IGCSE Mathematics · Matematika IGCSE · Topic 7 · Topik 7
7:56
Transformasi dan vektor
Lihat dinding ini. Tampak rumit — ratusan bentuk saling mengunci. Namun tidak ada yang menggambar setiap potongannya. Seseorang menggambar satu bentuk kecil, lalu memindahkannya lagi…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
This handout covers Topic 7, Transformations and vectors. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Vectors as a whole topic are Extended.
Lembar kerja ini mencakup Topik 7, Transformasi dan vektor. Bagian yang ditandai (Lanjutan) hanya diujikan dalam kertas lanjutan; semua lainnya berlaku untuk kedua tingkat. Vektor sebagai topik keseluruhan termasuk lanjutan.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions will not involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a vertical or horizontal line. | |
| 2 Rotation of a shape about the origin, vertices or midpoints of edges of the shape, through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive and fractional scale factors only. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Konten mata pelajaran | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Kenali, jelaskan, dan gambar transformasi berikut: | Soal tidak akan melibatkan kombinasi transformasi. Penggaris harus digunakan untuk semua garis lurus. |
| 1 Refleksi bentuk pada garis vertikal atau horizontal. | |
| 2 Rotasi bentuk terhadap titik asal, titik sudut, atau titik tengah sisi-sisi bentuk, dengan kelipatan 90°. | |
| 3 Perbesaran suatu bangun dari pusat dengan faktor skala. | Hanya faktor skala positif dan pecahan. |
| 4 Translasi bentuk oleh vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Transformations | Notes and examples |
|---|---|
| Recognise, describe and draw the following transformations: | Questions may involve combinations of transformations. A ruler must be used for all straight edges. |
| 1 Reflection of a shape in a straight line. | |
| 2 Rotation of a shape about a centre through multiples of 90°. | |
| 3 Enlargement of a shape from a centre by a scale factor. | Positive, fractional and negative scale factors may be used. |
| 4 Translation of a shape by a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
| Transformasi | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Kenali, jelaskan, dan gambar transformasi berikut: | Soal mungkin melibatkan kombinasi transformasi. Penggaris harus digunakan untuk semua garis lurus. |
| 1 Refleksi bangun pada garis lurus. | |
| 2 Rotasi bangun di sekitar pusat dengan kelipatan 90°. | |
| 3 Perbesaran bangun dari sebuah pusat dengan faktor skala. | Faktor skala positif, pecahan, dan negatif dapat digunakan. |
| 4 Translasi bentuk oleh vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A transformation 变换 changes the position or size of a shape. The original is the object and the result is the image. There are four types. When asked to describe one, you must name the type and give all the details below.
A reflection 反射 flips the shape over a mirror line 对称轴. Each image point is the same distance from the line as the object point, on the other side.
Worked example. Reflect the point $(3, 2)$ in the $y$-axis. Only the sign of $x$ changes: the image is $(-3, 2)$. (In the $x$-axis it would be $(3, -2)$.)
A rotation 旋转 turns the shape about a fixed point, the centre 中心 of rotation, through multiples of $90^{\circ}$.
Worked example. Rotate $(3, 1)$ by $90^{\circ}$ anticlockwise about the origin. The rule is $(x, y) \to (-y, x)$, so the image is $(-1, 3)$.
An enlargement 放大 changes the size by a scale factor 比例因子 $k$, measured from a fixed centre. Each distance from the centre is multiplied by $k$.
Worked example. Enlarge $(1, 2)$ from the origin by scale factor $2$. Multiply both coordinates: the image is $(2, 4)$.
A translation 平移 slides the shape with no turning, by a vector 向量 written as a column vector 列向量 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ across, $y$ up).
Worked example. Translate $(5, 3)$ by $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: move $2$ left and $4$ up to get $(3, 7)$.
(Extended: a question may ask you to combine two transformations and describe the single transformation that has the same effect.)
Sebuah transformasi mengubah posisi atau ukuran suatu bentuk. Bentuk aslinya disebut objek dan hasilnya disebut gambar. Ada empat jenis. Ketika diminta untuk mendeskripsikan salah satunya, Anda harus menyebutkan jenisnya dan memberikan semua detail di bawah ini.
Sebuah refleksi membalikkan bentuk melalui garis cermin. Setiap titik gambar berjarak sama dari garis tersebut dengan titik objek, namun di sisi yang lain.
Contoh terpecahkan. Refleksikan titik $(3, 2)$ terhadap sumbu $y$. Hanya tanda dari $x$ yang berubah: citranya adalah $(-3, 2)$. (Pada sumbu $x$ akan menjadi $(3, -2)$.)
Sebuah rotasi memutar bentuk sekitar titik tetap, yaitu pusat rotasi, melalui kelipatan dari $90^{\circ}$.
Contoh terpecahkan. Rotasikan $(3, 1)$ sebesar $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam tentang titik asal. Aturannya adalah $(x, y) \to (-y, x)$, sehingga citranya adalah $(-1, 3)$.
Sebuah perbesaran mengubah ukuran dengan faktor skala $k$, diukur dari pusat tetap. Setiap jarak dari pusat dikalikan dengan $k$.
Contoh terpecahkan. Perbesar $(1, 2)$ dari titik asal dengan faktor skala $2$. Kalikan kedua koordinat: citranya adalah $(2, 4)$.
Sebuah translasi menggeser bentuk tanpa memutar, oleh vektor yang ditulis sebagai vektor kolom $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ ($x$ ke kanan, $y$ ke atas).
Contoh terpecahkan. Terapkan translasi pada $(5, 3)$ oleh $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$: gerakkan $2$ ke kiri dan $4$ ke atas untuk mendapatkan $(3, 7)$.
(Extended: pertanyaan mungkin meminta Anda untuk menggabungkan dua transformasi dan mendeskripsikan transformasi tunggal yang memiliki efek yang sama.)
Translate, reflect, rotate or enlarge the shape and watch where it lands. · Terjemahkan, refleksikan, rotasikan, atau perbesar bentuk dan lihat ke mana ia mendarat.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformasi |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | pemantulan |
| mirror line/ˈmɪrə laɪn/ | garis cermin |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | rotasi |
| centre/ˈsentə/ | pusat |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | pembesaran |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | faktor skala |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | terjemahan |
| Vectors in two dimensions | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Describe a translation using a vector represented by $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. | Vectors will be printed as $\overrightarrow{AB}$ or $\mathbf{a}$. |
| 2 Add and subtract vectors. | |
| 3 Multiply a vector by a scalar. |
| Vektor dalam dua dimensi | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Deskripsikan translasi menggunakan vektor yang direpresentasikan oleh $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}$ atau $\mathbf{a}$. | Vektor akan dicetak sebagai $\overrightarrow{AB}$ atau $\mathbf{a}$. |
| 2 Tambahkan dan kurangkan vektor. | |
| 3 Kalikan vektor dengan skalar. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A vector has both size and direction. It can be written as a column vector, as $\overrightarrow{AB}$ (from $A$ to $B$), or in bold as $\mathbf{a}$.
Worked example. If $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ and $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, then
Vektor memiliki baik besaran maupun arah. Dapat ditulis sebagai vektor kolom, seperti $\overrightarrow{AB}$ (dari $A$ ke $B$), atau dalam huruf tebal sebagai $\mathbf{a}$.
Contoh terpecahkan. Jika $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ dan $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, maka
Drag two vectors and add them tip to tail to get the resultant. · Tarik dua vektor dan jumlahkan mereka ujung ke ekor untuk mendapatkan resultan.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vektor |
| column vector/ˈkɒlʌm ˈvektə/ | vektor kolom |
| scalar/ˈskeɪlə/ | skalar |
| Magnitude of a vector | Notes and examples |
|---|---|
| Calculate the magnitude of a vector $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ as $\sqrt{x^2 + y^2}$. | The magnitudes of vectors will be denoted by modulus signs, e.g. • $|\mathbf{a}|$ is the magnitude of $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ is the magnitude of $\overrightarrow{AB}$. |
| Magnitudo vektor | Catatan dan contoh |
|---|---|
| Hitung magnitudo vektor $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ sebagai $\sqrt{x^2 + y^2}$. | Magnitudo vektor akan dinyatakan dengan tanda modulus, mis. • $|\mathbf{a}|$ adalah magnitudo dari $\mathbf{a}$ • $|\overrightarrow{AB}|$ adalah magnitudo dari $\overrightarrow{AB}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
The magnitude 模 (length) of a vector is found with Pythagoras. For $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
Worked example. The magnitude of $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ is $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
Magnitudo (panjang) dari sebuah vektor ditemukan menggunakan Pythagoras. Untuk $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$,
Contoh terpecahkan. Magnitudo dari $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ adalah $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | besarnya |
| directed line segment/daɪˈrektɪd laɪn ˈseɡmənt/ | segmen garis terarah |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | vektor posisi |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralel |
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | kolinear |
| coplanar/ˌkəʊˈpleɪnə/ | koplanar |
| Vector geometry | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Represent vectors by directed line segments. | |
| 2 Use position vectors. | |
| 3 Use the sum and difference of two or more vectors to express given vectors in terms of two coplanar vectors. | |
| 4 Use vectors to reason and to solve geometric problems. | Examples include: • show that vectors are parallel • show that 3 points are collinear • solve vector problems involving ratio and similarity. |
| Geometri vektor | Catatan dan contoh |
|---|---|
| 1 Representasikan vektor dengan segaris berarah. | |
| 2 Gunakan vektor posisi. | |
| 3 Gunakan penjumlahan dan pengurangan dua vektor atau lebih untuk menyatakan vektor-vektor tertentu dalam bentuk dua vektor koplanar. | |
| 4 Gunakan vektor untuk bernalar dan menyelesaikan masalah geometri. | Contoh meliputi: • tunjukkan bahwa vektor sejajar • tunjukkan bahwa 3 titik segaris • selesaikan masalah vektor yang melibatkan rasio dan kemiripan. |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A vector can be drawn as a directed line segment 有向线段 (an arrow). The position vector 位置向量 of a point is the vector from the origin $O$ to that point.
A key idea: the vector from $A$ to $B$ is
where $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$ are the position vectors of $A$ and $B$.
Two vectors are parallel 平行 if one is a scalar multiple of the other (for example $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Three points are collinear 共线 (in a straight line) if the vectors between them are parallel and share a point. You can express any vector in terms of two coplanar 共面 vectors.
Worked example. $O$ is the origin, with $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ and $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ is the midpoint of $AB$. Find $\overrightarrow{OM}$ in terms of $\mathbf{a}$ and $\mathbf{b}$.
Vektor dapat digambar sebagai segmen garis berarah (panah). Vektor posisi dari sebuah titik adalah vektor dari titik asal $O$ ke titik tersebut.
Ide kunci: vektor dari $A$ ke $B$ adalah
di mana $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$ adalah vektor posisi dari $A$ dan $B$.
Dua vektor sejajar jika salah satu merupakan kelipatan skalar dari yang lain (misalnya $\overrightarrow{AB} = 2\,\overrightarrow{CD}$). Tiga titik kolinear (segaris) jika vektor di antara mereka sejajar dan berbagi satu titik. Anda dapat mengekspresikan vektor apa pun dalam istilah dua vektor koplanar.
Contoh terpecahkan. $O$ adalah titik asal, dengan $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ dan $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$. $M$ adalah titik tengah dari $AB$. Temukan $\overrightarrow{OM}$ dalam istilah $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$.
resultant = a + b · resultan = a + b
Combine vectors to reach a point — the resultant is the direct route. · Gabungkan vektor untuk mencapai suatu titik — resultannya adalah rute langsung.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…