純数学1

二次式とは、$a \neq 0$ となる形 $ax^2 + bx + c$ の式です。文字 $a$, $b$, $c$ は係数（固定された数値）です。このセクションの大部分は、方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ を解くことに関わります。

平方完成

平方完成とは、二次式を次のように書き換えることです

この形は有用です：曲線の頂点（転移点）が $(-p,\ q)$ にあることを示し、方程式を素早く解く方法を与えます。

** worked example.** $9x^2 - 36x + 8$ を $p(x + q)^2 + r$ の形に書き換えなさい。

最初の2つの項から共通因数 $9$ をくくり出し、中身を平方完成します：

したがって $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$ となります。

判別式

$ax^2 + bx + c$ の判別式は以下の通りです

これにより、方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が持つ実数解の個数がわかります：

判別式	解
$b^2 - 4ac > 0$	2つの異なる実数解
$b^2 - 4ac = 0$	重解の実数解
$b^2 - 4ac < 0$	実数解なし

** worked example.** 定数 $k$ がどのような値のとき、$3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ が2つの異なる実数解を持つか求めなさい。

ここで $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$ です。2つの異なる実数解を得るには、$b^2 - 4ac > 0$ が必要です：

因数分解：$(k - 4)(k - 16) > 0$ なので、$k < 4$ または $k > 16$ です。さらに $a \neq 0$ も必要なので、$k \neq 0$ となります。

二次方程式と不等式

二次方程式を解くには、因数分解、平方完成、または公式を用います。

$(k - 4)(k - 16) > 0$ などの 二次不等式 を解くには、まず2つの根を見つけ、各根のどちら側で命題が真になるかを判断する。放物線の概略図が役立つ：2つの異なる根を持つ上に凸の曲線は、根の外側で $x$-軸より上（正）、根の間で下（負）にある。

** worked inequality.** $-x^2+4x-3\geq0$ を解け。 $-1$ で掛けると不等号の向きが変わる：

因子は根の間で符号が異なるため、$1\leq x\leq3$となる。両端での等号は許容される。元の式に$x=2$を代入すると$-1$となり、不等式を満たす。外側の点、例えば$x=0$を代入すると$3$となり、満たさない。元の最高次項の係数が負の場合でも、自動的に外側の区間を選ぶべきではない。

最高次項の係数が負の場合、平方完成の定数項は最大値となる： $-2x^2+12x-11=-2(x-3)^2+7$ は $x=3$ において最大値 $7$ を持つ。平方完成の手続きはそのまま有効だが、解釈における符号が逆転する。

連立方程式

一次式と二次式からなる連立方程式の組を解くには、代入法を用います：一次式をある文字について変形し、それを二次式に代入します。これにより解くべき単一の二次方程式が得られます。

** worked substitution.** $x+2y=7$ と $x^2+4y^2=25$ を解け。連立方程式から $x=7-2y$ が得られるので、

因数分解すると $(2y-3)(y-2)=0$ となり、したがって $y=\tfrac32$ または $2$ である。 $x$ に対応する値を取り戻すと、解は $(4,\tfrac32)$ と $(3,2)$ となる。各ペアは $x+2y=7$ と $x^2+4y^2=25$ を与える。解答提示時はペアリングを維持すること。

交点を見つける際は、まず共通方程式を立てる。 $y=x^2-2x+3$ と $y=x+k$ について、交点方程式は $x^2-3x+3-k=0$ であり、その判別式は $4k-3$ である。 $k<\tfrac34$ の場合実数による交点はなく、 $k=\tfrac34$ の場合重複交点があり、 $k>\tfrac34$ の場合2つの交点がある。境界点は $(\tfrac32,\tfrac94)$ である。

隠れた二次方程式

$x$ のある関数について二次的な方程式もあります。例えば $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ は $x^2$ について二次的です：$u = x^2$ とおき、$u^2 - 5u + 4 = 0$ を解いた後、$x$ に戻ります。三角関数でもこの考え方を再び使います。

ここで $(u-1)(u-4)=0$ なので、$x^2=1$ または $4$ かつ $x=\pm1,\pm2$ です。常に置換変数から元の変数へ戻してください。

平方根の置換による解法。 $6x+\sqrt{x}-1=0$ に対して $v=\sqrt{x}\geq0$ とおきます。すると

$v=\tfrac13$ のみが許容されます。$v=-\tfrac12$ は平方根にはなりません。したがって $x=v^2=\tfrac19$ となり、元の方程式を満たします。却下された負の値を二乗することは、別の解を取り戻す有効な方法ではありません。

与えられた根を用いて定数を求める

根とは零を与える入力です。各指定された根を元の多項式に代入して連立方程式を得るか、または根の形を展開して係数を比較します。根が $\alpha$ と $\beta$ である場合、

Worked example. $px^2+6x-8$ の根が $2m$ と $-4m$ であり、$p,m\ne0$ であると仮定します。$p(x-2m)(x+4m)$ を展開すると $px^2+2pmx-8pm^2$ になります。したがって $pm=3$ と $pm^2=1$ が得られ、$m=\tfrac13$ と $p=9$ となります。実際の両方の根 $\tfrac23$ と $-\tfrac43$ は $9x^2+6x-8=0$ を満たします。問題文にその条件が明記されていない限り、パラメータが正であると仮定しないでください。

関数とは、各入力をちょうど一つの出力に送る規則のことです。これを $f(x)$ と書きます。関数の合成 $fg(x)$ は、まず $g$ を適用し、その結果に対して $f$ を適用することを意味します。

• 定義域とは、許容される入力の集合 $x$ です。
• 値域とは、関数が実際に生成する出力の集合です。

関数が一対一であるとは、異なる入力が常に異なる出力を与えることです。（出力が重複しない。）一対一の関数だけが逆関数 $f^{-1}$ を持ちます。これは規則を逆にするものです。

2つの関数の合成とは、順次実行することを意味します。$fg(x)$ は「$g$ を先に行い、次に $f$ を行う」ことを表し、$fg(x) = f(g(x))$ と書けます。合成関数 $fg$ が存在するのは、$g$ の値域が $f$ の定義域に含まれる場合のみです。

この条件は内関数の全定義域に適用される。$f(x)=\sqrt x$ が $x\geq0$ であり、$g(x)=x-3$ がすべての実数 $x$ である場合、$fg(x)=\sqrt{x-3}$ はその内側の定義域のすべてで定義されない。新しい制約 $x\geq3$ を加えることで式が有効になることを明示的に述べよ。

値域を求めるには、境界値が達成されるか確認する。$x\geq1$ の場合、$1/x$ の値域は $0<y\leq1$ であり、ゼロは近づいても決して達成されない。制限された二次関数も実際の定義域を必要とする：$(x-1)^2+2$ で $x\geq3$ の場合、頂点の入力が除外されるため、値域は $y\geq6$ となる。

開端点の条件。 $F(x)=1/(x-2)$ が $x>2$ であり、$G(x)=3x+2$ が $x>a$ であるとする。$G$ の値域は $(3a+2,\infty)$ である。$3a+2\geq2$ のとき、これは $F$ の定義域のすべてに含まれるため、$a\geq0$ となる。等号は許容されるが、その値域の下端点は達成されないからである。$a<0$ の場合、許容される入力 $0$ が禁止された出力 $G(0)=2$ を与える。

逆関数の求め方

$f^{-1}$ を求めるには：$y = f(x)$ を書き出し、$x$ を主題として式を変形し、最後に文字を入れ替えます。

** worked example（例題）.** 関数 $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ は $x \geqslant 0$ について定義されています。$f^{-1}(x)$ を見つけなさい。

$y = (x + 3)^2 - 12$ を書き出し、$x$ について解きます：

$x \geqslant 0$ は $x + 3 \geqslant 3 > 0$ を意味するため、正の平方根を取ります。したがって 元の値域は $[-3,\infty)$ であり、元の入力 $x\geq0$ から達成される。したがって逆関数の定義域は $x\geq-3$ 、値域は $f^{-1}(x)\geq0$ である。単に根号を実数として求めるだけでは、より大きく誤った逆関数の定義域 $x\geq-12$ が得られるだけである。

別の制限により負の平方根の分枝を指定できる。$h(x)=(x+1)^2-5$ で $x\leq-1$ の場合、$y+5=(x+1)^2$ を $x+1\leq0$ を用いて解け：

Its range is $h^{-1}(x)\leq-1$. The endpoint $(-1,-5)$ reflects to $(-5,-1)$ and the point $(-3,-1)$ reflects to $(-1,-3)$. A $\pm$ answer would not define a one-one inverse function. The inverse is also different from the reciprocal $1/h(x)$.

互いに適応した一一対応関数の合成の逆関数を求めるには、順序を逆にします：$(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$ 。あるいはまず合成則を作成し、その後元の定義域制限を用いて逆関数を求めます。

例えば、$f(x)=(x-1)^2+2$ が $x\leq1$ であり、$g(x)=5-x$ が $H(x)=gf(x)=3-(x-1)^2$ である場合、値域は $H(x)\leq3$ となる。$y=3-(x-1)^2$ を $x-1\leq0$ を用いて解くと、$H^{-1}(x)=1-\sqrt{3-x}$ が $x\leq3$ に対して得られ、値域は $H^{-1}(x)\leq1$ となる。合成してから逆変換することで、分枝全体の条件が明確に残る。

逆関数と変形のグラフ

$y = f^{-1}(x)$ のグラフは、$y = f(x)$ のグラフを直線 $y = x$ について反射させたものです。

これらの$y = f(x)$の変換を理解しておくべきです。以下の伸縮の説明では、倍率を$a>0$とします。負の乗数も反射を伴います：$-f(x)$は$x$軸について対称移動し、$f(-x)$は$y$軸について対称移動します。

新しい方程式	グラフへの影響
$y = f(x) + a$	平行移動で $a$ 分上へ
$y = f(x + a)$	平行移動で $a$ 分左へ
$y = a\,f(x)$	$y$ 方向への伸縮、倍率 $a$
$y = f(ax)$	$x$ 方向への伸縮、倍率 $\tfrac{1}{a}$

二つの変形を組み合わせるとき、順序が重要になることがあります。それぞれを完全に述べてください（種類、方向、量）。

$g(x)=2f(x+3)-1$に対して、2つの変換を用います。まず縦方向に倍率$2$で伸縮し、次に$(-3,-1)$だけ平行移動します（左へ$3$、下へ$1$）。点$(4,5)$が$(4,10)$となり、さらに$(1,9)$へと移ります。これらの操作を逆に行うと、異なるグラフである$2(f(x+3)-1)=2f(x+3)-2$が得られます。2つの変換が必要な場合は、水平方向と垂直方向のシフトを1つの平行移動にまとめます。水平方向の乗数が$f(ax)$の場合、点$(s,t)$は$(s/a,t)$へ移動しますが、拡大率は$a$ではなくその逆数となります。

Coordinate geometry connects positions, distances and intersections with algebra. A straight path can cross a circular boundary twice, touch it once or miss it. Solve their equations together to distinguish these cases exactly.

直線の方程式を選択して検証する

異なる $x$ 座標を持つ2点について、傾きは

直線の方程式 useful forms

例えば、$(2,3)$と$(6,11)$から傾きは$2$である。この直線は$y-3=2(x-2)$、$y=2x-1$、または$2x-y-1=0$である。与えられた点それぞれを代入して確認せよ。$2x-3y+6=0$では、変形すると$y=\tfrac23x+2$となるので、傾きは$2/3$であり、$2$ではない。

異なり非垂直な平行な直線は勾配が等しいです。垂直な直線において有限の勾配を持つ場合、$m_1m_2=-1$です。水平な直線$y=h$は勾配がゼロであり、垂直な直線$x=k$は勾配が定義できません。これらは互いに垂直ですが、垂直な直線には積の法則を適用できません。点$(4,-2)$を通る水平および垂直な直線はそれぞれ$y=-2$および$x=4$です。

距離、中点、垂直二等分線

三平方の定理により、2点間の距離は以下の通りである：

中点は

垂直二等分線はこの中点を通り、線分と直角に交わる。その上のすべての点は両端からの距離が等しい。

** worked example.** $P(-1,2)$と$Q(5,6)$について、$PQ=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$および$M=(2,4)$である。線分の傾きは$2/3$なので、二等分線の傾きは$-3/2$である。その方程式は

中点だけでは方程式にはならず、端点を通過する垂直線は二等分線ではない。$PQ$が水平の場合、その二等分線は$M$を通る垂直線であり、零の逆数を取ることはしない。

円の2つの形式を読み取る

中心が$(a,b)$で正の半径が$r$である円の方程式は

展開された方程式では、両方の平方完成が必要である：

中心は$(3,-5)$で半径は$\sqrt{61}$である。より一般に、$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$は中心$(-g,-f)$および$r^2=g^2+f^2-c$を与える。$r^2>0$が正の半径を持つ実数の円であることを確認せよ。負であれば実数は存在せず、零であれば1点のみである。提案された点を方程式に代入して検証せよ。

直径、半円、対称性の利用

** worked example.** 点$P(1,1)$と$Q(7,11)$は直径の端点である。その中点は$(4,6)$であり、半分の長さは

円は$(x-4)^2+(y-6)^2=34$である。一般的な弦の中点が必ずしも中心とは限らない：直径の条件が重要である。

この円上の他の任意の点において、$P$と$Q$へ向かう直線によって形成される角は$90^\circ$である：これは半円内の角である。直径でない弦については、中心から中点への直線は弦と垂直であり、対称軸となる。これを使って反射された交差点や欠落した座標を取り戻せ。

例えば、$(x-2)^2+(y-1)^2=5$は直径の端点$A(0,0)$と$B(4,2)$を持つ。点$D(4,0)$はその上にあり、$\angle ADB=90^\circ$である。弦$AD$の中点は$(2,0)$であり、したがってその垂直二等分線$x=2$は中心を通り、$A$を$D$に反映させる。

接線：既知および未知の接点

接線は接点における半径と垂直である。

上の $(2,1)$ を中心とする円において、半径 $B(4,2)$ の傾きは $1/2$ である。接線の傾きは $-2$ なので、$y-2=-2(x-4)$、すなわち $2x+y=10$ となる。この式に $B$ を用い、中心の座標は使わない。上下の接線は水平で $y=1\pm\sqrt5$；左右の接線は垂直で $x=2\pm\sqrt5$ である。

計算例：未知の接点。この円上で接線の勾配が$-2$となる両方の点を探します。半径の勾配は$1/2$でなければならず、中心を通る半径の直線式は$y-1=\tfrac12(x-2)$です。$u=x-2$を代入して計算します：

接点は $(4,2)$ と $(0,0)$ であり、それぞれの接線方程式は $2x+y=10$ および $2x+y=0$ である。与えられた接線の方向に対して通常、2つの反対側の接点が存在する。解が整数でない場合、平方根は正確な値のまま残す。半径の幾何学と代入だけで十分であり、ここで円の微分を用いる必要はない。

交点とパラメータの境界

直線を円に代入して二次方程式を得て、ある座標について解き、他の座標を取り戻す。$(x-2)^2+(y-1)^2=5$ において、直線 $y=0$ は $(x-2)^2=4$ を与えるため、点 $(0,0)$ と $(4,0)$ が得られる。

族 $y=k$ について、同じ円では

$1-\sqrt5<k<1+\sqrt5$ のとき2つの点が存在し、各境界には1つの接点があり、その区間外には点がない。いずれかの境界で $x=2$ となる。一般的な傾斜のある直線の場合、得られる二次方程式の判別式は、上記3つの同様のケースで正、零、負となる。重複解は1点を意味する。

直線と二次曲線の交点については、$y$ に関する2つの表現を等置する。$y=x^2$ および $y=2x+k$ について：

Thus there are two intersections for $k>-1$, one for $k=-1$ at $(1,1)$, and none for $k<-1$. Show the algebraic condition; a sketch alone does not prove an exact boundary. Some families have a positive discriminant for every real parameter, so they always intersect twice. Check separately if a parameter could make the quadratic coefficient zero.

軸間の隙間から円を構築する

A circle entirely in the first quadrant has centre $(a,b)$ and radius $r$. Its least distances from the $y$-axis and $x$-axis are $a-r$ and $b-r$, respectively.

計算例。$y$軸からの距離は$1$、$x$軸からの距離は$3$、原点から中心までの距離は$\sqrt{34}$です。したがって中心は$(r+1,r+3)$であり、よって

負の半径は却下する。よって $r=2$ 、中心 $(3,5)$ 、方程式 $(x-3)^2+(y-5)^2=4$ となる。原点から最も遠い点は、原点から中心へ向かう射線上にある。その半径の傾きは $5/3$ なので、接線の傾きは $-3/5$ である。

独立した検証。別の円の、$x$および$y$軸からの最も短い距離はそれぞれ$6$および$2$であり、中心から原点までの距離は$4\sqrt5$です。半径、中心、円の方程式、および原点から最も遠い点における接線の勾配を求めます。計算する前に中心の座標を設定してください。

** 試行後の確認:** 中心 $(r+2,r+6)$ は $(r+2)^2+(r+6)^2=80$ を与える。したがって $(r+10)(r-2)=0$ 、$r=2$ 、中心 $(4,8)$ 、方程式 $(x-4)^2+(y-8)^2=4$ となる。半径の方向の傾きは $2$ なので、接線の傾きは $-1/2$ である。

曲線的な境界には弧と複数の直線辺が含まれる可能性がある。計算する前に各部を特定せよ。扇形、三角形、および円弓形の面積および周長は異なる。

ラジアンを定義し角度を変換する

1 ラジアン は、中心における角で、切り取られる 弧 の長さが半径に等しいものである。$\theta=s/r$ であるため、一周は $(2\pi r)/r=2\pi$ ラディアンである。したがって

度数を $\pi/180$ に掛けてラジアンに変換するか、またはラジアンを $180/\pi$ に掛けて度数に変換する。例えば、$150^\circ=5\pi/6$ ラディアンおよび $7\pi/4$ ラディアンは $315^\circ$ である。角度は一周を超えることができる：$450^\circ=5\pi/2$ ラディアン。

扇形の公式、周長と逆問題

半径$r$、角度$\theta$（ラジアン）の扇形において、

ここで$s$は弧の長さ、$A$は扇形の面積です。扇形の全周長は$s+2r$です。線形単位と平方単位を区別してください。これらの公式を用いる前に度角を変換し、sinやcosを使う場合はラジアン計算機モードを使用します。

弧の長さと面積が与えられた場合、角度を消去します：$A=rs/2$、したがって$r=2A/s$、そして$\theta=s/r$。

** worked example.** 弧の長さ$8\text{ cm}$と扇形の面積$24\text{ cm}^2$から、$r=6\text{ cm}$、$\theta=4/3$ラジアン、および全周長$20\text{ cm}$が得られます。弧のみでは周長ではありません。

弦と小円弓

中心角$0<\theta<\pi$（小角）に対して、2本の半径とその弦によって形成される二等辺三角形を二等分します。これにより、

円弓は弦と弧の間に位置します。小円弓は小扇形から三角形を引いたものです：

その周長は$r\theta+c$であり、$r\theta+2r$ではありません。

$r=5\text{ cm}$と$\theta=2$ラジアンの場合、弧の長さは$10\text{ cm}$、扇形の面積は$25\text{ cm}^2$、小円弓の面積は$12.5(2-\sin2)\approx13.6\text{ cm}^2$です。小円弓の周長は$10+10\sin1\approx18.4\text{ cm}$です。

大円弓

大円弓は、小円弓を除いた円の残りの部分です：

その弧には角度$2\pi-\theta$を使用するため、周長は$r(2\pi-\theta)+c$です。

計算例。半径$4\text{ cm}$と弦$4\sqrt3\text{ cm}$から$\sin(\theta/2)=\sqrt3/2$が求まります。小角は$2\pi/3$、三角形の面積は$4\sqrt3$であり、

大弧の長さは$16\pi/3\text{ cm}$です。周長を求めるために弦を加えます。大領域には三角形が含まれますので、単なる大扇形ではありません。

複合境界：部品の名称

** worked example.** $OA=OB=10\text{ cm}$、$\angle AOB=1$ラジアンとする。三角形$OAB$から、中心が$O$で半径が$4\text{ cm}$の扇形を取り除く。残りの境界には、長さ$6$の直線部分2本、外側の弦$AB=20\sin(1/2)$、内側の弧の長さ$4$が含まれる。

外側の円弧は存在しない：$AB$は直線である。代わりに、2つの同心円弧の間の領域がある場合、その面積は扇形の面積の差であり、周長には両方の弧と両方の半径方向の隙間が含まれる。半径が$9$および$5$、角度が$1.4$ラジアンの場合、面積は$39.2$平方単位、周長は$27.6$単位である。面積を引くことは、長さを引くことを意味しない。

未知の円を求めるための2つの条件の活用

扇形の面積が$8\theta\text{ cm}^2$の場合、$(1/2)r^2\theta=8\theta$となる。$\theta>0$であるため、$r=4\text{ cm}$となる。三角形の面積が$4\text{ cm}^2$の場合、$8\sin\theta=4$となる。制約$0<\theta<\pi/2$により$\theta=\pi/6$が選択され、小扇形（セグメント）の面積は$4\pi/3-4\text{ cm}^2$となる。

後続の部分で扇形の面積条件が置き換えられた場合は、最初からやり直してください。弦と半径の比から$\theta$を$c=2r\sin(\theta/2)$を使って決定し、三角形の面積から$r$を決定できます。もはや適用されない元の条件に基づく半径や角度は保持しないでください。

異なる円、異なる半径と角度

図は、中心が$O$で半径が$3$の円と、中心が$C$で半径が$5$の円の交わっている様子を示している。ここで$OC=4$および$PQ$は小円の直径であり、$OC$に垂直である。

$\phi=\angle PCQ=2\tan^{-1}(3/4)\approx1.287$ラジアンとする。三角形$PCQ$の面積は$\tfrac12(6)(4)=12$である。大円の小扇形（セグメント）の面積は$\tfrac{25}{2}\phi-12$である。これを左側の小半円から引く：

周長は2つの湾曲した部分で構成される。線分$PQ$と$OC$は図の内部の補助線であり、外側の辺ではない。

共有された弦は、他の2つの円の領域を2つの円弧セグメントに分けることができる。各円について、弦の必要な側面をスケッチする。それぞれの扇形と三角形を、独自の半径と中心角で計算してから、面積を組み合わせる。例えば、半径が$6$の2つの円があり、中心間の距離が$6$の場合、2つの等しい小扇形（セグメント）が重なり合う。正三角形により各中心角は$2\pi/3$となる。重なり合う面積は$2(12\pi-9\sqrt3)=24\pi-18\sqrt3$、周長は2つの小弧（$8\pi$）である。共有された弦は内部にある。

独立した検証。 小半径を$4$に置き換え、$OC=3$を設定し、同じ垂直直径幾何学で大半径を$5$のままにする。新月形の面積と周長を有効数字3桁で求める。

解答後の確認： $\phi=2\tan^{-1}(4/3)$。大三角形の面積は依然として$12$である。したがって、面積は$=8\pi-\tfrac{25}{2}\phi+12\approx14.0$平方単位、周長は$=4\pi+5\phi\approx21.8$単位である。

回転する車輪上の点は上下に動く。三角関数モデルはこのサイクルを記述するが、グラフには正しい高さスケールとタイミングが必要である。1台の電卓での角度計算は、同一区間内の別の有効な位置を見落とす可能性がある。

正確な値と符号

単位円上の点の座標は$(\cos\theta,\sin\theta)$である。符号は象限に従い、負の角度や$360^\circ$を超える回転を含める。正弦および余弦のグラフの値域は$[-1,1]$、周期は$2\pi$ラジアンまたは$360^\circ$である。正接関数は$\pi$ラジアンまたは$180^\circ$ごとに繰り返され、$\cos\theta=0$の地点では定義されない。

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$1/2$	$1/\sqrt2$	$\sqrt3/2$
$\cos\theta$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt2$	$1/2$
$\tan\theta$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$

基準角、すなわち$x$軸への鋭角を用いて大きさを得る。次に符号を選択する。例として、$\cos150^\circ=-\sqrt3/2$、$\sin(-\pi/6)=-1/2$、$\sin(3\pi/4)=1/\sqrt2$。表記$\sin^2\theta$は$(\sin\theta)^2$を意味する。

正接の枝は垂直漸近線において分離したままです。

変換されたグラフ

For $y=d+a\sin(bx+c)$ or $d+a\cos(bx+c)$, with $a,b\ne0$, the midline is $y=d$, amplitude is $|a|$, and period is $2\pi/|b|$ radians or $360^\circ/|b|$. Find key points by setting the angle inside the function to familiar values.

$y=2+3\cos2x$について、値域は$[-1,5]$、周期は$\pi$です。$[0,2\pi]$において、極大値は$x=0,\pi,2\pi$で、極小値は$x=\pi/2,3\pi/2$にあります。完全なサイクルが2つあります。

比較線 $y=x+1$ はこの曲線と3回交わります。これは表示区間における $2+3\cos2x=x+1$ の解の数を示しています。

$y=\tan(x+\pi/4)$については、基本のtanグラフを左へ$\pi/4$だけ平行移動します。$[-\pi,\pi]$において、漸近線は$x=-3\pi/4,\pi/4$、零点は$-\pi/4,3\pi/4$、$y$切片は$1$です。周期は$\pi$であり、有限の振幅はありません。増加する枝は別々に描き、漸近線を通じて接続しないでください。

主値と逆関数の記法

記号 $\sin^{-1}u$、$\cos^{-1}u$、$\tan^{-1}u$ は主値（指定された逆関数の範囲内の角）を返します：

逆関数	ラジアンでの主値の範囲	度
サイン	$[-\pi/2,\pi/2]$	$[-90^\circ,90^\circ]$
コサイン	$[0,\pi]$	$[0^\circ,180^\circ]$
正接	$(-\pi/2,\pi/2)$	$(-90^\circ,90^\circ)$

サイン/コサインの逆関数は $[-1,1]$ の入力が必要です；正接の逆関数はすべての実数を入力として受け付けます。上付きの $-1$ はここでは逆関数を意味し、逆数ではありません。したがって $\sin^{-1}(\sin150^\circ)=30^\circ$ ですが、$\sin\theta=1/2$ には $[0^\circ,360^\circ]$ 内で $30^\circ$ と $150^\circ$ がどちらも含まれます。

$\tan^{-1}(2x-1)=-\pi/4$ を解くために、正接をとると $2x-1=-1$ となるため、$x=0$ です。与えられた逆関数の出力は主値の範囲内にあります。

有効な代数学を用いて恒等式を証明する

2つの核心的な恒等式は以下の通りです

恒等式は両辺が定義されている everywhere で成立します。分母の制限を明記し、証明すべき等仮定から始めず、片側から開始してください。例えば、$\sin\theta\ne0$ の場合：

この条件はまた$\cos\theta=-1$も除外するため、約分された因子はゼロではありません。$\sin^2\theta+\cos^2\theta$と$(\sin\theta+\cos\theta)^2$を混同しないでください。

三角方程式は、指定された区間内のすべての角を求めることを要求します。

方程式を1つの三角関数に整理する

** worked example.** $2\cos^2\theta-\sin\theta-1=0$ を $[0,2\pi]$ で解く。 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を代入する：

したがって$\sin\theta=1/2$または$-1$です。完全な答えは$\theta=\pi/6,5\pi/6,3\pi/2$です。主値$-\pi/2$はこの区間に含まれないため、代わりに$3\pi/2$を使用します。$[-1,1]$の外側にあるsinやcosの値は却下します。$\sin^2\theta$について解く場合は、角度を求める前に平方根の符号の両方を取り戻してください。

内側区間を変更する

$\sin2x=1/2$ と $-\pi<x<\pi$ に対して、 $u=2x$ とする。 $-2\pi<u<2\pi$ の全区間を探索し、1回転のみではない。その解は $u=-11\pi/6,-7\pi/6,\pi/6,5\pi/6$ である。 $2$ で割ると

$2x-\pi/6$ のようなシフトされた角に対しては、まず区間の両端を変換し、次にすべての内角の解を $x$ に戻す。元の方程式で開閉の端点を確認する。

ゼロの因数を保持し、定義されない角度を除外する

三角関数の式で割ると根を失うことがある。 $\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$ を $\sin\theta(\cos\theta-1)=0$ と書き、 $\sin\theta=0$ のケースを保持せよ。

分数方程式については、最初に分母の制限を述べる。例えば、 $6\sin\theta=1+2/\sin\theta$ を $-180^\circ<\theta<180^\circ$ について解く。 $\sin\theta\ne0$ なので、乗算すると

$2/3$ の値は $41.8^\circ,138.2^\circ$ を与え、 $-1/2$ の値は $-150^\circ,-30^\circ$ を与える。これら4つはすべて元の方程式で有効である。最終的な角度まで計算機の精度を維持せよ。

独立したグラフと方程式の検証

$0\le x\le2\pi$ に対して $y=1+\sin x$ と $y=x/2$ を一緒に描画する。正弦曲線の5つの重要な点をラベル付けし、 $1+\sin x=x/2$ の解を数える。

試行後に確認： 曲線が $(0,1),(\pi/2,2),(\pi,1),(3\pi/2,0),(2\pi,1)$ を通る。交点は1つあり、$\pi/2$ と $\pi$ の間にある。そこで曲線は減少し、直線は増加する。$\pi/2$ より前は、曲線が少なくとも $1$ で、直線が $1$ より下にある；$\pi$ 以後は、曲線が最大でも $1$ で、直線が $1$ より上にある。

$[-\pi,\pi]$ 上で $\sin(2x-\pi/6)=-1/2$ も解く。内側区間は $[-13\pi/6,11\pi/6]$ であり、$x=-\pi,-\pi/3,0,2\pi/3,\pi$ を与える。両端点とも有効である。正しい性質のリストは実際のグラフに代わらず、主逆数の値1つはすべての方程式の解に代わらない。

二項展開

正整数 $n$ に対して、二項展開は以下の通りです。

ここで $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ は二項係数です。

worked example. $(2 - px)^5$ の $x$ の昇順における最初の3項を求めよ。

等差数列と等比数列

数列とは、規則に従って並べられた項のリストです。

• 等差数列（AP）は、各ステップごとに一定の共通公差 $d$ を加算します。 $n$ 番目の項は $u_n = a + (n - 1)d$ 、最初の $n$ 項の和は $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$ です。
• 等比数列 (GP) は、各ステップで一定の公比 $r$ を掛けて進みます。第$n$項は $u_n = ar^{\,n-1}$ 、$S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ です。

第1項がゼロでない場合、幾何級数は収束する（部分和が極限に落ち着く）のは$|r| < 1$のときのみである。このとき、無期限和を持つ。

worked example. GPの第3項が $18$ で、最初の3項の和が $26$ です。共通比は負です。無限和を求めよ。

$ar^2 = 18$ から $a = \dfrac{18}{r^2}$ が得られます。これを $a(1 + r + r^2) = 26$ に代入します：

公比は負なので、$r = -\tfrac34$ と $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$ となる。したがって、

積における二項式項または係数を選択する

$(a+b)^n$ における $k+1$ 番目の項は $\binom nk a^{n-k}b^k$ であり、$k=0,\ldots,n$ と $0!=1$ を持つ。指数 $n$ はここでは正の整数である。累乗された第2部分内の符号を維持せよ。

** worked example.** $(x^2+2/x)^6$ において、一般項は $\binom6k2^kx^{12-3k}$ である。定数項には $12-3k=0$ が必要なので、 $k=4$ となり、答えは $15\times16=240$ である。

$(1+3x)(2-x)^4$ における $x^2$ の係数については、2つの組み合わせのみが寄与する：定数 1 × $24x^2$ および $3x$ × $-32x$ 。係数は $24-96=-72$ である。負の指数が存在する場合、項を選択する前に可能なすべての組み合わせを列挙せよ。

未知の等差数列（AP）を見つけ、その項を選択する

$u_3=13$ かつ $u_8=33$ の場合、 $a+2d=13$ かつ $a+7d=33$ となる。引くと $d=4$ かつ $a=5$ が得られる。したがって $u_{10}=41$ かつ $S_{10}=\frac{10}{2}(5+41)=230$ である。

$a=4,d=3$において、20と41の間に厳密に挟まれる項は$20<3n+1<41$を満たす。それらの位置は7から13までで、項数は$13-7+1=7$個、22から40までである。和は$\frac72(22+40)=217$であり、また$S_{13}-S_6$でもある。問題文に端点が含まれているか確認せよ。

級数をつなげ、収束を確認する

3つの連続するAPの項$p,q,s$は$2q=p+s$を満たす。3つの連続するGPの項は$q^2=ps$を満たす。$p,q,s$がGPの項であり$p,q,-2s$がAPの項である場合、$q=pr,s=pr^2$を$2q=p-2s$に代入する。$p\ne0$については、これにより$2r^2+2r-1=0$が得られる。解き、符号または収束に関する制限を適用せよ。

$r=1$を持つ有限GPでは、$S_n=na$を用いるが、分数の公式の分母はゼロとなる。初項がゼロでない場合、無限幾何級数が有限和を持つのは$|r|<1$のときに限りである。負の公比でも収束する：符号が交互に変化し、部分和が両側から極限値に近づく。$r=-1$の場合は振動を続け、収束しない。

最初の$n$個の項を取り除いた後の残りの和は

解法例。 第2項が$-12$で無期限和が16の場合、$ar=-12$と$a=16(1-r)$が得られる。したがって$4r^2-4r-3=0$。$r=3/2$は収束できないので棄却し、$r=-1/2,a=24$が残る。3項後、残りの無期限和は$24(-1/2)^3/(3/2)=-2$である。負の尾は有効である：有限合計は極限和より大きかった。

微分は、曲線の各点における傾きを求めるものです。この傾きは、より短い接線の傾きの極限であり、導関数と呼ばれます。

規則

導関数を $f'(x)$ または $\dfrac{dy}{dx}$ と書きます。基本ルールは以下の通りです。

和は項ごとに微分し、関数の中の関数については**合成関数の微分法（チェーンルール）**を使います。 さらに微分すると、2階導関数 $f''(x)$ または $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ が得られます。

導関数の応用

• 接線と法線。 曲線上の一点における勾配は、その点における接線の勾配である。法線は接線に垂直であるため、接線の勾配がゼロでない場合、その勾配は$-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$となる。水平な接線に対しては垂直な法線が存在する。
• 増加または減少。 関数は $\dfrac{dy}{dx} > 0$ のところで増加関数であり、 $\dfrac{dy}{dx} < 0$ のところで減少関数です。
• 変化率。 導関数は変化率です。関連する変化率はチェーンルールを使い、例として $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$ が使われます。

定常点

停留点とは$\dfrac{dy}{dx} = 0$となる点である。その性質は2階導関数で判定する：$f''(x) > 0$は最小点、$f''(x) < 0$は最大点を示す。$f''(x) = 0$の場合、この判定は決着をつけない。両側の1階導関数の符号を確認する：負から正への変化は最小点、正から負への変化は最大点を示す。例えば、$y=x^4$は両方の導関数がゼロにもかかわらず原点で最小値をとる。

worked example. 曲線 $y = 4x^{1/2} - x$ は $x = a$ で最大点を持ちます。 $a$ を求めよ。

したがって $a = 4$ です。

弦、有理乗と重複根号

$y=x^3$について、$x=2$から$x=2+h$への弦の勾配は$[(2+h)^3-8]/h=12+6h+h^2$（$h\ne0$の場合）である。$h\to0$とするとき、これは12に漸近し、これが接線の勾配である。これは導関数の直感的な説明であり、元の商式にゼロを代入してはならない。

$x>0$について、$f=3\sqrt x+2/x$から$f'=\frac32x^{-1/2}-2x^{-2}$と$f''=-\frac34x^{-3/2}+4x^{-3}$が得られる。複合関数$y=\sqrt{2x^3+5}$に対しては合成の微分則を用い、根号の被開演算子が正の$dy/dx=3x^2/\sqrt{2x^3+5}$を得る。

接線と法線の式を書く

点および傾きを見つける。$y=x^2$ において $(1,1)$ 、$dy/dx=2$ において、接線 $y-1=2(x-1)$ と法線 $y-1=-\frac12(x-1)$ を得る。点 $(p,q)$ に傾きがゼロがある場合、その接線は $y=q$ で、法線は $x=p$ である。

停留点から概略図を描く

$f=x^3-6x^2+9x+2$について、$f'=3(x-1)(x-3)$であるため、停留点は$x=1,3$を持つ。元の関数に代入すると、$(1,6)$は$f''(1)=-6$のため最大値、$(3,2)$は$f''(3)=6$のため最小値となる。導関数は$x<1$および$x>3$で正、$1<x<3$で負である。概略図には切片や定義域の制限も必要である。

連関変化率と最適化

$A=\pi r^2$の場合、$dA/dt=(dA/dr)(dr/dt)=2\pi r\,dr/dt$となる。$r=5$ cmおよび$dr/dt=0.3$ cm/sにおいて、$dA/dt=3\pi$ cm²/sである。減少する量に対しては負の比率で始める。長さに関する微分と時間に関する微分は異なる比率である。

For a rectangle beside a wall, 60 m of fence covers two widths $x$ and a length $y$. The constraint is $2x+y=60$. Therefore $A=x(60-2x)$ with $0<x<30$. Solve $A'=60-4x=0$, giving $x=15,y=30$. Since $A''=-4<0$, the maximum area is $450$ m². Check the physical domain and its boundaries before accepting an optimum.

積分は微分の逆操作です。累乗則を逆に行うと、

$+\,C$ は積分定数です。曲線上の1点を知っている場合、それを代入して $C$ を求めます。

定積分と面積

定積分は上限・下限を持ち、数値を返します。

For $p<q$, a definite integral counts contributions above the $x$-axis positively and those below negatively. It equals geometric area only when the curve is nonnegative throughout. For total area, split at the roots and add the magnitudes of each integral. For the area between two curves, integrate (top curve $-$ bottom curve), splitting wherever their order changes. Reversing the limits reverses the sign of the integral.

worked example. 曲線 $y = 4x^{1/2} - x$ は $x$ 軸と $x = 16$ で再び交わります。 $x = 0$ から $x = 4$ までの曲線と $x$ 軸の間の面積を求めよ。

反則定積分は、上限が無限大であるか、被積分関数が定義されない端点を含みます。これを極限として評価します。例えば、

および $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\lim_{a\to0^+}\left[2x^{1/2}\right]_a^{1}=2$ は有限ですが、被積分関数は $x=0$ で発散しています。

回転体

ある領域が軸の周りに一周回転すると、立体が生成されます。回転体の体積（$x$軸のまわり）は

また、$y$軸のまわりの体積は$V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$です。例えば、$x = 0$から$x = 4$までの$y = \sqrt{x}$の下の領域を$x$軸のまわりに回転させたときの体積は$\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$です。

2つの条件から導かれる曲線

$y''=6x$ と $(1,4)$ が定常点である場合、$y'=3x^2+A$ まで一次積分する。その地点で勾配は零なので、$A=-3$ となる。さらに $y=x^3-3x+B$ まで積分し、与えられた点を用いて $B=6$ を求める。二回の積分にはそれぞれ独立に決定される定数が二つ必要である。結果を微分して検算すること。

符号付き総和と幾何学的面積

$y=x^2-1$ から $x=-1$ までの2 における符号付き積分は零である。$x=1$ で区切る：$[-1,1]$ 上の寄与は $-4/3$ 、$[1,2]$ 上の寄与は $4/3$ である。幾何学的な面積は $4/3+4/3=8/3$ 平方単位である。

反則積分（Improper integral）が有限であるためには、その極限値が実数として存在しなければならない。例えば、$\int_0^1x^{-2}dx=\lim_{a\to0^+}(1/a-1)$は有限値を持たない。無限大記号は代入すべき数ではなく、極限によって定義される境界を表すものである。

曲線間の隙間または接線と曲線

The curves $y=2x$ and $y=x^2$ intersect at $x=0,2$. The line is above the parabola between them, so the enclosed area is $\int_0^2(2x-x^2)dx=4/3$ square units. If the upper and lower curves exchange places, split the integral at that intersection.

$y=2x-x^2$ について、$(1,1)$ における接線は $y=1$ である。$0\le x\le1$ において、曲線下の面積は $2/3$ 、接線下の長方形の面積は 1 である。その差は $1-2/3=1/3$ である。複合面積の問題で境界値を選ぶ前に、接線の式と必要な切片を求めること。

穴のある回転と任意の軸に関する回転

領域が回転軸に触れなくても構わない。この場合、スライスには外半径$R$と内半径$r$があり、断面積は$\pi(R^2-r^2)$であり、$\pi(R-r)^2$ではない。

$y=4-x^2$ と $y=1$ の間で、交点は $x=\pm\sqrt3$ に生じる。$x$ 軸周りに回転させると、

About the $y$-axis, use horizontal slices and express radii in terms of $y$: $V=\pi\int(R(y)^2-r(y)^2)dy$. The region $0\le x\le\sqrt y$, $0\le y\le4$, produces $V=\pi\int_0^4y\,dy=8\pi$. Bounds must be $y$ values when integrating with respect to $y$. Include any inner radius, and state cubic units.

• 代数計算のすべての行を示す — ステップを飛ばすと手法点が失われます。判別式 $b^2 - 4ac$ を用いて実根の数を決定します。
• 円弧 $= r\theta$、扇形面積 $= \frac{1}{2}r^2\theta$ の計算にはラジアンを用いる。
• 微分においては、停留点を求めるために $\frac{dy}{dx} = 0$ とし、2階導関数を用いて分類します。
• 積分では、不定積分に**$+ c$**を加え、面積計算には定積分（ limits ）を使います。軸より下にある面積は負の値になります。