Akar irasional dan banyaknya prima yang tak terhingga
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| proof by contradiction/pruːf baɪ ˌkɒntrəˈdɪkʃn/ | pembuktian dengan kontradiksi |
Mengapa √2 tidak boleh menjadi pecahan tepat?
- Kalkulator mencetak digit terhingga bagi √2. Digit-digit tersebut tidak dapat memutuskan sama ada nisbah tepat integer wujud.
- Pengajaran ini mengkaji bukti dengan kontradiksi: Bukti yang menganggap negasi sebuah claim dan menurunkan satu ketidakmungkinan.
Pilih struktur matematika
- Untuk membuktikan √2 tidak rasional, anggap √2=p/q untuk integer p,q yang saling asli dengan q bukan sifar. Maka p²=2q² memaksa p genap; menulis p=2r memaksa q genap juga. Ini bercanggah dengan sifat saling asli. Untuk membuktikan banyak nombor prima yang tak terhingga, anggap senarai prima terhingga yang lengkap dan bina nombor tanpa pembahagi prima yang disenaraikan.
- Nyatakan input yang diperbolehkan dan satuan sebelum menghitung. Persamaan harus mengekspresikan hubungan, bukan sekadar mencatat entri kalkulator.
Dalam pembuktian √2, mengapa p²=2q² memaksa p menjadi genap?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
p²=2q² membuat p² genap; karena bilangan bulat ganjil kuadratnya menghasilkan ganjil, p itu sendiri harus genap. Menulis p=2r kemudian memaksa q²=2r², sehingga q juga genap - bertentangan dengan koprimalitas.
Kerjakan kasus yang dicek
- Periksa hasilnya terhadap besaran awal. Substitusikan ke dalam hubungan asli, atau bandingkan grafik dan jawaban numerik jika sesuai.
Daripada p²=2q² dan p=2r, dapatkan q²=2r². Kedua-dua p dan q akan mempunyai faktor 2, bercanggah dengan bentuk termurah. Untuk senarai prima yang disyaki lengkap p₁,…,pₖ, tetapkan N=p₁⋯pₖ+1. N>1 mempunyai pembahagi prima, tetapi setiap prima yang disenaraikan meninggalkan baki 1 apabila membahagi N. Pembahagi ini adalah prima baharu, bercanggah dengan kelengkapan. N sendiri tidak perlu merupakan nombor prima: 2×3×5×7×11×13+1=30031=59×509.
Akar irasional dan banyaknya prima yang tak terhingga
Untuk membuktikan √2 irasional, asumsikan √2=p/q untuk bilangan bulat saling prima p,q dengan q bukan nol
Klasifikasikan setiap argumen dan jelaskan syarat yang membuatnya valid atau tidak lengkap.
Jika p=2r dan p²=2q², koefisien berapakah yang mengalikan r² dalam q²?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4r²=2q², sehingga q²=2r².
Uji jalan pintas yang menggoda
- Langkah kuasa dua genap memerlukan alasan: integer ganjil 2r+1 mempunyai kuasa dua ganjil 4r(r+1)+1. Bukti prima memerlukan pembahagi prima baharu, bukan claim bahawa hasil tambah product-panas selalu nombor prima. Kontradiksi mesti menyerang asumsi yang dinyatakan.
- Ketika jalan pintas gagal, identifikasi asumsi yang dilanggar. Pertahankan nilai eksak hingga pembulatan akhir yang diminta.
Hasil kali dari sebarang senarai hingga prima ditambah satu sentiasa prima. Tegasan ini adalah salah. Terangkan definisi atau anggapan mana yang dilanggar.
Untuk daftar prima 2,3,5, hitung angka tambah-satu dari perkalian.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2×3×5+1=31.
Perkalian dari sebarang daftar terbatas prima ditambah satu selalu prima.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Langkah kuadrat genap memerlukan alasan: bilangan bulat ganjil 2r+1 memiliki kuadrat ganjil 4r(r+1)+1. Pembuktian prima memerlukan pembagi prima baru, bukan klaim bahwa tambah-satu dari perkalian selalu prima. Kontradiksi harus menyerang asumsi yang dinyatakan.
Interpretasikan situasi baru
- Untuk satu bukti yang tidak dikenali, nyatakan anggapan bertentangan dengan tepat, kekalkan kondisinya dan nyatakan kontradiksi yang tepat. Anggaran perpuluhan atau senarai hingga besar tidak dapat menetapkan kedua-dua tegasan ini.
- Solusi lengkap memberikan hasil matematis dan menjelaskan maknanya. Periksa apakah hal itu mungkin dalam konteks yang dinyatakan.
Temukan sisa ketika 30031 dibagi dengan 13.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
30031=13×2310+1.
Cocokkan setiap bahan pembuktian kontradiksi dengan perannya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kontradiksi harus menyerang asumsi yang dinyatakan; dalam bukti bilangan prima, N tidak perlu prima itu sendiri - 30031=59×509.
Gunakan ini dalam kursus anda
- 7357 · A-level · A. Sesuaikan tier target dan spesifikasi sebelum menetapkan ekstensi.
- Berikan metodenya sebelum jawaban akhir, dan gunakan aturan kalkulator serta rumus pada kertas ujian. Tinjau jawaban yang salah dengan menemukan langkah pertama yang tidak valid.
Satu bukti yang mengandaikan negasi sesuatu tegasan dan menerbitkan ketidakmungkinan. Pilih hubungan, tunjukkan kaedah, periksa anggapannya dan tafsirkan hasilnya.