A-Level Physics · Fisika A-Level · Topic 13 · Topik 13
12:15
Medan Gravitasi
Apel jatuh dari pohon. Bulan mengelilingi Bumi. Selama ribuan tahun, tidak ada yang melihat hubungan di antara keduanya. Lalu Isaac Newton memiliki salah satu ide…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
A gravitational field 重力场 is a region where a mass 质量 feels a force 力 from other masses. The gravitational field strength 重力场强度 $g$ at a point is the gravitational force per unit mass on a small test mass 检验质量 placed there:
Unit: $\text{N kg}^{-1}$ (the same as $\text{m s}^{-2}$ — the acceleration of free fall in the field). $g$ is a vector 矢量, pointing the way the force acts — towards the source mass.
The examiner's wording. A gravitational field is a region of space in which a mass experiences a force. Gravitational field strength at a point is the gravitational force per unit mass acting on a small test mass placed at the point. The direction of a field line at a point is the direction of the force on a (small test) mass placed there. All three are one-mark definitions; "force per unit mass" is the phrase that scores, "the force on 1 kg" is not.
A gravitational field is drawn with field lines 场线 that point the way the force acts on a test mass:
Closer lines mean a stronger field.
Why $g$ is constant near the surface, in terms of field lines (a two-mark explanation): over a region whose size is small compared with the Earth's radius, the radial field lines are almost parallel and their spacing hardly changes with height, so the field strength — which the spacing represents — is almost the same at the top of the region as at the bottom. Over the whole planet the lines spread out with distance and the field falls.
Worked example. A point P represents a point mass. Draw lines to represent the gravitational field around P, and state what the direction of a line shows.
Straight radial lines, evenly spaced around P, with arrows pointing inwards towards P. The direction of a line is the direction of the force on a small test mass placed there — always towards the mass that produces the field, because gravity only attracts.
Medan gravitasi adalah daerah di mana massa merasakan gaya dari massa lainnya. Kekuatan medan gravitasi $g$ pada suatu titik adalah gaya gravitasi per satuan massa pada massa uji kecil yang ditempatkan di sana:
Satuan: $\text{N kg}^{-1}$ (sama dengan $\text{m s}^{-2}$ — percepatan jatuh bebas di dalam medan tersebut). $g$ adalah vektor, menunjuk ke arah gaya bekerja — menuju massa sumber.
Istilah penguji. Sebuah medan gravitasi adalah daerah ruang di mana suatu massa mengalami gaya. Kekuatan medan gravitasi di suatu titik adalah gaya gravitasi per satuan massa yang bekerja pada massa uji kecil yang diletakkan di titik tersebut. Arah garis medan di suatu titik adalah arah gaya pada (massa uji) kecil yang diletakkan di sana. Ketiganya adalah definisi bernilai satu poin; "gaya per satuan massa" adalah frasa yang mendapat nilai, "gaya pada 1 kg" tidak mendapatkan nilai penuh.
Medan gravitasi digambar dengan garis medan yang menunjuk ke arah gaya bekerja pada massa uji:
Garis yang lebih rapat menunjukkan medan yang lebih kuat.
Mengapa $g$ konstan dekat permukaan, dalam istilah garis medan (penjelasan bernilai dua poin): di atas wilayah yang ukurannya kecil dibandingkan jari-jari Bumi, garis medan radial hampir paralel dan jaraknya hampir tidak berubah seiring ketinggian, sehingga kekuatan medan — yang diwakili oleh jarak antar garis — hampir sama di bagian atas wilayah tersebut dibandingkan dengan bagian bawahnya. Di seluruh planet, garis-garis tersebut menyebar menjauh seiring bertambahnya jarak dan medan melemah.
Contoh terpecahkan. Titik P mewakili massa titik. Gambar garis untuk merepresentasikan medan gravitasi di sekitar P, dan nyatakan apa arti arah garis tersebut.
Garis radial lurus, berjarak sama di sekitar P, dengan anak panah menunjuk ke dalam menuju P. Arah garis adalah arah gaya pada massa uji kecil yang diletakkan di sana — selalu menuju massa yang menghasilkan medan, karena gravitasi hanya menarik.
Change the mass. The field lines point inward and get denser close in, where the field is stronger — a radial field around a point mass. · Ubah massanya. Garis-garis medan mengarah ke dalam dan menjadi lebih rapat di dekat pusat, di mana medan lebih kuat — medan radial di sekitar massa titik.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| gravitational field/ˌɡrævɪˈteɪʃənl fiːld/ | medan gravitasi |
| mass/mæs/ | massa |
| force/fɔːs/ | gaya |
| gravitational field strength/ˌɡrævɪˈteɪʃənl fiːld streŋθ/ | kekuatan medan gravitasi |
| test mass/test mæs/ | massa uji |
| vector/ˈvektə/ | vektor |
| field line/fiːld laɪn/ | garis medan |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | massa titik |
| radial/ˈreɪdɪəl/ | radial |
| uniform field/ˈjuːnɪfɔːm fiːld/ | medan seragam |
| Newton's law of gravitation/ˈnjuːtnz lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | Hukum gravitasi Newton |
| universal gravitational constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˌɡrævɪˈteɪʃənl ˈkɒnstənt/ | konstanta gravitasi universal |
| scalar/ˈskeɪlə/ | skalar |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | potensial gravitasi |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
For two point masses $m_{1}, m_{2}$ a distance $r$ apart, the force on each is
pulling them together along the line joining them. This is Newton's law of gravitation 万有引力定律. The constant $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ is the universal gravitational constant 万有引力常量.
In words, as the mark scheme wants it: the gravitational force between two point masses is proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of their separation — both proportionalities, and "point masses". Asked to "state the equation and the meaning of any other symbols", give $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ with $G$ the gravitational constant and $r$ the distance between the centres.
Worked example. Two isolated uniform spheres, each of mass $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, have their centres $2.0\ \text{m}$ apart. Find the gravitational force between them and comment on its size.
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. This is about $10^{-9}$ of each sphere's weight ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): gravity between everyday objects is negligible, and only a planet-sized mass produces a noticeable field. "Isolated" in a question means that no other masses need be considered.
For a uniform sphere (such as a planet or star), the field at any point outside is the same as that of a point mass equal to the total mass at the centre. So from above the surface, you can treat the Earth as a point mass at its centre. (Points inside a sphere are different, and are not in the syllabus.)
Between two masses the fields subtract and the potentials add. Field strength is a vector: on the line joining two spheres the two fields point in opposite directions, so there is a point where they cancel and the resultant field is zero. Potential is a scalar: the two potentials simply add, and both are negative, so the potential is least negative (a maximum) at the point where the field is zero.
Worked example. Two identical isolated uniform spheres X and Y, each of mass $M$ and radius $R$, have their centres a distance $L$ apart. Point P lies on the line joining the centres. State where on the line the resultant field strength is zero, and find the gravitational potential there.
By symmetry the fields of X and Y are equal and opposite at the midpoint, $L/2$ from each centre, so the resultant field is zero there. The potential at P is the sum $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. A mass released at P would stay there; a mass released anywhere else on the line falls towards the nearer sphere.
Put the gravitational force on a test mass $m$ at distance $r$ from a point mass $M$ into $g = F/m$:
So $g$ falls off as $1/r^{2}$ as you move away from the source.
The two-mark derivation. The force on a test mass $m$ at distance $r$ from a point mass $M$ is $F = GMm/r^{2}$ (Newton's law). Field strength is force per unit mass, $g = F/m$, so $g = GM/r^{2}$. Write both lines: the law and the definition are the two marks. Because $g \propto 1/r^{2}$, halving the distance makes the field four times stronger: at distance $x/2$ the field is $4g$, in the same direction, towards $M$.
Worked example. Find the gravitational field strength at the Earth's surface. (Earth's mass $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, radius $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)
The Earth's radius is $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Rising to height $h$ changes the distance from the centre from $R$ to $R + h$. For $h \ll R$ (any building or mountain), $(R + h)/R \approx 1$, so $g$ barely changes — going from $5\ \text{m}$ to $10\ \text{m}$ high changes $r$ by about one part in a million. In the laboratory, $g$ is effectively constant.
Untuk dua massa titik $m_{1}, m_{2}$ yang terpisah sejauh $r$, gaya pada masing-masing adalah
menarik mereka bersama sepanjang garis penghubung. Ini adalah hukum gravitasi Newton. Konstanta $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$ adalah konstanta gravitasi universal.
Dalam kata-kata, sesuai dengan kunci jawaban: gaya gravitasi antara dua massa titik sebanding dengan hasil kali massa mereka dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak pemisahan — kedua proporsionalitas tersebut, serta "massa titik". Jika diminta untuk "nyatakan persamaan dan makna simbol lainnya", berikan $F = Gm_{1}m_{2}/r^{2}$ dengan $G$ sebagai konstanta gravitasi dan $r$ sebagai jarak antara pusat-pusatnya.
Contoh terpecahkan. Dua bola seragam terisolasi, masing-masing bermassa $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg}$, memiliki jarak pusat $2.0\ \text{m}$. Hitunglah gaya gravitasi di antara keduanya dan komentari besarnya.
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.0 \times 10^{3} \times 1.0 \times 10^{3}}{2.0^{2}} = 1.7 \times 10^{-5}\ \text{N}$. Ini sekitar $10^{-9}$ dari berat setiap bola ($9.8 \times 10^{3}\ \text{N}$): gravitasi antara benda sehari-hari dapat diabaikan, dan hanya massa sebesar planet yang menghasilkan medan yang terasa. "Terisolasi" dalam soal berarti tidak perlu mempertimbangkan massa lain.
Untuk bola seragam (seperti planet atau bintang), medan di setiap titik di luar sama dengan yang dari massa titik yang besarnya sama dengan massa total di pusat. Jadi dari atas permukaan, Anda dapat memperlakukan Bumi sebagai massa titik di pusatnya. (Titik di dalam bola berbeda, dan tidak termasuk dalam silabus.)
Antara dua massa medan saling mengurangi dan potensial saling menjumlahkan. Kekuatan medan adalah vektor: pada garis yang menghubungkan dua bola, kedua medan mengarah berlawanan arah, sehingga ada titik di mana mereka saling meniadakan dan medan resultan menjadi nol. Potensial adalah skalar: kedua potensial hanya dijumlahkan, dan keduanya negatif, sehingga potensial paling kurang negatif (maksimum) terjadi di titik di mana medan nol.
Contoh terpecahkan. Dua bola seragam terisolasi identik X dan Y, masing-masing bermassa $M$ dan berjari-jari $R$, memiliki jarak antarpusel $L$. Titik P terletak pada garis yang menghubungkan pusat-pusat tersebut. Nyatakan di mana pada garis tersebut kekuatan medan resultan bernilai nol, dan temukan potensial gravitasi di sana.
Berdasarkan simetri, medan X dan Y sama besar dan berlawanan arah di titik tengah, $L/2$ dari setiap pusat, sehingga medan resultan nol di sana. Potensial di P adalah jumlah $\phi = -\dfrac{GM}{L/2} - \dfrac{GM}{L/2} = -\dfrac{4GM}{L}$. Massa yang dilepaskan di P akan tetap di sana; massa yang dilepaskan di tempat lain pada garis tersebut jatuh menuju bola yang lebih dekat.
Masukkan gaya gravitasi pada massa uji $m$ pada jarak $r$ dari massa titik $M$ ke dalam $g = F/m$:
Sehingga $g$ menurun sebanding dengan $1/r^{2}$ saat Anda menjauh dari sumber.
Penurunan dua poin. Gaya pada massa uji $m$ pada jarak $r$ dari massa titik $M$ adalah $F = GMm/r^{2}$ (hukum Newton). Kekuatan medan adalah gaya per satuan massa, $g = F/m$, sehingga $g = GM/r^{2}$. Tulis kedua baris: hukum dan definisi adalah dua poin tersebut. Karena $g \propto 1/r^{2}$, menggandakan jarak membuat medan empat kali lebih kuat: pada jarak $x/2$ medan adalah $4g$, dalam arah yang sama, menuju $M$.
Contoh terpecahkan. Temukan kekuatan medan gravitasi di permukaan Bumi. (Massa Bumi $M = 6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$, jari-jari $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)
Jari-jari Bumi adalah $R \approx 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Naik ke ketinggian $h$ mengubah jarak dari pusat dari $R$ menjadi $R + h$. Untuk $h \ll R$ (bangunan atau gunung apa pun), $(R + h)/R \approx 1$, sehingga $g$ hampir tidak berubah — naik dari $5\ \text{m}$ ke $10\ \text{m}$ tinggi mengubah $r$ sekitar satu bagian dalam satu juta. Di laboratorium, $g$ efektif konstan.
F ∝ Mm / r²
Gravity pulls inward and weakens with the square of the distance. · Gravitasi menarik ke dalam dan melemah dengan kuadrat jarak.
For a satellite 卫星 of mass $m$ in a circular orbit 轨道 of radius $r$ around a body of mass $M$, gravity provides the centripetal force 向心力:
Cancel $m$ (the orbital speed does not depend on the satellite's mass):
Worked example. A satellite orbits the Earth in a circular orbit of radius $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Find its orbital speed. (For the Earth, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)
The period 周期 follows from $T = 2\pi r / v$:
This is Kepler's third law 开普勒第三定律 for circular orbits: $T^{2} \propto r^{3}$. A plot of $T^{2}$ against $r^{3}$ is a straight line through the origin with gradient $4\pi^{2}/(GM)$, so orbital data gives the central mass.
The two-mark derivation, as the exam sets it. For a satellite of mass $m$ in a circular orbit of radius $R$ and period $T$ around a planet of mass $M$: the gravitational force provides the centripetal force, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, and $\omega = 2\pi/T$; so $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, giving $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. For an orbit at height $h$ above a planet of radius $R_{\text{p}}$ the orbital radius is $R_{\text{p}} + h$, so $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: a graph of $T^{2}$ against $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ is a straight line through the origin whose gradient gives $M$.
Worked example. Satellite X, of mass $M_{\text{s}}$, orbits a planet at a distance $4R$ from its centre; satellite Y, of mass $2M_{\text{s}}$, orbits at $3R$. Compare their speeds, periods and kinetic energies.
From $v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y moves faster, and the satellite masses do not enter. From $T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. Kinetic energy $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, so $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. In ratio questions cancel $G$, $M$ and the satellite mass first; only the radii and masses that differ survive.
Binary stars. Two stars of masses $M_{\text{A}}$ and $M_{\text{B}}$ a distance $d$ apart orbit their common centre of mass 质心, always on opposite sides of it, with the same period. The centre of mass divides $d$ in the inverse ratio of the masses, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ with $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, and the same gravitational force $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ is the centripetal force on each star.
Worked example. A binary star consists of star A, mass $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, and star B, mass $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, with centres $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$ apart. Find the distance of A from the centre of mass and the period of the orbit.
$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ with $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ gives $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (and $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). For star A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, so $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ and $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, about $1.9$ years. Using $d$ in the force but $r_{\text{A}}$ in the centripetal term is the whole point of the question.
A geostationary 地球同步 satellite:
It must have the same angular speed 角速度 as the Earth, in the same direction, in the equatorial plane (or it would drift north–south during the day). From $T = 24\ \text{h}$ and $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, the radius is $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (about $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ above the surface).
Worked example. Calculate the radius of a geostationary orbit around the Earth ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$), and explain why a satellite with the same orbital radius and period may still not be geostationary.
$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, so $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — a height of about $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ above the surface. A satellite with this period is geostationary only if its orbit is in the plane of the equator and it travels from west to east; with the same period in a tilted orbit (over the poles, say) it returns to the same point each day but is not always above it. Mars turns once in about $25$ hours, so a satellite that stays above one point on Mars has a $25$-hour period and the same two other features.
Untuk satelit bermassa $m$ dalam orbit melingkar berjari-jari $r$ mengelilingi benda bermassa $M$, gravitasi menyediakan gaya sentripetal:
Coret $m$ (kecepatan orbit tidak bergantung pada massa satelit):
Contoh terpecahkan. Sebuah satelit mengorbit Bumi dalam orbit melingkar berjari-jari $r = 7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Temukan kecepatan orbitnya. (Untuk Bumi, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$.)
Periode diturunkan dari $T = 2\pi r / v$:
Ini adalah hukum Kepler ketiga untuk orbit melingkar: $T^{2} \propto r^{3}$. Plot $T^{2}$ terhadap $r^{3}$ adalah garis lurus melalui titik asal dengan gradien $4\pi^{2}/(GM)$, sehingga data orbit memberikan massa pusat.
Penurunan nilai dua poin, sesuai format soal ujian. Untuk satelit bermassa $m$ dalam orbit melingkar berjari-jari $R$ dan periode $T$ mengelilingi planet bermassa $M$: gaya gravitasi menyediakan gaya sentripetal, $\dfrac{GMm}{R^{2}} = mR\omega^{2}$, dan $\omega = 2\pi/T$; sehingga $\dfrac{GM}{R^{2}} = \dfrac{4\pi^{2}R}{T^{2}}$, menghasilkan $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}R^{3}}{GM}$. Untuk orbit pada ketinggian $h$ di atas planet berjari-jari $R_{\text{p}}$, jari-jari orbit adalah $R_{\text{p}} + h$, sehingga $T^{2} = 4\pi^{2}(R_{\text{p}} + h)^{3}/GM$: grafik $T^{2}$ terhadap $(R_{\text{p}} + h)^{3}$ merupakan garis lurus melalui titik asal yang gradiennya memberikan $M$.
Contoh terpecahkan. Satelit X, bermassa $M_{\text{s}}$, mengorbit sebuah planet pada jarak $4R$ dari pusatnya; satelit Y, bermassa $2M_{\text{s}}$, mengorbit pada $3R$. Bandingkan kecepatan, periode, dan energi kinetik keduanya.
Dari $v = \sqrt{GM/r}$, $\dfrac{v_{\text{Y}}}{v_{\text{X}}} = \sqrt{\dfrac{4R}{3R}} = 1.15$: Y bergerak lebih cepat, dan massa satelit tidak masuk dalam persamaan. Dari $T \propto r^{3/2}$, $\dfrac{T_{\text{Y}}}{T_{\text{X}}} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3/2} = 0.65$. Energi kinetik $= \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, sehingga $\dfrac{E_{\text{Y}}}{E_{\text{X}}} = \dfrac{2M_{\text{s}}/3R}{M_{\text{s}}/4R} = \dfrac{8}{3}$. Pada soal perbandingan, coret $G$, $M$ dan massa satelit terlebih dahulu; hanya jari-jari dan massa yang berbeda yang tersisa.
Bintang ganda. Dua bintang dengan massa $M_{\text{A}}$ dan $M_{\text{B}}$ berjarak $d$ satu sama lain mengorbit pusat massa bersama mereka, selalu berada di sisi yang berlawanan dari pusat tersebut, dengan periode yang sama. Pusat massa membagi $d$ dalam rasio terbalik dari massa-massa tersebut, $M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ dengan $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = d$, dan gaya gravitasi yang sama $GM_{\text{A}}M_{\text{B}}/d^{2}$ adalah gaya sentripetal pada masing-masing bintang.
Contoh terpecahkan. Sebuah bintang ganda terdiri dari bintang A, bermassa $4.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, dan bintang B, bermassa $2.0 \times 10^{30}\ \text{kg}$, dengan jarak antar pusat $3.3 \times 10^{11}\ \text{m}$. Tentukan jarak A dari pusat massa dan periode orbitnya.
$M_{\text{A}}r_{\text{A}} = M_{\text{B}}r_{\text{B}}$ dengan $r_{\text{A}} + r_{\text{B}} = 3.3 \times 10^{11}$ menghasilkan $r_{\text{A}} = \dfrac{2.0}{6.0} \times 3.3 \times 10^{11} = 1.1 \times 10^{11}\ \text{m}$ (dan $r_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{11}\ \text{m}$). Untuk bintang A: $\dfrac{GM_{\text{A}}M_{\text{B}}}{d^{2}} = M_{\text{A}}r_{\text{A}}\omega^{2}$, sehingga $\omega^{2} = \dfrac{GM_{\text{B}}}{d^{2}r_{\text{A}}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30}}{(3.3 \times 10^{11})^{2} \times 1.1 \times 10^{11}} = 1.1 \times 10^{-14}\ \text{s}^{-2}$, $\omega = 1.06 \times 10^{-7}\ \text{rad s}^{-1}$ dan $T = 2\pi/\omega = 6.0 \times 10^{7}\ \text{s}$, sekitar $1.9$ tahun. Menggunakan $d$ dalam suku gaya tetapi $r_{\text{A}}$ dalam suku sentripetal merupakan inti utama dari pertanyaan ini.
Sebuah satelit geostasioner:
Satelit tersebut harus memiliki kecepatan sudut yang sama dengan Bumi, dalam arah yang sama, di bidang khatulistiwa (jika tidak, ia akan bergeser ke utara-selatan selama hari). Dari $T = 24\ \text{h}$ dan $T^{2} = 4\pi^{2} r^{3}/(GM)$, jari-jarinya adalah $r \approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ (sekitar $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ di atas permukaan).
Contoh terpecahkan. Hitung jari-jari orbit geostasioner di sekitar Bumi ($M = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$), dan jelaskan mengapa satelit dengan jari-jari dan periode orbit yang sama mungkin saja belum tentu geostasioner.
$T = 24 \times 3600 = 8.64 \times 10^{4}\ \text{s}$; $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4\pi^{2}} = 7.5 \times 10^{22}\ \text{m}^{3}$, sehingga $r = 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$ — ketinggian sekitar $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ di atas permukaan. Satelit dengan periode ini bersifat geostasioner hanya jika orbitnya berada di bidang khatulistiwa dan bergerak dari barat ke timur; dengan periode yang sama pada orbit miring (misalnya melewati kutub), ia kembali ke titik yang sama setiap hari tetapi tidak selalu berada tepat di atasnya. Mars berputar sekali dalam waktu sekitar $25$ jam, sehingga satelit yang tetap di atas satu titik di Mars memiliki periode $25$ jam dan dua karakteristik lainnya yang sama.
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | orbit |
| centripetal force/senˈtrɪpɪtl fɔːs/ | kekuatan sentripetal |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | satelit |
| period/ˈpɪərɪəd/ | tempoh |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | Hukum ketiga Kepler |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | energi kinetik |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | pusat massa |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | geostasioner |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | ekuator |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | kelajuan sudut |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | tak hingga |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | energi potensial gravitasi |
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | kecepatan lepas |
Source: Cambridge International syllabus · Sumber: Silabus Cambridge International
Gravitational potential 引力势 $\phi$ at a point is the work done per unit mass in bringing a small test mass from infinity 无穷远 to that point:
Unit: $\text{J kg}^{-1}$.
The potential is taken as zero at infinity. As the test mass falls in towards the source, gravity does the work for you, so $\phi$ is negative everywhere except at infinity. For a point mass $M$ at distance $r$:
$\phi$ is a scalar 标量. For several masses, add the potentials.
The two-mark definition, and why it is negative. Gravitational potential at a point is the work done per unit mass in bringing a small test mass from infinity to the point. Potential is defined as zero at infinity; gravity is attractive, so as the test mass comes in from infinity the field does work on it and the mass gives out energy — the work that an external agent must do is negative. Hence the potential at every finite distance is below zero. (Electric potential near a positive charge is positive for the opposite reason: that field repels, so work must be done to bring a positive test charge in.)
Similarities and differences with electric potential. Both are defined as work done per unit mass or per unit positive charge from infinity, both are scalars, both vary as $1/r$ from a point source and both are zero at infinity. The difference: gravitational potential is always negative, because gravity only attracts, whereas electric potential can be positive or negative depending on the sign of the charge.
Reading a potential graph. Two graphs appear in questions. On $\phi$ against $r$ the curve is $-GM/r$: the surface value $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ gives the mass of the planet, and the gradient at any point gives the field strength there, since $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — field strength is the negative of the potential gradient (this is the "relationship between potential and field strength" a question may ask for). On $\phi$ against $1/r$ the graph is a straight line through the origin with gradient $-GM$, which is the neater way to extract $M$.
Worked example. The Moon is an isolated uniform sphere of mass $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ and radius $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Calculate the gravitational potential at its surface, and the minimum speed with which a particle must leave the surface to escape.
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. To escape, the particle's kinetic energy per unit mass must equal the depth of the potential well: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, so $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. The minus sign carries the meaning: energy of $2.9\ \text{MJ}$ per kilogram must be supplied to lift the particle out.
If a test mass $m$ sits where the potential is $\phi$, the gravitational potential energy 重力势能 of the pair is
Like the potential, $E_{\text{P}}$ is negative and reaches zero only at infinite separation. Closer masses have more negative potential energy (more tightly bound).
For small height changes near the surface, $r$ barely changes, so $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. For large changes (a satellite moving to a higher orbit) use $-GMm/r$ at each radius and take the difference:
which is positive (energy must be supplied to raise the satellite).
Worked example. A satellite of mass $1200\ \text{kg}$ is moved from a circular orbit of radius $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ to one of radius $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ around the Earth ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Find the changes in its gravitational potential energy, its kinetic energy and its total energy.
$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. In a circular orbit $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, so $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: the higher satellite moves more slowly. The total energy $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ rises by $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, which is the energy the rocket motor must supply. A satellite's total energy is negative — it is bound — and it becomes less negative as the orbit widens.
To escape from radius $r$ to infinity, an object's kinetic energy 动能 must equal the size of its gravitational potential energy:
At the Earth's surface, the escape velocity 逃逸速度 is $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. It does not depend on the object's mass.
Worked example. Find the escape velocity from the Earth's surface. (For the Earth, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)
Worked example. A particle is projected vertically upwards from the surface of an isolated planet of radius $R$, where the gravitational potential is $\phi_{\text{s}}$. Show that it just reaches a distance $r$ from the centre if its launch speed $v$ satisfies $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, and deduce the escape speed.
Potential varies as $1/r$, so at distance $r$ it is $\phi_{\text{s}}R/r$. When the particle stops, its kinetic energy per unit mass has all become potential energy per unit mass: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, which is positive because $\phi_{\text{s}}$ is negative. Letting $r \to \infty$ gives $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — the escape-speed result again, now read straight off the potential.
Potensial gravitasi $\phi$ di suatu titik adalah usaha per satuan massa untuk memindahkan massa uji kecil dari tak hingga ke titik tersebut:
Satuan: $\text{J kg}^{-1}$.
Potensial dianggap nol di tak hingga. Saat massa uji jatuh mendekati sumber, gravitasi melakukan usaha untuk Anda, sehingga $\phi$ bernilai negatif di mana pun kecuali di tak hingga. Untuk massa titik $M$ pada jarak $r$:
$\phi$ adalah skalar. Untuk beberapa massa, jumlahkan potensial-potensialnya.
Definisi bernilai dua poin, dan mengapa nilainya negatif. Potensial gravitasi di suatu titik adalah usaha per satuan massa untuk memindahkan massa uji kecil dari tak hingga ke titik tersebut. Potensial didefinisikan nol di tak hingga; gravitasi bersifat tarik-menarik, sehingga saat massa uji datang dari tak hingga, medan melakukan usaha padanya dan massa melepaskan energi — usaha yang harus dilakukan oleh agen eksternal adalah negatif. Oleh karena itu, potensial pada setiap jarak berhingga berada di bawah nol. (Potensial listrik di dekat muatan positif bernilai positif karena alasan sebaliknya: medan tersebut menolak, sehingga usaha harus dilakukan untuk mendekatkan muatan uji positif.)
Kesamaan dan perbedaan dengan potensial listrik. Keduanya didefinisikan sebagai usaha per satuan massa atau per satuan muatan positif dari tak hingga, keduanya adalah skalar, keduanya berubah sebanding dengan $1/r$ dari sumber titik, dan keduanya bernilai nol di tak hingga. Perbedaannya: potensial gravitasi selalu negatif, karena gravitasi hanya menarik, sedangkan potensial listrik bisa positif atau negatif tergantung tanda muatannya.
Membaca grafik potensial. Dua grafik muncul dalam soal. Pada $\phi$ terhadap $r$, kurva berbentuk $-GM/r$: nilai permukaan $\phi_{\text{s}} = -GM/R$ memberikan massa planet, dan gradien pada titik manapun memberikan kekuatan medan di sana, karena $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$ — kekuatan medan adalah negatif dari gradien potensial (ini adalah "hubungan antara potensial dan kekuatan medan" yang mungkin ditanyakan oleh soal). Pada $\phi$ terhadap $1/r$, grafiknya adalah garis lurus melalui titik asal dengan gradien $-GM$, yang merupakan cara lebih rapi untuk mengekstrak $M$.
Contoh terpecahkan. Bulan adalah bola seragam terisolasi bermassa $7.3 \times 10^{22}\ \text{kg}$ dan jari-jari $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$. Hitung potensial gravitasi di permukaannya, dan kecepatan minimum dengan mana partikel harus meninggalkan permukaan untuk lepas.
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.3 \times 10^{22}}{1.7 \times 10^{6}} = -2.9 \times 10^{6}\ \text{J kg}^{-1}$. Untuk keluar, energi kinetik partikel per satuan massa harus sama dengan kedalaman sumur potensial: $\tfrac{1}{2}v^{2} = 2.9 \times 10^{6}$, sehingga $v = \sqrt{2 \times 2.9 \times 10^{6}} = 2.4 \times 10^{3}\ \text{m s}^{-1}$. Tanda minus membawa makna: energi $2.9\ \text{MJ}$ per kilogram harus disuplai untuk mengangkat partikel keluar.
Jika sebuah massa uji $m$ berada di tempat yang memiliki potensial $\phi$, maka energi potensial gravitasi dari pasangan tersebut adalah
Seperti potensialnya, $E_{\text{P}}$ bernilai negatif dan hanya mencapai nol pada pemisahan tak hingga. Massa yang lebih dekat memiliki energi potensial yang lebih negatif (terikat lebih kuat).
Untuk perubahan ketinggian kecil di dekat permukaan, $r$ hampir tidak berubah, sehingga $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$. Untuk perubahan besar (satelit berpindah ke orbit lebih tinggi) gunakan $-GMm/r$ pada setiap jari-jari dan ambil selisihnya:
yang merupakan nilai positif (energi harus disuplai untuk menaikkan satelit).
Contoh terpecahkan. Sebuah satelit bermassa $1200\ \text{kg}$ dipindahkan dari orbit melingkar berjari-jari $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ ke orbit berjari-jari $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ mengelilingi Bumi ($GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$). Tentukan perubahan energi potensial gravitasinya, energi kinetiknya, dan energinya total.
$\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) = 4.0 \times 10^{14} \times 1200 \times \left(\dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{8.0 \times 10^{6}}\right) = +8.6 \times 10^{9}\ \text{J}$. Dalam orbit melingkar $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \dfrac{GMm}{2r}$, sehingga $\Delta E_{\text{K}} = \dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_{2}} - \dfrac{1}{r_{1}}\right) = -4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$: satelit yang lebih tinggi bergerak lebih lambat. Energi total $E_{\text{K}} + E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{2r}$ meningkat sebesar $+4.3 \times 10^{9}\ \text{J}$, yang merupakan energi yang harus disuplai oleh mesin roket. Energi total satelit bernilai negatif — ia terikat — dan menjadi kurang negatif seiring orbit yang semakin melebar.
Untuk lepas dari jari-jari $r$ menuju tak hingga, energi kinetik suatu benda harus sama dengan besaran energi potensial gravitasinya:
Di permukaan Bumi, kecepatan lepas adalah $\approx 11\ \text{km s}^{-1}$. Nilai ini tidak bergantung pada massa benda.
Contoh terpecahkan. Tentukan kecepatan lepas dari permukaan Bumi. (Untuk Bumi, $GM = 4.0 \times 10^{14}\ \text{m}^{3}\ \text{s}^{-2}$, $R = 6.4 \times 10^{6}\ \text{m}$.)
Contoh terpecahkan. Sebuah partikel diluncurkan vertikal ke atas dari permukaan planet terisolasi berjari-jari $R$, di mana potensial gravitasinya adalah $\phi_{\text{s}}$. Tunjukkan bahwa partikel itu tepat sampai pada jarak $r$ dari pusat jika kecepatan peluncurannya $v$ memenuhi $\tfrac{1}{2}v^{2} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, dan turunkan kecepatan lepasnya.
Potensial bervariasi sebanding dengan $1/r$, sehingga pada jarak $r$ nilainya adalah $\phi_{\text{s}}R/r$. Ketika partikel berhenti, energi kinetik per satuan massanya seluruhnya telah menjadi energi potensial per satuan massa: $\tfrac{1}{2}v^{2} = \phi(r) - \phi_{\text{s}} = \phi_{\text{s}}\dfrac{R}{r} - \phi_{\text{s}} = -\phi_{\text{s}}\left(1 - \dfrac{R}{r}\right)$, yang bernilai positif karena $\phi_{\text{s}}$ bernilai negatif. Memisalkan $r \to \infty$ menghasilkan $\tfrac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2} = -\phi_{\text{s}} = GM/R$ — hasil kecepatan lepas lagi, kali ini langsung dibaca dari grafik potensial.
V = −GM / r
Potential ∝ −1/r — deep near the mass, flattening with distance. · Potensial ∝ −1/r — mendalam dekat massa, mendatar seiring jarak.
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
| Term | Definition |
|---|---|
| gravitational field | a region of space in which a mass experiences a force |
| gravitational field strength | the gravitational force per unit mass acting on a small test mass placed at the point |
| field line (direction) | the direction of the force on a small test mass placed at that point |
| Newton's law of gravitation | the gravitational force between two point masses is proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of their separation |
| gravitational potential | the work done per unit mass in bringing a small test mass from infinity to the point |
| gravitational potential energy (two point masses) | the work done in bringing the two masses from infinity to their separation, $E_{\text{P}} = -GMm/r$ |
| geostationary orbit | an orbit with a period of 24 hours, from west to east, directly above the equator, so the satellite stays above the same point on the surface |
| escape speed | the minimum speed at which an object must leave the surface to reach infinity with zero kinetic energy |
| centre of mass (binary star) | the point about which both stars orbit, dividing their separation in the inverse ratio of their masses |
Soal definisi dinilai berdasarkan frasa tetap. Hafalkan ini persis, dan berikan hanya satu jawaban.
| Istilah | Definisi |
|---|---|
| medan gravitasi | daerah ruang di mana massa mengalami gaya |
| kekuatan medan gravitasi | gaya gravitasi per satuan massa yang bekerja pada massa uji kecil yang ditempatkan di titik tersebut |
| garis medan (arah) | arah gaya pada massa uji kecil yang ditempatkan di titik tersebut |
| hukum gravitasi Newton | gaya gravitasi antara dua massa titik berbanding lurus dengan hasil kali massa mereka dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak pisahnya |
| potensial gravitasi | usaha per satuan massa dalam memindahkan massa uji kecil dari tak hingga ke titik tersebut |
| energi potensial gravitasi (dua massa titik) | usaha yang dilakukan untuk membawa kedua massa dari tak hingga ke jarak pisahnya, $E_{\text{P}} = -GMm/r$ |
| orbit geostasioner | orbit dengan periode 24 jam, dari barat ke timur, tepat di atas ekuator, sehingga satelit tetap berada di atas titik yang sama di permukaan |
| kecepatan lepas | kecepatan minimum yang harus dimiliki benda untuk meninggalkan permukaan dan mencapai tak hingga dengan energi kinetik nol |
| pusat massa (bintang ganda) | titik di sekitar kedua bintang mengorbit, membagi jarak pisah mereka dalam perbandingan terbalik dari massa masing-masing |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.
Past Papers · Soal-Soil Masa Lalu
Loading subjects… · Memuat mata pelajaran…