Differentiation: Definition and Fundamental Properties · ⁨Turunan: Definisi dan Sifat Dasar⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · Topic 2 · ⁨Topik 2⁩

View Slides · ⁨Lihat Salindia⁩ Train · ⁨Latih⁩

Video lesson for this topic · ⁨Pelajaran video untuk topik ini⁩ Open the video page · ⁨Buka halaman video⁩

2.1

Average and Instantaneous Rates of Change at a Point · ⁨Laju Perubahan Rata-rata dan Momen di Satu Titik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.A: Determine average rates of change using difference quotients.

CHA-2.A.1 The difference quotients $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ and $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ express the average rate of change of a function over an interval.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.1 The instantaneous rate of change of a function at $x=a$ can be expressed by $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ or $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, provided the limit exists. These are equivalent forms of the definition of the derivative and are denoted $f'(a)$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-2): Turunan memungkinkan kita untuk menentukan laju perubahan pada suatu momen dengan menerapkan limit pada pengetahuan tentang laju perubahan sepanjang interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-2.A: Menentukan laju perubahan rata-rata menggunakan kuisien beda.

CHA-2.A.1 Kuisien beda $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ dan $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ menyatakan laju perubahan rata-rata dari suatu fungsi sepanjang sebuah interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-2.B: Merepresentasikan turunan dari suatu fungsi sebagai limit dari kuisien beda.

CHA-2.B.1 Laju perubahan instan dari suatu fungsi pada $x=a$ dapat dinyatakan oleh $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ atau $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, asalkan limitnya ada. Ini adalah bentuk-bentuk ekuivalen dari definisi turunan dan dinotasikan $f'(a)$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The derivative from first principles

Unit 1 built the limit. Unit 2 uses it to define the derivative 导数 – the exact rate of change at a point.

Over an interval, the average rate of change is a difference quotient 差商. Two equivalent forms appear:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

The first uses a step of size $h$ from $a$; the second uses two points $x$ and $a$. Both compute $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ over the interval.

The instantaneous 瞬时 rate of change at $x=a$ is what the difference quotient approaches as the interval shrinks to zero. This limit is the derivative at $a$, written $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

provided the limit exists.

Bahasa Indonesia

Luncuran bukit: turukan mengukur laju perubahan instan — Papan seluncur di bukit naik: turunan mengukur laju perubahan momen

Turunan dari prinsip pertama

Unit 1 membangun konsep limit. Unit 2 menggunakannya untuk mendefinisikan turunan – laju perubahan yang tepat di suatu titik.

Laju perubahan sesaat adalah gradien garis singgung di suatu titik

Selama suatu interval, laju perubahan rata-rata adalah kuosien selisih. Dua bentuk ekuivalen muncul:

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Yang pertama menggunakan langkah ukuran $h$ dari $a$; yang kedua menggunakan dua titik $x$ dan $a$. Keduanya menghitung $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ dalam interval tersebut.

Laju perubahan sesaat di $x=a$ adalah apa yang didekati oleh kuosien selisih saat interval menyusut menjadi nol. Limit ini adalah turunan di $a$, ditulis $f'(a)$:

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$

dengan syarat limit tersebut ada.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

From average rate to instantaneous rate · ⁨Dari laju rata-rata ke laju instan⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

Slide the point: the secant through two nearby points tips toward the tangent as they merge. The tangent's slope is the derivative — the instantaneous rate of change. · ⁨Geser titik: sekan melalui dua titik berdekatan condong menuju tangen saat mereka menyatu. Kemiringan tangen adalah turunan — laju perubahan instan.⁩

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
derivative/dɪˈrɪvətɪv/	turunan
difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/	kuotien beda
instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/	seketika
first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/	prinsip pertama
notations/nəʊˈteɪʃnz/	notasi
slope/sləʊp/	kemiringan grafik
tangent line/ˈtændʒənt laɪn/	garis singgung

2.2

Defining the Derivative and Reading Its Notation · ⁨Mendefinisikan Turunan dan Membaca Notasinya⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.B: Represent the derivative of a function as the limit of a difference quotient.

CHA-2.B.2 The derivative of $f$ is the function whose value at $x$ is $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, provided this limit exists.
CHA-2.B.3 For $y=f(x)$, notations for the derivative include $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, and $y'$.
CHA-2.B.4 The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally.

Learning Objective CHA-2.C: Determine the equation of a line tangent to a curve at a given point.

CHA-2.C.1 The derivative of a function at a point is the slope of the line tangent to a graph of the function at that point.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-2): Turunan memungkinkan kita untuk menentukan laju perubahan pada suatu momen dengan menerapkan limit pada pengetahuan tentang laju perubahan sepanjang interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-2.B: Merepresentasikan turunan dari suatu fungsi sebagai limit dari kuisien beda.

CHA-2.B.2 Turunan dari $f$ adalah fungsi yang nilainya pada $x$ adalah $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, asalkan limit tersebut ada.
CHA-2.B.3 Untuk $y=f(x)$, notasi untuk turunan meliputi $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$, dan $y'$.
CHA-2.B.4 Turunan dapat direpresentasikan secara grafis, numerik, analitik, dan verbal.

Tujuan Pembelajaran CHA-2.C: Menentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang diberikan.

CHA-2.C.1 Turunan dari suatu fungsi pada suatu titik adalah kemiringan garis singgung terhadap grafik fungsi pada titik tersebut.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Let the point $a$ vary and the derivative becomes a new function:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

This is the definition of the derivative (sometimes called differentiating "by first principles" 用定义求导). Its value at each $x$ is the instantaneous rate of change there.

Common notations 记号 for the derivative of $y=f(x)$ are:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

The derivative can be represented graphically, numerically, analytically, and verbally – be ready to move between them.

Geometric meaning. The derivative at a point is the slope 斜率 of the tangent line 切线 to the graph there. So the tangent line at $x=a$ passes through $\big(a, f(a)\big)$ with slope $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Writing this line is a routine exam task, so keep the point-slope form ready.

Bahasa Indonesia

Biarkan titik $a$ bervariasi dan turunannya menjadi fungsi baru:

$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Ini adalah definisi turunan (kadang disebut mendifferensiasikan "dari prinsip pertama"). Nilainya pada setiap $x$ adalah laju perubahan sesaat di sana.

Notasi umum untuk turunan $y=f(x)$ adalah:

$$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$

Turunan dapat direpresentasikan secara geometris, numerik, analitik, dan verbal – bersiaplah untuk berpindah di antaranya.

Makna geometris. Turunan di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap grafik di sana. Jadi garis singgung di $x=a$ melalui $\big(a, f(a)\big)$ dengan kemiringan $f'(a)$:

$$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$

Menuliskan garis ini adalah tugas rutin ujian, jadi siapkan bentuk titik-kemiringan.

Kelemahan sekant mendekati kemiringan singgung: turunan adalah limit laju rata-rata — Gradien tali singgung mendekati gradien garis singgung: turunan adalah limit laju rata-rata

2.3

Estimating a Derivative at a Point · ⁨Mengestimasi Turunan di Suatu Titik⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (CHA-2): Derivatives allow us to determine rates of change at an instant by applying limits to knowledge about rates of change over intervals.

Learning Objective CHA-2.D: Estimate derivatives.

CHA-2.D.1 The derivative at a point can be estimated from information given in tables or graphs.
CHA-2.D.2 Technology can be used to calculate or estimate the value of a derivative of a function at a point.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (CHA-2): Turunan memungkinkan kita untuk menentukan laju perubahan pada suatu momen dengan menerapkan limit pada pengetahuan tentang laju perubahan sepanjang interval.

Tujuan Pembelajaran CHA-2.D: Mengestimasi turunan.

CHA-2.D.1 Turunan pada suatu titik dapat diestimasi dari informasi yang diberikan dalam tabel atau grafik.
CHA-2.D.2 Teknologi dapat digunakan untuk menghitung atau mengestimasi nilai turunan dari suatu fungsi pada suatu titik.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

You do not always have a formula. When a function is given by a table 表格 or a graph, estimate the derivative $f'(a)$ with a difference quotient over a small interval around $a$. A table with values on both sides of $a$ gives the best estimate:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Technology (a calculator) can also estimate a derivative at a point.

Exam skill (appears almost every year). Questions such as "Approximate $M'(7.5)$ using the average rate of change of $M$ over the interval $5 \le t \le 10$" ask for exactly this difference quotient. Show the setup:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Full credit needs the numbers plugged in and the correct units 单位 (output units per input unit), since these come from real-world models.

Bahasa Indonesia

Anda tidak selalu memiliki rumus. Ketika fungsi diberikan melalui tabel atau grafik, estimasi turunan $f'(a)$ dengan kuosien selisih pada interval kecil di sekitar $a$. Tabel dengan nilai di kedua sisi $a$ memberikan estimasi terbaik:

$$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$

Teknologi (kalkulator) juga dapat mengestimasi turunan di suatu titik.

Keterampilan ujian (muncul hampir setiap tahun). Pertanyaan seperti "Hampirkan $M'(7.5)$ menggunakan laju perubahan rata-rata $M$ selama interval $5 \le t \le 10$" meminta tepat kuosien selisih ini. Tunjukkan pengaturannya:

$$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$

Kredit penuh memerlukan angka yang dimasukkan dan satuan yang benar (satuan output per satuan input), karena ini berasal dari model dunia nyata.

Vocabulary · ⁨Kosa kata⁩ Train · ⁨Latih⁩

English	Bahasa Indonesia
table/ˈteɪbl/	tabel
units/ˈjuːnɪts/	unit
differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/	diferensiabel
continuous/kənˈtɪnjuːəs/	kontinu
corner/ˈkɔːnə/	sudut tajam
vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/	tangensi vertikal
power rule/ˈpaʊə ruːl/	aturan pangkat
Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/	Konstanta perkalian
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	polinomial
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	aturan hasil kali
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	aturan hasil bagi
identities/aɪˈdentɪtiz/	identitas
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	turunan kedua

2.4

Differentiability and Continuity: When a Derivative Exists · ⁨Keterdiferensiasian dan Kelanjutan: Ketika Turunan Ada⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-2): Recognizing that a function's derivative may also be a function allows us to develop knowledge about the related behaviors of both.

Learning Objective FUN-2.A: Explain the relationship between differentiability and continuity.

FUN-2.A.1 If a function is differentiable at a point, then it is continuous at that point. In particular, if a point is not in the domain of $f$, then it is not in the domain of $f'$.
FUN-2.A.2 A continuous function may fail to be differentiable at a point in its domain.
- Illustrative examples for FUN-2.A.2:
  - The left hand and right hand limits of the difference quotient are not equal, as in $f(x)=|x|$ at $x=0$.
  - The tangent line is vertical and has no slope, as in $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-2): Mengenali bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi memungkinkan kita mengembangkan pengetahuan tentang perilaku terkait dari keduanya.

Tujuan Pembelajaran FUN-2.A: Menjelaskan hubungan antara diferencialitas dan kontinuitas.

FUN-2.A.1 Jika suatu fungsi terdiferensialkan pada suatu titik, maka fungsi tersebut kontinu pada titik itu. Secara khusus, jika suatu titik tidak berada dalam domain $f$, maka titik tersebut juga tidak berada dalam domain $f'$.
FUN-2.A.2 Fungsi yang kontinu dapat gagal menjadi terdiferensialkan pada suatu titik dalam domainnya.
- Contoh ilustratif untuk FUN-2.A.2:
  - Limit tangan kiri dan kanan dari kuisien beda tidak sama, seperti pada $f(x)=|x|$ di $x=0$.
  - Garis singgungnya vertikal dan tidak memiliki kemiringan, seperti pada $f(x)=\sqrt[3]{x}$ di $x=0$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Differentiability is stronger than continuity. The key relationship:

If $f$ is differentiable 可导 at a point, then $f$ is continuous 连续 there.

So differentiability implies continuity. The reverse is false: a continuous function can fail to be differentiable. Two ways this happens:

A corner 尖点: the left and right difference-quotient limits disagree, as with $f(x)=|x|$ at $x=0$.
A vertical tangent 垂直切线: the slope is infinite (no real number), as with $f(x)=\sqrt[3]{x}$ at $x=0$.

Also, a point outside the domain of $f$ cannot be in the domain of $f'$. Use the contrapositive on the exam: if $f$ is not continuous at $a$, then $f$ is not differentiable at $a$.

Bahasa Indonesia

Diferensiasi lebih kuat daripada kontinuitas. Hubungan utamanya:

Jika $f$ dapat diturunkan pada suatu titik, maka $f$ kontinu di sana.

Jadi diferensiasi menyiratkan kontinuitas. Kebalikannya salah: fungsi yang kontinu bisa gagal diturunkan. Dua cara hal ini terjadi:

Sudut tajam: limit rasio selisih kiri dan kanan berbeda, seperti $f(x)=|x|$ pada $x=0$.
Garis singgung vertikal: kemiringannya tak hingga (tidak ada bilangan real), seperti pada $f(x)=\sqrt[3]{x}$ di $x=0$.

Dua cara fungsi kontinu tidak dapat diturunkan: sudut tajam dan garis singgung vertikal

Juga, titik di luar domain $f$ tidak dapat berada di dalam domain $f'$. Gunakan kontraposisi dalam ujian: jika $f$ tidak kontinu di $a$, maka $f$ tidak dapat diturunkan di $a$.

2.5

The Power Rule · ⁨Aturan Pangkat⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.1 Direct application of the definition of the derivative and specific rules can be used to calculate the derivative for functions of the form $f(x)=x^{r}$.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.A: Menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang dikenal.

FUN-3.A.1 Penerapan langsung definisi turunan dan aturan tertentu dapat digunakan untuk menghitung turunan fungsi dengan bentuk $f(x)=x^{r}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

From here we use rules instead of the limit definition each time. The power rule 幂法则 handles any power of $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

It works for whole-number powers, negative powers ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), and roots ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – rewrite as a power first, then apply the rule.

Bahasa Indonesia

Dari sini kita menggunakan aturan alih-alih definisi limit setiap kali. Aturan pangkat menangani pangkat apa pun dari $x$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$

Ini berlaku untuk pangkat bilangan bulat, pangkat negatif ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$), dan akar ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – tulis ulang sebagai pangkat terlebih dahulu, lalu terapkan aturan tersebut.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

A power function and its steepening slope · ⁨Fungsi pangkat dan kemiringannya yang semakin curam⁩

y = ax³ + bx² + cx + d

The power rule $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ drops the exponent as a factor. For $x^3$ the slope grows quickly as $x$ leaves 0 — the curve steepens. · ⁨Aturan pangkat $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ menurunkan eksponen sebagai faktor. Untuk $x^3$, kemiringan tumbuh cepat saat $x$ meninggalkan 0 — kurva menjadi lebih curam.⁩

2.6

Constant, Sum, Difference, and Constant Multiple Rules · ⁨Aturan Konstanta, Jumlah, Selisih, dan Kelipatan Konstanta⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.2 Sums, differences, and constant multiples of functions can be differentiated using derivative rules.
FUN-3.A.3 The power rule combined with sum, difference, and constant multiple properties can be used to find the derivatives for polynomial functions.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.A: Menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang dikenal.

FUN-3.A.2 Jumlah, selisih, dan kelipatan konstan dari suatu fungsi dapat diturunkan menggunakan aturan turunan.
FUN-3.A.3 Aturan pangkat yang dikombinasikan dengan sifat jumlah, selisih, dan kelipatan konstan dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi polinomial.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

These rules let you differentiate term by term:

Constant: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (a constant does not change).
Constant multiple 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Sum / difference: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Combined with the power rule, they differentiate any polynomial 多项式 term by term. Example:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

Bahasa Indonesia

Aturan-aturan ini memungkinkan Anda menurunkan suku demi suku:

Konstanta: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (konstanta tidak berubah).
Kelipatan konstanta: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
Jumlah / Selisih: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Digabungkan dengan aturan pangkat, mereka menurunkan suku polinomial mana pun secara individual. Contoh:

$$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

2.7

Derivatives of cos x, sin x, e^x, and ln x · ⁨Turunan dari cos x, sin x, e^x, dan ln x⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.A: Calculate derivatives of familiar functions.

FUN-3.A.4 Specific rules can be used to find the derivatives for sine, cosine, exponential, and logarithmic functions.

Enduring Understanding (LIM-3): Reasoning with definitions, theorems, and properties can be used to determine a limit.

Learning Objective LIM-3.A: Interpret a limit as a definition of a derivative.

LIM-3.A.1 In some cases, recognizing an expression for the definition of the derivative of a function whose derivative is known offers a strategy for determining a limit.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.A: Menghitung turunan dari fungsi-fungsi yang dikenal.

FUN-3.A.4 Aturan tertentu dapat digunakan untuk menemukan turunan fungsi sinus, kosinus, eksponensial, dan logaritmik.

Pemahaman Berkelanjutan (LIM-3): Penalaran menggunakan definisi, teorema, dan sifat dapat digunakan untuk menentukan suatu limit.

Tujuan Pembelajaran LIM-3.A: Menafsirkan limit sebagai definisi turunan.

LIM-3.A.1 Dalam beberapa kasus, mengenali ekspresi untuk definisi turunan dari suatu fungsi yang turunannya sudah diketahui menawarkan strategi untuk menentukan sebuah limit.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

Learn these four building-block derivatives by heart:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Note the minus sign on the derivative of cosine, and that $e^{x}$ is its own derivative.

A limit that is really a derivative (LIM-3.A.1). Sometimes a limit is secretly the definition of a known derivative. If you recognize

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

for a function $f$ whose derivative you know, just evaluate $f'(a)$. For example, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Bahasa Indonesia

Hafalkan empat turunan blok pembangun ini:

$$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$

$$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$

Perhatikan tanda minus pada turunan kosinus, dan bahwa $e^{x}$ adalah turunannya sendiri.

Limit yang sebenarnya adalah turunan (LIM-3.A.1). Terkadang limit secara diam-diam merupakan definisi dari turunan yang diketahui. Jika Anda mengenali

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

untuk fungsi $f$ yang turunannya Anda ketahui, cukup evaluasi $f'(a)$. Misalnya, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Explore · ⁨Jelajahi⁩

The shape of sin x (whose slope is cos x) · ⁨Bentuk sin x (yang kemiringannya adalah cos x)⁩

y = asin(bx + c) + d

The derivative of $\sin x$ is $\cos x$: the slope of the sine curve is largest where sine crosses zero and zero at its peaks. Watch the curve to feel where its slope is steep or flat. · ⁨Turunan dari $\sin x$ adalah $\cos x$: kemiringan kurva sinus terbesar di mana sinus memotong nol dan nol pada puncaknya. Perhatikan kurva untuk merasakan di mana kemiringannya curam atau datar.⁩

2.8

The Product Rule · ⁨Aturan Perkalian⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.1 Derivatives of products of differentiable functions can be found using the product rule.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.B: Menghitung turunan dari perkalian dan pembagian fungsi yang terdiferensialkan.

FUN-3.B.1 Turunan hasil kali fungsi-fungsi yang terdiferensiasi dapat ditemukan menggunakan aturan perkalian.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

A product of two functions is not differentiated by multiplying the derivatives. Use the product rule 乘积法则:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Derivative of the first times the second, plus the first times the derivative of the second." Example:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Exam questions often build a new function from given pieces, e.g. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, and ask you to combine rules while reading values from a table.

Bahasa Indonesia

Perkalian dua fungsi bukan diturunkan dengan mengalikan turunannya. Gunakan aturan perkalian:

$$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$

"Turunan pertama dikali kedua, ditambah pertama dikali turunan kedua." Contoh:

$$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$

Soal ujian sering membangun fungsi baru dari potongan yang diberikan, mis. $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, dan meminta Anda menggabungkan aturan sambil membaca nilai dari tabel.

2.9

The Quotient Rule · ⁨Aturan Pembagian⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.2 Derivatives of quotients of differentiable functions can be found using the quotient rule.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.B: Menghitung turunan dari perkalian dan pembagian fungsi yang terdiferensialkan.

FUN-3.B.2 Turunan hasil bagi fungsi-fungsi yang terdiferensiasi dapat ditemukan menggunakan aturan pembagian.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

For a quotient, use the quotient rule 商法则:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bottom times derivative of top, minus top times derivative of bottom, all over bottom squared." The order matters because of the minus sign, so write the numerator carefully. Example:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

Bahasa Indonesia

Untuk pembagian, gunakan aturan pembagian:

$$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$

"Bawah dikali turunan atas, dikurangi atas dikali turunan bawah, semua dibagi dengan bawah kuadrat." Urutan penting karena tanda minus, jadi tulis pembilang dengan hati-hati. Contoh:

$$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

2.10

Derivatives of Tangent, Cotangent, Secant, and Cosecant · ⁨Turunan dari Tangen, Kotangen, Secant, dan Kosecan⁩

Syllabus · ⁨Silabus⁩

English

Enduring Understanding (FUN-3): Recognizing opportunities to apply derivative rules can simplify differentiation.

Learning Objective FUN-3.B: Calculate derivatives of products and quotients of differentiable functions.

FUN-3.B.3 Rearranging tangent, cotangent, secant, and cosecant functions using identities allows differentiation using derivative rules.

Bahasa Indonesia

Pemahaman Berkelanjutan (FUN-3): Mengenali peluang untuk menerapkan aturan turunan dapat menyederhanakan diferensiasi.

Tujuan Pembelajaran FUN-3.B: Menghitung turunan dari perkalian dan pembagian fungsi yang terdiferensialkan.

FUN-3.B.3 Menyusun ulang fungsi tangen, kotangen, sekan, dan kosegan menggunakan identitas memungkinkan diferensiasi menggunakan aturan turunan.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Sumber: Deskripsi Kursus dan Ujian College Board AP⁩

English

The remaining trigonometric derivatives are not memorized separately – you rewrite them with identities 恒等式 and apply the quotient (or product) rule. For instance, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, so the quotient rule gives

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

The same method (writing $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) gives $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, and $-\csc x\cot x$.

Higher-order derivatives. Differentiating $f'$ again gives the second derivative 二阶导数 $f''(x)$ (or $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – the rate of change of the rate of change. An exam part like "Find $k''(3)$" just means differentiate twice, then substitute. You can also estimate a second derivative from a table by applying the average-rate-of-change method to the $f'$ values.

Worked example. Differentiate $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ with the quotient rule $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: take $u=\sin x$, $v=x$, giving $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Keep the order $u'v-uv'$ in the numerator — swapping the terms flips the sign and loses the mark.

Bahasa Indonesia

Turunan trigonometri lainnya tidak dihafal terpisah – Anda menulis ulang mereka dengan identitas dan menerapkan aturan bagi (atau perkalian). Misalnya, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, sehingga aturan pembagian memberikan

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$

Metode yang sama (menulis $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) menghasilkan $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, dan $-\csc x\cot x$.

Turunan tingkat tinggi. Menurunkan $f'$ lagi menghasilkan turunan kedua $f''(x)$ (atau $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – laju perubahan dari laju perubahan. Bagian ujian seperti "Temukan $k''(3)$" hanya berarti menurunkan dua kali, lalu substitusi. Anda juga dapat memperkirakan turunan kedua dari tabel dengan menerapkan metode laju perubahan rata-rata ke nilai $f'$.

Contoh terpecahkan. Turunkan $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ dengan aturan hasil bagi $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: ambil $u=\sin x$, $v=x$, menghasilkan $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Jaga urutan $u'v-uv'$ di pembilang -- menukar suku akan membalik tanda dan kehilangan poin.

2.10

Exam tips · ⁨Tips ujian⁩

English

The derivative is the slope of the tangent — the limit of the secant slope $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ as $h\to0$.
Memorise the rules: power, product, quotient, and the derivatives of $\sin$, $\cos$, $e^x$, and $\ln x$.
Differentiability implies continuity, but not the reverse (a corner or cusp is continuous yet not differentiable).
Distinguish average rate of change (secant slope over an interval) from instantaneous rate (the derivative at a point).
Give a tangent-line equation as $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Bahasa Indonesia

Turunan adalah kemiringan garis singgung – limit dari kemiringan tali busur $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ saat $h\to0$.
Hafalkan aturan: pangkat, perkalian, pembagian, dan turunan dari $\sin$, $\cos$, $e^x$, dan $\ln x$.
Diferensiasi menyiratkan kontinuitas, tetapi tidak sebaliknya (sudut tajam atau kusp itu kontinu namun tidak dapat diturunkan).
Bedakan laju perubahan rata-rata (kemiringan tali busur dalam interval) dari laju instan (turunan pada suatu titik).
Berikan persamaan garis singgung sebagai $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Interactive lessons on this topic · ⁨Pelajaran interaktif untuk topik ini⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.⁩

Past Papers · ⁨Soal-Soil Masa Lalu⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩ · ⁨Topik lain dalam AP Calculus BC · ⁨AP Kalkulus BC⁩⁩