Kasus lengkap dan contoh lawan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| proof by exhaustion/pruːf baɪ eɡˈzɔːstʃn/ | pembuktian dengan penguraian lengkap |
Bilakah tiga kes meliputi setiap integer?
- Menguji seribu integer mungkin terlepas contoh tandingan seterusnya. Senarai lengkap baki yang mungkin boleh menyelesaikan masalah bagi setiap integer.
- Pengajaran ini mengkaji bukti dengan kehabisan: Bukti yang menyemak setiap kemungkinan dalam set kes yang terhingga dan lengkap.
Pilih struktur matematika
- Tulis n=3k, 3k+1 atau 3k+2 untuk integer k. Ini adalah semua baki yang mungkin pada pembahagian oleh 3, termasuk integer negatif. Nilaikan ungkapan dalam setiap kes. Satu contoh tandingan menyangkal claim universal; contoh yang menyokong claim tidak membuktikannya.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Mengapa memeriksa n=0,1,2 tidak membuktikan klaim tentang sisa bagi setiap bilangan bulat oleh 3?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tiga kelas sisa dengan k umum mencakup setiap bilangan bulat, positif atau negatif, dalam satu argumen masing-masing. Memeriksa nilai sampel hanya memverifikasi nilai-nilai tersebut.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Untuk n=3k, n²=9k² boleh dibahagikan oleh 3. Untuk n=3k+1, n²=3(3k²+2k)+1. Untuk n=3k+2, n²=3(3k²+4k+1)+1. Oleh itu, kuasa dua integer mempunyai baki 0 atau 1, tidak pernah 2. Claim bahawa n²+n+41 sentiasa nombor prima gagal pada n=41: nilainya ialah 1763=41×43.
Kasus lengkap dan contoh lawan
Tulis n=3k, 3k+1, atau 3k+2 untuk bilangan bulat k
Klasifikasikan setiap argumen dan jelaskan syarat yang membuatnya valid atau tidak lengkap.
Berapa banyak kasus sisa yang diperlukan untuk pembagian dengan 3?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sisa-sisa yang mungkin adalah 0,1,2, menghasilkan tiga kasus.
Uji jalan pintas yang menggoda
- Sampel terhingga bukan kehabisan melainkan ia mengandungi setiap kemungkinan kes. Memeriksa n=0,1,2 sahaja tidak mencukupi: ungkapan yang melibatkan integer k yang sewenang-wenangnya membenarkan semua integer.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Jika sebuah claim berfungsi untuk seratus integer pertama, ia telah dibuktikan untuk semua integer. Claim ini adalah salah. Jelaskan definisi atau asumsi mana yang dilanggar.
Sisa apa yang dihasilkan 8² ketika dibagi dengan 3?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
64=3×21+1.
Jika sebuah klaim berlaku untuk seratus bilangan bulat pertama, maka telah dibuktikan untuk semua bilangan bulat.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sampel terbatas bukan(entries) kecuali mencakup setiap kemungkinan kasus. Memeriksa n=0,1,2 saja tidak cukup: ekspresi yang melibatkan bilangan bulat sembarang k membenarkan semua bilangan bulat.
Interpretasikan situasi baru
- Pilih pembahagian kes yang lengkap, seperti keparian atau baki. Nyatakan mengapa tiada kes yang terlepas. Untuk claim universal yang salah, berikan input yang sah dan semak kegagalan secara langsung.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Evaluasi n²+n+41 pada n=41.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
41²+41+41=1763=41×43.
Cocokkan setiap hasil pembuktian dengan apa yang menegakkannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Daftar kasus lengkap yang terbatas membuktikan dengan memeriksa setiap kasus; sampel yang terbatas TIDAK LENGKAP hanyalah bukti.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · A. Sesuaikan tier target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Bukti yang menyemak setiap kemungkinan dalam set kes yang terhingga dan lengkap. Pilih hubungan, tunjukkan kaedah, periksa asumsinya dan tafsirkan hasilnya.