付近でほぼ一定である理由

地球の半径は $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$ です。高度 $h$ に達すると、中心からの距離が $R$ から $R + h$ に変化します。$h \ll R$ （任意の建造物や山）の場合、$(R + h)/R \approx 1$ なので、$g$ はほとんど変化しません — $5\ \text{m}$ から $10\ \text{m}$ の高さになることは、$r$ を約百万分の一だけ変化させます。実験室では、$g$ は実質的に一定です。

質量$m$の卫星が、質量$M$の天体の周りを半径$r$の円形轨道で周回する場合、重力が向心力となる：

$m$を消去する（公転速度は卫星の質量に依存しない）：

** worked example.** 半径$r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$の円軌道で地球を周回する卫星の公転速度を求めよ。（地球については$GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$。）

周期は$T = 2\pi r / v$から導かれる：

これは円軌道に関するケプラーの第三法則である：$T^{2} \propto r^{3}$。$T^{2}$を$r^{3}$に対してプロットすると原点を通る直線となり、傾きは$4\pi^{2}/(GM)$であるため、軌道データから中心天体の質量を求めることができる。

試験での2点取得のための導出。 質量 $m$ の衛星が質量 $M$ の惑星の周りを半径 $R$ 、周期 $T$ の円軌道で回っている場合、万有引力が向心力となり、$\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$ および $\omega = 2\pi/T$ である。したがって $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$ となり、$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$ が得られる。半径 $R_{\text{p}}$ の惑星の上の高度 $h$ での軌道であれば、軌道半径は $R_{\text{p}} + h$ となるので、$T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$ ：$T^{2}$ と $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ のグラフは原点を通る直線であり、その傾きから $M$ が得られる。

計算例. 質量 $M_{\text{s}}$ の衛星 X は、惑星の中心から距離 $4R$ の軌道を回っています。質量 $2M_{\text{s}}$ の衛星 Y は $3R$ の軌道を回っています。両者の速度、周期、運動エネルギーを比較してください。

$v = \sqrt{GM/r}$ より、$\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$ ：Yは速く移動し、衛星の質量は関係しない。$T \propto r^{3/2}$ より、$\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$ 。運動エネルギー $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$ なので、$\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$ 。比の計算では最初に $G$ 、$M$ 、および衛星の質量を約分する。異なる半径と質量のみが残る。

連星。 質量 $M_{\text{A}}$ と $M_{\text{B}}$ の2つの星が距離 $d$ で離れており、共通の重心の周りを回っている。常に重心の反対側にあり、同じ周期を持つ。重心は $d$ を質量の逆比 $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ で内分しており、$r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$ と $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ の万有引力がそれぞれの星に対する向心力となっている。

** worked example（例題）。** 連星は、質量 $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$ の星Aと質量 $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$ の星Bからなり、その中心間は $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$ 離れている。重心からの星Aの距離と軌道の周期を求める。

$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ と $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ を用いて $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ （および $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$ ）を得る。星Aについて：$\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$ なので、$\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$ 、$\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ 、$T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$ となり、約 $1.9$ 年となる。力の式に $d$ を使うが、向心力の項には $r_{\text{A}}$ を使うことがこの問題の核心である。

静止軌道

静止卫星（ジオステーションary satellite）:

• 地球上の同一地点の真上にとどまる（したがって、固定アンテナは常にそれを向き続ける）。
• 24時間の周期を持つ（地球の自転と同じ）。
• 西から東へ公転する（地球の自転と同じ方向）。
• 必ず赤道の真上にある必要がある。

地球と同じ角速度を持ち、同じ方向、かつ赤道面内にある必要があります（否则、日中中に南北にずれてしまいます）。$T = 24\ \text{h}$ と $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$ より、軌道半径は $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ （地表からの高さ about $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ ）です。

計算例. 地球の静止軌道の半径（$M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ）を計算し、同じ軌道半径と周期を持つ衛星であっても、なぜ必ずしも静止衛星ではないかを説明しなさい。

$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$ ; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$ なので、$r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — 地表からの高さは約 $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ です。この周期を持つ衛星は、軌道が赤道面内にあり、西から東へ移動する場合に限り静止卫星となります。傾いた軌道（例えば極上空など）で同じ周期の場合、毎日同じ地点に戻りますが、常にその真上にあるわけではありません。火星の自転周期は約 $25$ 時間なので、火星上の一点に留まる衛星は $25$ 時間の周期を持ち、他の2つの特徴も同じです。

重力ポテンシャル $\phi$ は、ある点における、無限遠から小さな試験質量をその点まで運ぶために単位質量あたりに行われる仕事です:

単位：$\text{J kg}^{-1}$ 。

無限遠でのポテンシャルをゼロと取ります。試験質量が源に近づくにつれ、重力が仕事をしてくれるので、無限遠を除き $\phi$ は everywhere 負です。点質量 $M$ が距離 $r$ にある場合:

$\phi$ はスカラー量です。複数の質量がある場合は、ポテンシャルを加算します。

2点問の定義、および負である理由. ある点における重力ポテンシャルとは、無限遠から小さな試験質量をその点まで運ぶために単位質量あたりに行われる仕事である。 無限遠でのポテンシャルはゼロと定義され、重力は引力であるため、試験質量が無限遠から近づく際、場が質量に対して仕事をする（= 質量がエネルギーを放出する）。外部の作用体が行うべき仕事は負となる。したがって、有限の距離におけるポテンシャルはすべてゼロより低い（負である）。（正の電荷の近くにおける電気ポテンシャルは、逆の理由で正である：その場は反発するため、正の試験電荷を近づけるには仕事が必要だからである。）

電気ポテンシャルとの類似点と相違点. どちらも無限遠から単位質量または単位正電荷あたりに行われる仕事として定義され、どちらもスカラー量であり、点源から $1/r$ に比例して変化し、無限遠でゼロとなる。違いは、重力ポテンシャルは常に負であること（重力は常に引力であるため）に対し、電気ポテンシャルは電荷の符号により正也可以是负的情况。

ポテンシャルグラフの読み方. 問題には2つのグラフが登場する。$\phi$ 対 $r$ の曲線は $-GM/r$ であり、表面値 $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ から惑星の質量が求まる。また、任意の点における勾配は、その点の重力場の強さを表す（なぜなら $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ であるため — 重力場の強さはポテンシャル勾配の負の値である。これが「ポテンシャルと場の強さの関係」として問題で問われることがある）。$\phi$ 対 $1/r$ のグラフは原点を通る直線であり、その勾配は $-GM$ である。これは $M$ を求めるための、より明瞭な方法である。

計算例. 月は、質量 $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ 、半径 $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ の孤立した均一球体である。その表面における重力ポテンシャルを計算し、粒子が表面を脱出するために必要な最小速度を求めなさい。

$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$ 。脱出するには、粒子の単位質量あたりの運動エネルギーがポテンシャル井戸の深さに等しくなければなりません：$\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$ なので、$v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$ 。マイナス符号には意味があります：kg あたり $2.9\ \text{MJ}$ のエネルギーを与えることで、粒子を外へ持ち上げることができる。

2つの点質量の重力ポテンシャルエネルギー

試験質量 $m$ がポテンシャル $\phi$ の位置にある場合、このペアの重力ポテンシャルエネルギーは

ポテンシャルと同様に、$E_{\text{P}}$ は負であり、無限遠でゼロになる。近接する質量ほどポテンシャルエネルギーはより負の値をとり（結合が強い）。

$\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ との関係

地表付近での小さな高さの変化では、$r$ はほとんど変化しないため、$\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$ となる。大きな変化（衛星がより高い軌道へ移動する場合）では、各半径における $-GMm/r$ を用いて差を取る：

これは正である（衛星を上げるとエネルギーを供給しなければならない）。

** worked example.** 質量 $1200\ \text{kg}$ の衛星を、地球（$GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$）の半径 $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ の円軌道から半径 $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ の円軌道へ移動させる。その重力ポテンシャルエネルギー、運動エネルギー、および全エネルギーの変化を求める。

$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. 円軌道では $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$ であるため、$\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$ ：高い軌道の衛星ほど速度は遅い。全エネルギー $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ は $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$ だけ増加するが、これがロケットエンジンが供給すべきエネルギーである。衛星の全エネルギーは負（束縛されている）であり、軌道が広がるにつれて負の値は小さくなる。

脱出速度（エネルギー保存則による）

半径 $r$ から無限遠へ脱出するためには、物体の運動エネルギーが重力ポテンシャルエネルギーの大きさに等しくなければならない：

地球表面における脱出速度は $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$ である。これは物体の質量に依存しない。

** worked example.** 地球表面からの脱出速度を求める。（地球の場合、$GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$、$R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$。）

** worked example.** 半径 $R$ 、重力ポテンシャルが $\phi_{\text{s}}$ である孤立惑星の表面から垂直上方へ粒子を打ち上げる。初速度 $v$ が $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$ を満たす場合、その粒子は中心から距離 $r$ に到達することを示し、脱出速度を導け。

ポテンシャルは $1/r$ に比例するため、距離 $r$ では $\phi_{\text{s}}R/r$ となる。粒子が停止したとき、単位質量あたりの運動エネルギーはすべて単位質量あたりのポテンシャルエネルギーに変換される：$\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$ 。これは $\phi_{\text{s}}$ が負であるため正となる。$r \to \infty$ を代入すると $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ が得られ、再び脱出速度の結果がポテンシャルのグラフから直接読み取れる。

定義問題は固定された用語に基づいて採点されます。これらを正確に暗記し、一つの答えのみを答えてください。

• ニュートンの万有引力の法則 $F = GMm/r^2$ （平方の逆数）；場の強さ $g = GM/r^2$ — および、法則と $g$ の定義の2行として導出を記述せよ。
• 重力ポテンシャル（$\phi = -GM/r$、常に負、無限遠でゼロ）と場の強さを区別せよ；$g$ は $\phi$–$r$ グラフの負の勾配である。
• 軌道に対して重力 $=$ を向心力として設定し、$T^2 \propto r^3$ を求めよ；静止軌道には $T = 24\ \text{h}$ および他の2つの特徴（赤道直上、西から東）がある。
• 高さを一律に使用せず、中心から中心までの軌道半径（$R_{\text{p}} + h$）を使用せよ。連星の場合、力には分離 $d$ を、向心力項には軌道半径 $r_{\text{A}}$ を用いる。
• エネルギー変化は各半径における $-GMm/r$ に由来する；円軌道では $E_{\text{K}} = GMm/2r$ であり、全エネルギーは $-GMm/2r$ である。

一般的なミス

• ポテンシャルを「単位質量あたりの力」、または場の強さを「単位質量あたりの仕事」として定義すること。これらを逆転させると両方のポイントが失われる。
• 「重力が引き寄せるからポテンシャルは負である」と言うだけで終わらせないこと。ポイントは無限遠でゼロであり、質量が入ってくる際に場が仕事を行うという議論を含める必要がある。
• $GM/r^{2}$ または $T^{2} \propto r^{3}$ において、地表からの高さをそのまま $r$ として使用すること。まず惑星の半径を加えるべきである。
• ケプラーの法則を $T \propto r$ または $T^{2} \propto r^{2}$ と書くこと。それは $T^{2} \propto r^{3}$ である；$T^{2}$ 対 $r^{3}$ のプロットにおいてのみ直線となる。
• 「静止軌道」を単に「24時間の周期」と解釈してはいけない。赤道面および西から東への方向がない限り、それは静止軌道ではない。
• 軌道を上げるときにエネルギーを供給したにもかかわらず、衛星の運動エネルギーが減少することを忘れないこと。