Differential Equations · ⁨Persamaan Diferensial⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 7 · ⁨Topik 7⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Memodelkan Situasi dengan Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.A: Interpretasikan pernyataan verbal masalah sebagai persamaan diferensial yang melibatkan ekspresi turunan.

FUN-7.A.1 Persamaan diferensial menghubungkan fungsi dari variabel bebas dan turunan-turunan dari fungsi tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 relates a function to its derivatives. Many real situations are described by a rate: "the population grows at a rate proportional to its size" becomes $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Setting up the equation from a verbal description – identifying what changes and what it is proportional to – is the first skill.

Bahasa Indonesia

Sebuah persamaan diferensial menghubungkan suatu fungsi dengan turunannya. Banyak situasi nyata dijelaskan oleh laju: "populasi tumbuh pada laju yang berbanding lurus dengan ukurannya" menjadi $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Menyusun persamaan dari deskripsi lisan – mengidentifikasi apa yang berubah dan terhadap apa itu berbanding lurus – adalah keterampilan pertama.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Memverifikasi Solusi untuk Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.B: Verifikasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.B.1 Turunan dapat digunakan untuk memverifikasi bahwa suatu fungsi adalah solusi dari persamaan diferensial yang diberikan.
FUN-7.B.2 Mungkin terdapat tak hingga banyak solusi umum untuk sebuah persamaan diferensial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A solution is a function that satisfies the equation. To verify a proposed solution, differentiate it and substitute into the equation, checking that both sides agree. A general solution contains a constant $C$; a particular solution fixes $C$ from a condition.

Bahasa Indonesia

Sebuah solusi adalah fungsi yang memenuhi persamaan. Untuk memverifikasi solusi yang diusulkan, turunkan fungsi tersebut dan substitusikan ke dalam persamaan, memeriksa apakah kedua sisi sama. Solusi umum mengandung konstanta $C$; solusi khusus menetapkan $C$ dari suatu kondisi.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Menggambar Medan Kemiringan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.C.1 Medan kemiringan adalah representasi grafik dari persamaan diferensial pada himpunan titik terbatas di bidang.
FUN-7.C.2 Medan kemiringan memberikan informasi tentang perilaku solusi persamaan diferensial orde pertama.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws a short line segment at many points, each with the slope $\dfrac{dy}{dx}$ the equation gives there. It pictures the family of solution curves without solving. To sketch one, evaluate the right-hand side at each grid point and draw a segment of that slope.

Bahasa Indonesia

Bidang kemiringan & kurva solusi

Sebuah bidang kemiringan menggambar segmen garis pendek di banyak titik, masing-masing dengan kemiringan $\dfrac{dy}{dx}$ yang diberikan persamaan di sana. Bidang ini menggambarkan keluarga kurva solusi tanpa menyelesaikannya. Untuk menggambarnya, evaluasi ruas kanan di setiap titik grid dan gambar segmen dengan kemiringan tersebut.

Bidang kemiringan menunjukkan gradien di mana saja; kurva solusi mengikutinya

Explore · ⁨Jelajahi⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨Baca persamaan diferensial sebagai medan kemiringan⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨Medan kemiringan menggambar kemiringan $dy/dx$ di setiap titik. Kurva solusi melintasi melalui sana, selalu bersinggungan dengan segmen-segmen kecil — Anda dapat menggambarnya dengan mengikuti aliran.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	persamaan diferensial
slope field/sləʊp fiːld/	bidang kemiringan
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	metode Euler
separable/ˈsepərəbl/	dapat dipisahkan
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	syarat awal
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	pertumbuhan atau peluruhan eksponensial
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	model logistik
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	kapasitas dukung

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Penalaran Menggunakan Medan Kemiringan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.C.3 Solusi persamaan diferensial adalah fungsi atau keluarga fungsi.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A solution curve follows the segments like a boat following a current. From a slope field you can sketch the particular solution through a given point, describe long-run behavior, and locate where solutions level off (slopes near zero) – reasoning about solutions purely from the picture.

Bahasa Indonesia

Kurva solusi mengikuti segmen-segmen seperti perahu mengikuti arus. Dari bidang kemiringan, Anda dapat menggambar solusi khusus melalui titik tertentu, mendeskripsikan perilaku jangka panjang, dan menemukan di mana solusi meratakan diri (kemiringan mendekati nol) – bernalar tentang solusi murni dari gambar.

7.5

Approximating Solutions Using Euler's Method · ⁨Mengaproksimasi Solusi Menggunakan Metode Euler⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.4 Euler's method provides a procedure for approximating a solution to a differential equation or a point on a solution curve. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.C: Estimasi solusi untuk persamaan diferensial.

FUN-7.C.4 Metode Euler menyediakan prosedur untuk mengaproksimasi solusi persamaan diferensial atau titik pada kurva solusi. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Euler's method

Euler's method 欧拉方法 approximates a solution numerically by stepping along the slope field. Starting from a known point, take a small step $\Delta x$ and update:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repeat for each step. Smaller steps give a better approximation. (This is a BC-only technique.)

Exam skill: be able to carry out two or three Euler steps by hand from a table, and know that Euler's method under- or over-estimates depending on the solution's concavity.

Worked example. Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $\Delta x=0.5$. Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$, so $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$, so $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Bahasa Indonesia

Metode Euler

Metode Euler mengaproksimasi solusi secara numerik dengan melangkah sepanjang bidang kemiringan. Mulai dari titik yang diketahui, ambil langkah kecil $\Delta x$ dan perbarui:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Ulangi untuk setiap langkah. Langkah yang lebih kecil memberikan aproksimasi yang lebih baik. (Ini adalah teknik hanya untuk BC.)

Keterampilan ujian: mampu melakukan dua atau tiga langkah Euler secara manual dari tabel, dan tahu bahwa metode Euler meremehkan atau melebih-lebihkan tergantung pada kelengkungan solusinya.

Contoh terpecahkan. Aproksimasikan $y(1)$ untuk $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, dengan langkah $\Delta x=0.5$. Langkah 1: kemiringan di $(0,1)$ adalah $0+1=1$, jadi $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Langkah 2: kemiringan di $(0.5,1.5)$ adalah $0.5+1.5=2$, jadi $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Menemukan Solusi Umum Menggunakan Pemisahan Variabel⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.D: Tentukan solusi umum untuk persamaan diferensial.

FUN-7.D.1 Beberapa persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel.
FUN-7.D.2 Antidiferensiasi dapat digunakan untuk menemukan solusi umum persamaan diferensial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A separable 可分离 differential equation can be written with all the $y$'s on one side and all the $x$'s on the other, then integrated:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

This produces the general solution (with a $+C$), the main analytic method for solving differential equations in this course.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=2$. Separating, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ gives $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, so $y=Ae^{x^2/2}$. The condition $y(0)=2$ gives $A=2$, so $y=2e^{x^2/2}$.

Bahasa Indonesia

E. coli di bawah mikroskop: persamaan diferensial memodelkan pertumbuhan eksponensial

Persamaan diferensial yang dapat dipisahkan dapat ditulis dengan semua $y$ di satu sisi dan semua $x$ di sisi lain, kemudian diintegrasikan:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Hal ini menghasilkan solusi umum (dengan konstanta $+C$), metode analitik utama untuk menyelesaikan persamaan diferensial dalam kursus ini.

Contoh terpecahkan. Selesaikan $\dfrac{dy}{dx}=xy$ dengan $y(0)=2$. Memisahkan variabel, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ menghasilkan $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, jadi $y=Ae^{x^2/2}$. Kondisi $y(0)=2$ menghasilkan $A=2$, jadi $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions · ⁨Menemukan Solusi Khusus Menggunakan Kondisi Awal⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.E: Tentukan solusi khusus untuk persamaan diferensial.

FUN-7.E.1 Solusi umum mungkin menggambarkan tak hingga banyak solusi untuk persamaan diferensial. Hanya ada satu solusi khusus yang melewati titik tertentu.
FUN-7.E.2 Fungsi $F$ yang didefinisikan oleh $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ adalah solusi khusus untuk persamaan diferensial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, memenuhi $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solusi persamaan diferensial mungkin tunduk pada pembatasan domain.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 (a known point, e.g. $y(0)=5$) pins down the constant $C$. Solve for the general solution, substitute the condition to find $C$, then write the particular solution. Watch the domain – a particular solution is valid only on the interval containing the initial point.

Bahasa Indonesia

Sebuah kondisi awal (titik yang diketahui, mis. $y(0)=5$) menentukan konstanta $C$. Selesaikan untuk solusi umum, substitusikan kondisinya untuk menemukan $C$, lalu tulis solusi khususnya. Waspadai domain – solusi khusus hanya valid pada interval yang memuat titik awal.

Konstanta memberikan keluarga kurva; kondisi awal memilih satu di antaranya

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Model Eksponensial dengan Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.F: Interpretasikan makna persamaan diferensial dan variabelnya dalam konteks.

FUN-7.F.1 Aplikasi spesifik dari menemukan solusi umum dan khusus persamaan diferensial meliputi gerakan sepanjang garis dan pertumbuhan serta peluruhan eksponensial.
FUN-7.F.2 Model untuk pertumbuhan dan peluruhan eksponensial yang muncul dari pernyataan "Laju perubahan suatu besaran sebanding dengan ukuran besaran tersebut" adalah $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.G: Tentukan solusi umum dan khusus untuk masalah yang melibatkan persamaan diferensial dalam konteks.

FUN-7.G.1 Model pertumbuhan dan peluruhan eksponensial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, dengan kondisi awal $y = y_0$ ketika $t = 0$, memiliki solusi berbentuk $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Exponential vs logistic growth

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ says the rate of change is proportional to the amount – giving exponential growth or decay 指数增长. Separating variables yields

$$y=y_0 e^{kt},$$

with $k>0$ for growth and $k<0$ for decay. This models unrestricted population growth, radioactive decay, and continuously compounded interest.

Bahasa Indonesia

Pertumbuhan eksponensial vs logistik

Persamaan $\dfrac{dy}{dt}=ky$ mengatakan bahwa laju perubahan berbanding lurus dengan jumlahnya – memberikan pertumbuhan atau peluruhan eksponensial. Memisahkan variabel menghasilkan

$$y=y_0 e^{kt},$$

dengan $k>0$ untuk pertumbuhan dan $k<0$ untuk peluruhan. Ini memodelkan pertumbuhan populasi tanpa batas, peluruhan radioaktif, dan bunga majemuk terus-menerus.

Cangkir kopi yang mendingin: hukum pendinginan Newton adalah model persamaan diferensial klasik

Explore · ⁨Jelajahi⁩

An exponential growth/decay model · ⁨Model pertumbuhan/peluruhan eksponensial⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨Persamaan $dy/dt=ky$ memiliki solusi eksponensial: kuantitas berubah pada laju yang berbanding lurus dengan dirinya sendiri, memberikan pertumbuhan tak terbatas ($k>0$) atau peluruhan menuju nol ($k<0$).⁩

7.9

Logistic Models with Differential Equations · ⁨Model Logistik dengan Persamaan Diferensial⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.H: Interpret the meaning of the logistic growth model in context. BC ONLY

FUN-7.H.1 The model for logistic growth that arises from the statement "The rate of change of a quantity is jointly proportional to the size of the quantity and the difference between the quantity and the carrying capacity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. BC ONLY
FUN-7.H.2 The logistic differential equation and initial conditions can be interpreted without solving the differential equation. BC ONLY
FUN-7.H.3 The limiting value (carrying capacity) of a logistic differential equation as the independent variable approaches infinity can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY
FUN-7.H.4 The value of the dependent variable in a logistic differential equation at the point when it is changing fastest can be determined using the logistic growth model and initial conditions. BC ONLY

Bahasa Indonesia

Pemahaman Abadi (FUN-7): Menyelesaikan persamaan diferensial memungkinkan kita menentukan fungsi dan mengembangkan model.

Tujuan Pembelajaran FUN-7.H: Menafsirkan makna model pertumbuhan logistik dalam konteks. HANYA BC

FUN-7.H.1 Model pertumbuhan logistik yang muncul dari pernyataan "Laju perubahan suatu besaran berbanding lurus secara bersama terhadap ukuran besaran tersebut dan selisih antara besaran tersebut dan kapasitas tampung" adalah $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. HANYA BC
FUN-7.H.2 Persamaan diferensial logistik dan kondisi awal dapat ditafsirkan tanpa menyelesaikan persamaan diferensialnya. HANYA BC
FUN-7.H.3 Nilai batas (kapasitas tampung) dari persamaan diferensial logistik saat variabel independen mendekati tak hingga dapat ditentukan menggunakan model pertumbuhan logistik dan kondisi awal. HANYA BC
FUN-7.H.4 Nilai variabel terikat dalam persamaan diferensial logistik pada titik ketika berubah paling cepat dapat ditentukan menggunakan model pertumbuhan logistik dan kondisi awal. HANYA BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Real growth is limited by resources, so the logistic model 逻辑斯蒂模型 adds a carrying capacity 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Growth is nearly exponential when $P$ is small, slows as $P$ approaches $L$, and stops at $P=L$. Key BC facts: the population levels off at $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), and it grows fastest when $P=\tfrac{L}{2}$ (the inflection point of the S-shaped curve). You are expected to read $L$ and the fastest-growth value directly from the equation.

Worked example. For $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, the carrying capacity is $L=2000$ (the population levels off there), and growth is fastest when $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – both read straight off the equation, no solving needed.

Bahasa Indonesia

Pertumbuhan nyata dibatasi oleh sumber daya, sehingga model logistik menambahkan kapasitas muat $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

Pertumbuhan hampir eksponensial ketika $P$ kecil, melambat saat $P$ mendekati $L$, dan berhenti di $P=L$. Fakta BC utama: populasi mendatar di $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), dan tumbuh paling cepat saat $P=\tfrac{L}{2}$ (titik belok kurva berbentuk S). Anda diharapkan membaca $L$ dan nilai pertumbuhan tercepat langsung dari persamaan.

Contoh terpecahkan. Untuk $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, daya dukung adalah $L=2000$ (populasi mendatar di sana), dan pertumbuhan paling cepat saat $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – keduanya dibaca langsung dari persamaan, tanpa perlu menyelesaikan.

Model logistik tumbuh paling cepat pada P=L/2 dan mendatar pada daya dukung L

7.9

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Bahasa Indonesia

Selesaikan persamaan dapat dipisahkan dengan mendapatkan semua $y$ di satu sisi dan semua $x$ di sisi lain, lalu integralkan kedua ruas (tambahkan $+C$ sekali).
Gunakan syarat awal untuk menemukan $C$ (solusi khusus).
Sketsa atau baca bidang kemiringan: segmen-segmen kecil menunjukkan $\tfrac{dy}{dx}$ di setiap titik, dan kurva solusi mengikutinya.
Kenali model eksponensial $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (pertumbuhan/peluruhan).
Persamaan diferensial memberikan kemiringan – Anda harus mengintegralkan untuk mengembalikan fungsi.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩