このプリントはトピック2：純粋数学の応用 2 を扱っている。双曲線関数、固有値、新しい微分・積分、ド・モワーヌの定理、微分方程式の解法が含まれる。
高等純数学2
A-Level 高等数学 · トピック 2
11:29
高等純数学2
Look at any hanging chain, any power line, any suspension cable. It always settles into one special curve. You might guess a parabola — but it is not. It is…
英語ナレーション・英語＋中文字幕 burning-in
2.1
双曲線関数
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| 双曲関数 $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\text{sech } x$, $\text{cosech } x$, $\text{coth } x$ の指数関数による定義を理解する | |
| 双曲線関数のグラフを描く | |
| 双曲関数 に関する恒等式の証明および適用 | e.g. $\cosh^2 x - \sinh^2 x \equiv 1$, $\sinh 2x \equiv 2 \sinh x \cosh x$ および標準的な三角関数の恒等式に対応する同様の結果. |
| 逆双曲線関数の定義を理解し利用し、対数形を導出・利用する |
出典: Cambridge International シラバス
双曲線関数は指数関数によって定義されます：
$$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}.$$
三角関数と同様に恒等式を満たしますが、その主なものとして $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ が挙げられます。3つの逆数（reciprocals）である $\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$, $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$ も $e^x$ を用いて定義され、積分やマークスケールで頻出するため見慣れる必要があります。逆双曲線関数は対数形を持ちます。例えば $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$ などです。
** worked example（解法例）。** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ であることを示してください。
$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = \frac{4}{4} = 1.$$
探索
双曲線関数
y = a cosh(x)
cosh はカテナリー曲線（吊り下げられた鎖）であり、(0, a) で最小値をとる。
2.2
行列
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| 3未知数を持つ3連立方一次方程式の解の問題を行列方程式の解の問題として定式化するか、その逆を行う | |
| 3連立方一次方程式の整合性（一致）または非整合性（不一致）が発生しうるケースを理解し、対応する行列の特異性との関連付け、一致系を解き、直線および平面を用いた幾何学的解釈を行う | e.g. 3つの平面が一点で交わる、一本の直線で交わる、または共通点を持たない場合。 |
| 正方行列に対する特性方程式、固有値、および固有ベクトルの用語を理解する | 定義$\mathbf{Ae} = \lambda \mathbf{e}$を使用して簡単な性質を証明する包括的な使用、e.g. $\lambda^n$が$\mathbf{A}^n$の固有値であることを示すこと。 |
| 固有値と固有ベクトル $2 \times 2$および$3 \times 3$行列に対して求める | 固有値が実数かつ互いに異なる場合に限定。 |
| 正方行列を $\mathbf{QDQ}^{-1}$ の形に表す。ここで $\mathbf{D}$ は固有値からなる 対角行列、$\mathbf{Q}$ は固有ベクトルを列とする行列であり、この表現を用いる | e.g. $2 \times 2$ や $3 \times 3$ の幂の計算に用いる. |
| 正方行列は自身の特性方程式を満たすという事実を用いる。 | 例えば行列の累乗を求める場合や逆行列を求める場合；$2 \times 2$または$3 \times 3$行列に限定。 |
出典: Cambridge International シラバス
3変数の3連一次方程式系を単一の行列方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ で表すことができます。$A$ が非特異であれば唯一解があり、$A$ が特異であれば解が存在しないか（無解）、あるいは無限に多くの解があります。
For a square matrix $A$, the characteristic equation is $\det(A - \lambda I) = 0$. Its solutions are the eigenvalues $\lambda$, and for each one the vector $\mathbf{v}$ with $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ is an eigenvector. You can then write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
** worked example（解法例）。** $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ の固有値を求めよ。
特性方程式は
$$\det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)^2 - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2 - \lambda = \pm 1.$$
したがって $\lambda = 1$ または $\lambda = 3$ です。（$\lambda = 3$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$、$\lambda = 1$ に対する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。）
探索
変換と行列式
行列を変化させて単位正方形を回転、伸縮、せん断する——行列式は面積の変化を示す。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 高度純数学 |
| hyperbolic functions/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 双曲関数 |
| inverse hyperbolic functions/ɪnˈvɜːs ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃnz/ | 逆双曲関数 |
| logarithmic form/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk fɔːm/ | 対数形 |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | 行列方程式 |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | 特性方程式 |
| eigenvalues/ˈaɪdʒənvæljuːz/ | 固有値 |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | 固有ベクトル |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | 対角行列 |
| Maclaurin's series/məˈklɔːrɪnz ˈsɪəriːz/ | マクローリン級数 |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 平方完成 |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | 降次公式 |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | 弧長 |
| surface area of revolution/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 回転体表面積 |
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | リーマン和 |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | 複素数 |
| De Moivre's theorem/də ˈmɔɪvəz ˈθɪərəm/ | ド・モワールの定理 |
2.3
微分法
シラバス
English
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • differentiate hyperbolic functions and differentiate $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$, $\cosh^{-1}x$ and $\tanh^{-1}x$ | |
| • obtain an expression for $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ in cases where the relation between $x$ and $y$ is defined implicitly or parametrically | |
| • derive and use the first few terms of a Maclaurin's series for a function. | Derivation of a general term is not included, but successive 'implicit' differentiation steps may be required, e.g. for $y = \tan x$ following an initial differentiation rearranged as $y' = 1 + y^2$. |
出典: Cambridge International シラバス
双曲線関数および逆関数 $\sin^{-1}x$, $\tan^{-1}x$, $\sinh^{-1}x$ などの微分を行うことができます。また、暗黙的またはパラメータ表示された曲線に対する $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求めることもできます。
マクローリン級数は関数を冪級数として展開するものです：
$$f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots$$
例えば $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$
** worked example（解法例）。** $f(x) = \ln(1+x)$ のマクローリン級数を $x^3$ の項まで求めよ。
$f(0) = 0$; $f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ なので $f'(0) = 1$; $f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ なので $f''(0) = -1$; $f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ なので $f'''(0) = 2$。これを級数に代入すると：
$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$
探索
ある点における勾配
勾配 = dy/dx
導関数とは、どのような複雑な関数であっても、その接線の傾きである。
2.4
積分法
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| • 双曲線関数を積分し、$\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$, $\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$の形の関数の積分を認識し、適宜三角関数置換または双曲線関数置換を用いて関連する関数を積分する | 必要に応じて平方完成を使用する場合も含む。例：$\frac{1}{\sqrt{x^2 + x}}$の積分。 |
| • 定積分の評価のための降次公式を導出・使用する | 例：$\int_0^{\frac{1}{2}\pi} \sin^n x \text{ d}x$, $\int_0^1 \text{e}^{-x}(1-x)^n \text{ d}x$。難しい問題ではヒントが与えられることがあり、例：$\int_0^{\frac{1}{4}\pi} \sec^n x \text{ d}x$について$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\tan x \sec^n x)$を検討することで解く。 |
| 曲線下面積を長方形の面積で近似する方法を理解し、曲線下面積の推定や境界設定、または和に関する不等式や極限の導出に長方形を用いる | 幅が一定の長方形、あるいは幅がゼロに近づく長方形のいずれかを含む問題。e.g. $1 + \ln n > \sum_{r=1}^n \frac{1}{r} > \ln(n+1)$, $\sum_{r=1}^n \frac{1}{n}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{-1} \approx \int_0^1 (1+x)^{-1} \text{ d}x$. 継続 |
| • 積分を用いて、Cartesian座標（パラメータ使用含む）での曲線の弧長、またはCartesian座標（パラメータ使用含む）での軸回転による回転体表面積を求める。 | 積分を含む問題はCambridge International A Level Mathematics (9709)の技術を用いてより難易度の高い場合に適用されることもあり、例：$\int e^x \sin x \mathrm{d}x$に対する部分積分、または置換$t = \tan \frac{1}{2}x$の使用。Cartesian座標以外の回転体表面積は不要。 |
出典: Cambridge International シラバス
標準的な積分公式を memorize してください：
$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C, \qquad \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C.$$
関連する形式には、三角置換、双曲線置換、あるいは分母の平方完成を用います。降次公式は積分 $I_n$ と $I_{n-1}$ を結びつけ、段階的に計算を進めることを可能にします。積分法はさらに、曲線の弧長や、曲線を軸の周りに回転させたときの回転体表面積を求めることにも使われます。
** worked example.** $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$ を求める。
ここで $a^2 = 4$ なので、$a = 2$ となり、
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{2} + C.$$
積分による和の評価。 単位幅の長方形を、$y=\frac1x$ のような減少曲線の下または上に描く。高さ $\frac1r$ の各長方形は2つの積分ストリップの間に挟まれるため、合計すると
$$\ln(n+1) < \sum_{r=1}^{n}\frac1r < 1 + \ln n.$$
長方形の幅を $\frac1n\to 0$ に縮小すると、そのような和はリーマン和となり、極限として积分に一致します。例えば $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$ などです。
探索
曲線下の面積
area = ∫ f(x) dx
すべての積分は曲線下の面積を測る—— limits をドラッグせよ。
2.5
複素数
シラバス
| 受験者は以下のことをできること： | メモと例 |
|---|---|
| • デ・モワールの定理を理解する。正整数または負整数の指数について、複素数の掛け算と割り算の幾何学的効果として理解する。 | |
| • 正整数の指数に対するデ・モワールの定理を証明する | 例：帰納法による。 |
| • 正整数または負有理数の指数に対するデ・モワールの定理を使用する | 例：$\cos 5\theta$を$\cos \theta$で表す、または$\tan 5\theta$を$\tan \theta$で表す。 |
| – 基本角の三角比の累乗で多倍角の三角比を表す | 例：$\sin^6 \theta$を$\cos 2\theta$, $\cos 4\theta$, $\cos 6\theta$で表す。 |
| – $\sin \theta$と$\cos \theta$の累乗を多倍角で表す | |
| – 級数の和を取る | 例：$C + \mathrm{i}S$法を用いて$\sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r} \sin r\theta$のような級数の和を取る。 |
| – $n$次の単位根の導出と利用 |
出典: Cambridge International シラバス
極座標形式の複素数は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ です。ド・モワブルの定理によると、任意の整数 $n$ に対して、
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.$$
これは $\cos n\theta$ や $\sin n\theta$ を冪で展開したり、級数の和を求めたりするために用いられ、また $n$ 単位根（$z^n = 1$ の解、単位円周上に等間隔に配置されるもの）を見つけることにも役立ちます。
** worked example（解法例）。** ド・モワブルの定理を用いて、$\cos 3\theta$ を $\cos\theta$ で表せ。
$(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$ の実部を取る：
$$\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta(1 - \cos^2\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.$$
探索
アル幹図
点をドラッグして絶対値と偏角を探る——複素数の極座標（絶対値–偏角）表示における表現方法である。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| roots of unity/ruːts ɒv ˈjuːnɪti/ | 単位根 |
| integrating factor/ˈɪntɪɡreɪtɪŋ ˈfæktə/ | 積分因子 |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | 一般解 |
| complementary function/ˌkɒmplɪˈmentəri ˈfʌŋkʃn/ | 補関数 |
| particular integral/pəˈtɪkjʊlə ˈɪntɪɡrəl/ | 特解 |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 特解 |
| separable variables/ˈsepərəbl ˈveərɪəblz/ | 変数分離型 |
| auxiliary equation/ɔːkˈsɪlɪəri ɪˈkweɪʒn/ | 補助方程式 |
2.6
微分方程式
シラバス
English
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • find an integrating factor for a first order linear differential equation, and use an integrating factor to find the general solution | e.g. $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2y = x^2$, $x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y = x^4$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\coth x = \cosh x$. |
| • recall the meaning of the terms 'complementary function' and 'particular integral' in the context of linear differential equations, and recall that the general solution is the sum of the complementary function and a particular integral | |
| find the complementary function for a first or second order linear differential equation with constant coefficients | For second order equations, including the cases where the auxiliary equation has distinct real roots, a repeated real root or conjugate complex roots. |
| recall the form of, and find, a particular integral for a first or second order linear differential equation in the cases where a polynomial or $ae^{bx}$ or $a\cos px + b\sin px$ is a suitable form, and in other simple cases find the appropriate coefficient(s) given a suitable form of particular integral | e.g. evaluate $k$ given that $kx \cos 2x$ is a particular integral of $$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4y = \sin 2x$$ . |
| use a given substitution to reduce a differential equation to a first or second order linear equation with constant coefficients or to a first order equation with separable variables | e.g. the substitution $x = e^t$ to reduce to linear form a differential equation with terms of the form $$ax^2\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + bx\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + cy$$ , or the substitution $y = ux$ to reduce $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$$ to separable form. |
| use initial conditions to find a particular solution to a differential equation, and interpret a solution in terms of a problem modelled by a differential equation. |
出典: Cambridge International シラバス
一次線形微分方程式 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$ において、積分因子 $\mu = e^{\int P\,dx}$ を両辺に掛ける。左辺は $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$ となり、そのまま積分できる。
定数係数線形方程式の一般解は2つの部分の和になります：補完関数（右辺を $0$ とした方程式の解、補助方程式から得られる）と特定解（完全方程式の解のいずれか）。初期条件を用いることで定数が固定され、特解が得られます。変数分離可能なより単純な方程式については直接積分できます。
** worked example（解法例）。** $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$ を解け。
積分因子は $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$ です。両辺に掛けると $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$ となるため、
$$y\,e^{2x} = \tfrac13 e^{3x} + C \;\Rightarrow\; y = \tfrac13 e^x + C e^{-2x}.$$
二階定数係数。 $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$ に対して 補助方程式 $m^2+bm+c=0$ を解く。補完関数はその根によって決まる：
- 異なる2つの実根 $m_1,m_2$： $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
- 重根 $m$： $y=(A+Bx)e^{mx}$;
- 複素根 $p\pm qi$： $y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$。
次に、$f(x)$ に適合する形（多項式、$ae^{bx}$、または $a\cos px+b\sin px$）で特殊解を推測して加えます。もしその推測がすでに補完関数に含まれている場合は、$x$ を掛けて修正します。
** worked example.** $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$ を解きます。補助方程式 $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ は重根 $m=2$ を持つため、$y=(A+Bx)e^{2x}$ となります。
探索
微分方程式
dy/dx = a y
方程式は everywhere で傾きを設定し、解はその傾きに従う。
2.6
試験対策
- 双曲線恒等式と導関数を学び、積分計算において逆双曲線関数を使用します。
- 線形微分方程式を、補完関数 $+$ と特殊解の和として解き、境界条件を適用します。
- 複素数のべき乗と根の計算、および三角恒等式の導出にデ・モワールの定理を使用します。
- 指定された置換を用いて、積分を標準形に還元します。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。