A · Proof

AQA A-level Mathematics 7357, bagian A (Pembuktian), versi 1.3 (asesmen pertama 2018). Catatan pengajaran asli.

Prasyarat: manipulasi aljabar dari GCSE.

Ini adalah contoh pengajaran asli, bukan materi resmi AQA.

Pertanyaan

• Rumus n² + n + 41 menghasilkan bilangan prima untuk n = 0, 1, 2, hingga 39. Seorang siswa menyimpulkan bahwa rumus itu selalu menghasilkan bilangan prima. Bagaimana satu angka dapat membantah empat puluh konfirmasi?
• Sebelum membaca lebih lanjut, sebutkan jenis argumen apa yang dapat menegakkan klaim untuk SETIAP kasus, dan apa yang dapat menegakkannya untuk SATU kasus saja.

Metode

• Bukti deduktif dimulai dari definisi yang dinyatakan dan mengikuti secara logis: bilangan bulat ganjil 2a+1 dan 2b+1 berjumlah 2(a+b+1), yang merupakan bilangan genap — terbukti untuk setiap pasangan.
• Kontracontoh membantah klaim semua nilai dengan satu kasus gagal yang valid: pada n = 41, nilainya adalah 41 × 43 = 1763, bukan prima. Bukti dengan kontradiksi mengasumsikan negasi dan menurunkan ketidakmungkinan: jika √2 = p/q dalam bentuk termurah, maka p² = 2q² memaksa p menjadi genap, dan menulis p = 2r memaksa q juga menjadi genap — bertentangan dengan bentuk termurah, sehingga √2 adalah irasional.
• Deduksi: Membuktikan sebuah klaim melalui langkah-langkah logis dari fakta yang diterima; Kontracontoh: Satu kasus valid yang membantah klaim universal; Kontradiksi: Mengasumsikan negasi dan menurunkan sebuah ketidakmungkinan.

Memeriksa pekerjaan Anda

• Memeriksa n = 0, 1, 2, …, 39 adalah bukti kuat tetapi bukan bukti: klaim tersebut berkaitan dengan SETIAP bilangan bulat positif. Bukti harus mencakup semua kasus sekaligus—dengan aljabar umum, dengan pengurasan daftar lengkap terbatas, atau dengan kontradiksi.
• Sebelum menerima sebuah bukti, periksa strukturnya: apakah dimulai dari asumsi daripada dari kesimpulan? Apakah kontradiksi menyerang asumsi yang stated? Memeriksa contoh memverifikasi aritmatika tetapi tidak dapat menggantikan argumen umum.

Contoh terpecahkan

• Diketahui: contoh penyangkal n = 41. Substitusi: n² + n + 41 = 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41 × 43 = 1763. Nilai tersebut memiliki faktor 41, sehingga bukan prima — satu kasus gagal sudah cukup untuk membantah klaim universal (n = 40, menghasilkan 1681 = 41², juga gagal).

Contoh:

Uji apakah jumlah dua bilangan genap selalu genap menggunakan deduksi: tulis kedua bilangan sebagai 2a dan 2b dan tunjukkan strukturnya. (Jawaban: 2a + 2b = 2(a + b), yang merupakan kelipatan dari 2, sehingga genap untuk setiap pasangan — tidak perlu contoh.)

Batasan dan jebakan

• Setiap metode memiliki bentuk yang diperlukan: deduksi memerlukan variabel umum, pengurasan memerlukan daftar kasus yang benar-benar lengkap, dan kontradiksi memerlukan ketidakmungkinan yang mengikuti dari negasi itu sendiri. Bukti tentang bilangan bulat tidak otomatis mencakup bilangan real, dan identitas yang dibuktikan untuk semua nilai berbeda dengan persamaan yang hanya benar pada solusi tertentu.

Peringatan:

Memeriksa klaim untuk seratus bilangan pertama membuktikan klaim tersebut untuk setiap bilangan bulat positif. Klaim ini salah: sampel terbatas hanyalah bukti, bukan pembuktian mutlak — n² + n + 41 bertahan selama 40 pemeriksaan (n = 0 hingga 39) dan gagal pada pemeriksaan ke-41 (n = 40 menghasilkan 1681 = 41²), sehingga hanya argumen umum atau contoh penyangkal yang dapat menyelesaikan klaim universal.

Kunci:

Bukti: deduksi bekerja dari definisi dengan variabel umum; kontracontoh membunuh klaim semua nilai dengan satu kasus; kontradiksi mengasumsikan negasi dan menurunkan ketidakmungkinan. Contoh memverifikasi dan membantah—tetapi tidak pernah membuktikan sesuatu yang universal.