Lembar kerja ini mencakup Topik 1: Matematika Murni 1. Ini adalah aljabar dan kalkulus inti dari mata kuliah ini. Setiap bagian ## merupakan subtopik silabus.
Matematika Murni 1
Matematika A-Level · Topik 1
28:42
Matematika Murni 1
Perhatikan jembatan gantung besar. Kabel besarnya bukan bentuk acak — ia menggantung dalam parabola sempurna, kurva yang bisa ditulis dengan satu persamaan. The…
Narasi bahasa Inggris · Subtitle bahasa Inggris + 中文 disematkan langsung
1.1
Kuadrat
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| lakukan proses melengkapi kuadrat sempurna untuk polinomial kuadrat $ax^2 + bx + c$ dan gunakan bentuk kuadrat sempurna yang telah dibuat | mis. untuk menentukan titik puncak grafik dari $y = ax^2 + bx + c$ atau untuk menggambar sketsa grafik |
| temukan diskriminan dari polinomial kuadrat $ax^2 + bx + c$ dan gunakan diskriminan | mis. untuk menentukan jumlah akar real dari persamaan $ax^2 + bx + c = 0$. Pengetahuan tentang istilah 'akar ganda' termasuk di dalamnya. |
| selesaikan persamaan kuadrat, dan ketaksamaan kuadrat, dalam satu tak hingga | Dengan memfaktorkan, melengkapi kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus. |
| selesaikan dengan substitusi sepasang persamaan simultan yang salah satunya linear dan yang lainnya kuadrat | mis. $x + y + 1 = 0$ dan $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ dan $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| kenali dan selesaikan persamaan dalam $x$ yang bersifat kuadrat terhadap suatu fungsi dari $x$. | mis. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Bentuk kuadrat adalah ekspresi dari bentuk $ax^2 + bx + c$, di mana $a \neq 0$. Huruf-huruf $a$, $b$, $c$ adalah koefisien (angka tetap). Sebagian besar bagian ini membahas penyelesaian persamaan $ax^2 + bx + c = 0$.
Melengkapi kuadrat
Untuk melengkapi kuadrat berarti menulis kuadrat dalam bentuk
$$a(x + p)^2 + q.$$
Bentuk ini berguna: menunjukkan titik puncak (titik belok) kurva di $(-p,\ q)$, dan memberikan cara cepat untuk menyelesaikan persamaan.
Contoh terpecahkan. Tulis $9x^2 - 36x + 8$ dalam bentuk $p(x + q)^2 + r$.
Keluarkan faktor $9$ dari dua suku pertama, lalu lengkapi kuadrat di dalamnya:
$$\begin{aligned}
9x^2 - 36x + 8 &= 9\left(x^2 - 4x\right) + 8 \\
&= 9\left((x - 2)^2 - 4\right) + 8 \\
&= 9(x - 2)^2 - 36 + 8 = 9(x - 2)^2 - 28.
\end{aligned}$$
Sehingga $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.
Diskriminan
Diskriminan dari $ax^2 + bx + c$ adalah
$$\Delta = b^2 - 4ac.$$
Ia memberi tahu Anda berapa banyak akar nyata (solusi nyata) yang dimiliki persamaan $ax^2 + bx + c = 0$:
| Diskriminan | Akar |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | dua akar nyata berbeda |
| $b^2 - 4ac = 0$ | satu akar real berulang |
| $b^2 - 4ac < 0$ | tidak ada akar nyata |
Contoh terpecahkan. Temukan nilai konstanta $k$ agar $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ memiliki dua akar nyata berbeda.
Di sini $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Untuk dua akar nyata berbeda Anda memerlukan $b^2 - 4ac > 0$:
$$(k + 8)^2 - 4(3k)(3) > 0 \;\Rightarrow\; k^2 + 16k + 64 - 36k > 0 \;\Rightarrow\; k^2 - 20k + 64 > 0.$$
Faktorkan: $(k - 4)(k - 16) > 0$, sehingga $k < 4$ atau $k > 16$. Anda juga perlu $a \neq 0$, jadi $k \neq 0$.
Persamaan kuadrat dan ketaksamaan
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, faktorkan, lengkapi kuadrat, atau gunakan rumus
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
Untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadrat seperti $(k - 4)(k - 16) > 0$, temukan kedua akarnya, lalu tentukan sisi dari setiap akar mana yang membuat pernyataan benar. Sketsa parabola membantu: kurva berada di atas sumbu-$x$ (positif) di luar akar-akar dan di bawahnya (negatif) di antara akar-akar tersebut.
Persamaan simultan
Untuk menyelesaikan sepasang persamaan simultan di mana satu linear dan satu kuadrat, gunakan substitusi: susun ulang persamaan linear untuk satu huruf, lalu masukkan ke dalam persamaan kuadrat. Hal ini menghasilkan satu persamaan kuadrat tunggal untuk diselesaikan.
Persamaan yang tersembunyi sebagai kuadrat
Beberapa persamaan bersifat kuadrat dalam beberapa fungsi dari $x$. Sebagai contoh $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ bersifat kuadrat dalam $x^2$: misalkan $u = x^2$, selesaikan $u^2 - 5u + 4 = 0$, lalu kembali ke $x$. Anda akan menggunakan ide ini lagi dalam trigonometri.
Jelajahi
Bentuk kuadrat
y = ax² + bx + c
Seret a, b, dan c. Saksikan titik puncak, garis simetri, dan akar-akar (di mana ia memotong sumbu-x) bergerak saat koefisien berubah.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | The study of mathematical structures, relationships and reasoning independently of a particular practical application. |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | An algebraic expression whose highest power of the variable is two. |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | To rewrite a quadratic expression as a squared linear expression plus or minus a constant. |
| vertex/ˈvɜːteks/ | A corner or meeting point of edges, a turning point of a parabola, or a node in a graph, depending on the context. |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | The value b squared minus 4ac, which determines the nature of a quadratic equation's roots. |
| real roots/rɪəl ruːts/ | Real-number values that satisfy an equation, usually making a polynomial equal to zero. |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | Different from one another. |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | quadratic equation |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | quadratic inequality |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | simultaneous equations |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitution |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | A mapping that assigns exactly one output to each allowed input. |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | composition of functions |
| parabola/pəˈræbələ/ | The curve formed by points equally distant from a fixed point and a fixed straight line. |
1.2
Fungsi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami istilah fungsi, domain, range, fungsi satu-satu, fungsi invers, dan komposisi fungsi | |
| identifikasi range dari suatu fungsi yang diberikan dalam kasus sederhana, dan temukan komposisi dari dua fungsi yang diberikan | mis. range dari $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ untuk $x \geqslant 1$ dan range dari $g : x \mapsto x^2 + 1$ untuk $x \in \mathbb{R}$. Termasuk syarat bahwa fungsi komposit $gf$ hanya dapat dibentuk ketika range dari $f$ berada dalam domain dari $g$. |
| tentukan apakah suatu fungsi yang diberikan adalah satu-satu, dan temukan invers dari fungsi satu-satu dalam kasus sederhana | mis. menemukan invers dari $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ untuk $x < -\frac{3}{2}$. |
| ilustrasikan secara grafis hubungan antara fungsi satu-satu dan invers-nya | Sketsa harus mencakup indikasi garis cermin $y = x$. |
| pahami dan gunakan transformasi dari grafik $y = f(x)$ yang diberikan oleh $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ dan kombinasi sederhana dari transformasi tersebut. | Termasuk penggunaan istilah 'translasi', 'refleksi' dan 'peregangan' dalam mendeskripsikan transformasi. Soal mungkin melibatkan fungsi aljabar atau trigonometri, atau grafik lain dengan fitur tertentu. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Sebuah fungsi adalah aturan yang mengirimkan setiap masukan ke tepat satu keluaran. Tulis sebagai $f(x)$. Komposisi fungsi $fg(x)$ berarti terapkan $g$ terlebih dahulu, lalu terapkan $f$ pada hasilnya.
- Daerah asal (domain) adalah himpunan masukan yang diizinkan $x$.
- Daerah hasil (range) adalah himpunan keluaran yang sebenarnya dihasilkan oleh fungsi tersebut.
Sebuah fungsi satu-satu (one-one) jika masukan berbeda selalu menghasilkan keluaran berbeda. (Tidak ada keluaran yang berulang.) Hanya fungsi satu-satu yang memiliki fungsi invers $f^{-1}$, yang membalikkan aturannya.
Komposisi dua fungsi berarti melakukan satu setelah yang lain. $fg(x)$ berarti "lakukan $g$ terlebih dahulu, lalu $f$": $fg(x) = f(g(x))$. Fungsi komposit $fg$ hanya ada ketika daerah hasil $g$ terletak di dalam daerah asal $f$.
Menemukan invers
Untuk menemukan $f^{-1}$: tulis $y = f(x)$, jadikan $x$ sebagai subjek, lalu tukar hurufnya.
Contoh terpecahkan. Fungsi $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ didefinisikan untuk $x \geqslant 0$. Temukan $f^{-1}(x)$.
Tulis $y = (x + 3)^2 - 12$ dan selesaikan untuk $x$:
$$(x + 3)^2 = y + 12 \;\Rightarrow\; x + 3 = \sqrt{y + 12} \;\Rightarrow\; x = \sqrt{y + 12} - 3.$$
Anda mengambil akar kuadrat positif karena $x \geqslant 0$ berarti $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Jadi
$$f^{-1}(x) = \sqrt{x + 12} - 3.$$
Grafik invers dan transformasi
Grafik $y = f^{-1}(x)$ adalah pencerminan dari $y = f(x)$ terhadap garis $y = x$.
Anda harus mengetahui transformasi berikut dari $y = f(x)$:
| Persamaan baru | Efek pada grafik |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translasi naik sebesar $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translasi kiri sejauh $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | regangan dalam arah $y$, faktor skala $a$ |
| $y = f(ax)$ | regangan dalam arah $x$, faktor skala $\tfrac{1}{a}$ |
Ketika dua transformasi digabungkan, urutannya bisa berpengaruh. Nyatakan masing-masing secara lengkap (jenis, arah, dan jumlah).
*Menambahkan nilai pada keluaran atau masukan menggeser kurva; pengali meregangkannya.
Jelajahi
Jelajahi sebuah fungsi
y = ax³ + bx² + cx + d
Sebuah fungsi mengubah setiap masukan menjadi tepat satu keluaran — seret koefisiennya dan lihat di mana kurva naik dan turun.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| domain/dəˈmeɪn/ | The set of input values for which a function is defined. |
| range/reɪndʒ/ | The set of output values actually attained by a function on its stated domain. |
| one-one/wʌn wʌn/ | one-one |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | A function that reverses another function's mapping on a domain where that mapping is one-to-one. |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | Combining functions by applying one function to the output of another. |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | A transformation that maps each point to its mirror image across a line or plane. |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | transformations |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | A transformation that moves every point by the same vector without changing shape, size or orientation. |
| stretch/stretʃ/ | stretch |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | Coordinate geometry |
1.3
Geometri koordinat
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| temukan persamaan dari garis lurus jika informasi yang cukup diberikan | mis. diberikan dua titik, atau satu titik dan gradien. |
| tafsirkan dan gunakan salah satu bentuk $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ dalam pemecahan masalah | Termasuk perhitungan jarak, gradien, titik tengah, titik potong, dan penggunaan hubungan antara gradien sejajar dan tegak lurus garis. |
| pahami bahwa persamaan $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ merepresentasikan lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$ | Termasuk penggunaan bentuk diperluas $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| gunakan metode aljabar untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan garis dan lingkaran | Termasuk penggunaan sifat geometri dasar lingkaran, mis. garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari, sudut dalam setengah lingkaran, simetri. Diferensiasi implisit tidak termasuk. |
| pahami hubungan antara grafik dan persamaan aljabar yang terkait dengannya, dan gunakan hubungan antara titik potong grafik dan solusi persamaan. | mis. untuk menentukan himpunan nilai $k$ di mana garis $y = x + k$ berpotongan, menyinggung, atau tidak bertemu dengan kurva kuadrat. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Geometri koordinat mempelajari garis dan lingkaran menggunakan persamaan mereka.
Garis lurus
Gradien (kemiringan) garis yang menghubungkan $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah
$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$
Anda dapat menulis persamaan garis lurus dalam salah satu bentuk berikut:
$$y = mx + c, \qquad y - y_1 = m(x - x_1), \qquad ax + by + c = 0.$$
Dua garis sejajar ketika gradiennya sama, dan tegak lurus (membentuk sudut siku-siku) ketika hasil kali gradiennya adalah $-1$.
Lingkaran
Lingkaran dengan pusat $(a, b)$ dan jari-jari $r$ memiliki persamaan
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$
Bentuk yang diperluas seperti $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ adalah lingkaran yang sama: kuadratkan sempurna dalam $x$ dan dalam $y$ untuk menemukan pusat dan jari-jari.
Garis singgung pada lingkaran menyentuhnya di satu titik dan tegak lurus terhadap jari-jari pada titik tersebut. Fakta sudut siku-siku ini menyelesaikan sebagian besar masalah lingkaran.
Contoh terpecahkan. Titik-titik $P(1, 1)$ dan $Q(7, 11)$ merupakan ujung-ujung sebuah diameter lingkaran. Temukan persamaan lingkaran tersebut.
Pusatnya adalah titik tengah dari $PQ$:
$$\left(\frac{1 + 7}{2},\ \frac{1 + 11}{2}\right) = (4, 6).$$
Jari-jarinya adalah setengah panjang dari $PQ$:
$$r = \tfrac12\sqrt{(7 - 1)^2 + (11 - 1)^2} = \tfrac12\sqrt{36 + 100} = \tfrac12\sqrt{136} = \sqrt{34}.$$
Jadi lingkaran tersebut adalah $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.
Jelajahi
Garis lurus
y = ax + b
Gradien miringkan garis; intersep menggesernya naik dan turun.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | circle |
| centre/ˈsentə/ | centre |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | The distance from the centre of a circle to its edge. |
| tangent/ˈtændʒənt/ | A straight line that touches a curve at a point and has the same direction there. |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | A straight line through a circle's centre joining two points on its circumference, or the length of that line. |
1.4
Ukuran sudut
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami definisi radian, dan gunakan hubungan antara radian dan derajat | |
| gunakan rumus $s = r\theta$ dan $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ dalam menyelesaikan masalah mengenai panjang busur dan luas juring lingkaran. | Termasuk perhitungan panjang dan sudut dalam segitiga serta luas segitiga. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Radian
Sebuah radian adalah cara lain untuk mengukur sudut. Satu radian adalah sudut di pusat lingkaran yang memotong busur dengan panjang sama dengan jari-jari. Hubungan antara radian dan derajat adalah
$$\pi \text{ radians} = 180^\circ.$$
Jadi untuk mengubah derajat ke radian, kalikan dengan $\dfrac{\pi}{180}$; untuk mengubah radian ke derajat, kalikan dengan $\dfrac{180}{\pi}$.
Panjang busur dan luas juring
Untuk sebuah juring dengan jari-jari $r$ dan sudut $\theta$ dalam radian:
$$\text{arc length} = s = r\theta, \qquad \text{sector area} = A = \tfrac12 r^2 \theta.$$
Sebuah tali busur membagi juring menjadi segitiga dan segmen. Luas segmen adalah luas juring dikurangi luas segitiga:
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2 \theta - \tfrac12 r^2 \sin\theta = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta).$$
Contoh terpecahkan. Sebuah juring memiliki pusat $O$ dan sudut di $O$ adalah $\tfrac{2}{3}\pi$ radian. Tunjukkan bahwa luas segmen yang dipotong tali busur adalah sekitar $0.614 r^2$.
$$\text{segment} = \tfrac12 r^2\left(\tfrac{2}{3}\pi - \sin\tfrac{2}{3}\pi\right) = \tfrac12 r^2(2.0944 - 0.8660) = \tfrac12 r^2(1.2284) \approx 0.614 r^2.$$
Jelajahi
Radian, busur, dan juringan
Ubah sudut (dalam radian) dan jari-jari. Lihat panjang busur $s = r\theta$ dan luas juringan $\tfrac12 r^2\theta$ diperbarui.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | The angle subtended at a circle's centre by an arc equal in length to its radius. |
| arc/ɑːk/ | arc |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | degrees |
| sector/ˈsektə/ | A region of a circle bounded by two radii and the arc between them. |
| chord/kɔːd/ | chord |
| segment/ˈseɡmənt/ | The part of the sector between the chord and the arc. |
1.5
Trigonometri
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gambar sketsa dan gunakan grafik fungsi sine, cosine dan tangent (untuk sudut dengan ukuran apa pun, dan menggunakan baik derajat maupun radian) | Termasuk misal $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| gunakan nilai eksak dari sine, cosine dan tangent dari $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, dan sudut-sudut yang terkait | misal $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| gunakan notasi $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ untuk menunjukkan nilai utama dari hubungan trigonometri invers | Tidak diperlukan pengetahuan khusus tentang fungsi-fungsi ini, tetapi pemahaman tentang mereka sebagai contoh fungsi invers diharapkan. |
| gunakan identitas $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ dan $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | misal dalam membuktikan identitas, menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan persamaan. |
| temukan semua solusi dari persamaan trigonometri sederhana yang terletak dalam interval tertentu (bentuk umum solusi tidak termasuk). | misal selesaikan $3 \sin 2x + 1 = 0$ untuk $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ untuk $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Grafik dan nilai eksak
Anda harus mengetahui bentuk grafik dari fungsi sinus, kosinus dan tangens (ditulis $\sin$, $\cos$, $\tan$). Grafik sinus dan kosinus berayun antara $-1$ dan $1$ dan berulang setiap $360^\circ$ ($2\pi$). Hafalkan nilai-nilai eksak ini:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Notasi $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, dan $\tan^{-1}x$ berarti sudut kebalikan (nilai utama).
Identitas
Sebuah identitas benar untuk setiap nilai sudut. Dua yang harus Anda ketahui adalah
$$\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1.$$
Gunakan keduanya untuk menulis ulang persamaan sehingga hanya memuat satu fungsi trigonometri.
Menyelesaikan persamaan trigonometri
Untuk menyelesaikan sebuah persamaan trigonometri, pertama-tama sederhanakan menjadi satu fungsi, kemudian temukan semua solusi dalam interval yang diberikan.
Contoh terpecahkan. Selesaikan $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ untuk $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Kalikan seluruh ruas dengan $\sin\theta$ untuk menghilangkan pecahan. Ini menghasilkan kuadrat dalam $\sin\theta$:
$$6\sin^2\theta - \sin\theta - 2 = 0 \;\Rightarrow\; (3\sin\theta - 2)(2\sin\theta + 1) = 0.$$
Jadi $\sin\theta = \tfrac23$ atau $\sin\theta = -\tfrac12$.
- $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ atau $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
- $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ atau $\theta = -150^\circ$.
Keempat solusinya adalah $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Jelajahi
Grafik sinus & kosinus
Seret amplitudo, periode, dan pergeseran dari y = a·sin(bx + c) + d dan lihat kurva berubah melawan gelombang dasar.
Jelajahi
Sinus dan kosinus pada lingkaran satuan
Seret sudut di sekitar lingkaran satuan. Ketinggian adalah $\sin\theta$, jarak melintang adalah $\cos\theta$ — dari situlah grafik berasal.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| sine/saɪn/ | For an acute angle in a right-angled triangle, the opposite side divided by the hypotenuse. |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | For an acute angle in a right-angled triangle, the adjacent side divided by the hypotenuse. |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | tangent function |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | principal value |
| identity/aɪˈdentɪti/ | An equation that is true for every allowed value of its variables. |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | trigonometric equation |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | binomial expansion |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | The number of ways to choose a specified number of items from a set, also appearing in a binomial expansion. |
| progression/prəˈɡreʃn/ | progression |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | arithmetic progression |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | The constant amount added to each term to obtain the next term in an arithmetic sequence. |
| term/tɜːm/ | term |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | geometric progression |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | The factor multiplying each term to obtain the next term in a geometric sequence. |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | Approaches a finite limit as the relevant variable or sequence index increases or approaches a specified value. |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | The limiting value of the partial sums of a convergent infinite series. |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Differentiation |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | gradient of a curve |
1.6
Barisan
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| gunakan perluasan dari $(a + b)^n$, di mana $n$ adalah bilangan bulat positif | Termasuk notasi $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ dan $n!$ Pengetahuan tentang suku terbesar dan sifat koefisien tidak diperlukan. |
| kenali barisan aritmetika dan barisan geometri | |
| gunakan rumus untuk suku ke-$n$ dan untuk jumlah dari $n$ suku pertama untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan barisan aritmetika atau barisan geometri | Termasuk pengetahuan bahwa bilangan-bilangan $a$, $b$, $c$ 'berada dalam barisan aritmetika' jika $2b = a + c$ (atau ekuivalen) dan berada dalam 'barisan geometri' jika $b^2 = ac$ (atau ekuivalen). Pertanyaan dapat melibatkan lebih dari satu barisan. |
| gunakan kondisi untuk konvergensi dari barisan geometri, dan rumus untuk jumlah tak hingga dari barisan geometri konvergen. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Ekspansi binomial
Untuk bilangan bulat positif $n$, ekspansi binomial adalah
$$(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n,$$
di mana $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ adalah koefisien binomial.
Contoh terpecahkan. Temukan tiga suku pertama, dalam pangkat menaik dari $x$, dari $(2 - px)^5$.
$$(2 - px)^5 = 2^5 + \binom{5}{1}2^4(-px) + \binom{5}{2}2^3(-px)^2 + \cdots = 32 - 80px + 80p^2x^2 + \cdots$$
Barisan aritmetika dan geometri
Sebuah barisan (urutan) adalah daftar suku-suku yang mengikuti suatu aturan.
- Sebuah barisan aritmetika (BA) menambahkan beda tetap $d$ pada setiap langkah. Suku ke-$n$ adalah $u_n = a + (n - 1)d$, dan jumlah dari $n$ suku pertama adalah $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
- Sebuah barisan geometri (BG) mengalikan dengan rasio tetap $r$ pada setiap langkah. Suku ke-$n$ adalah $u_n = ar^{\,n-1}$, dan $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.
Sebuah BG konvergen — ia konvergen (menetap pada suatu batas) — ketika $|r| < 1$. Maka ia memiliki jumlah tak hingga
$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}.$$
Contoh terpecahkan. Suku ketiga dari sebuah BG adalah $18$ dan jumlah dari tiga suku pertamanya adalah $26$. Rasio bedanya negatif. Temukan jumlah tak hingga.
Dari $ar^2 = 18$ Anda memperoleh $a = \dfrac{18}{r^2}$. Masukkan ini ke dalam $a(1 + r + r^2) = 26$:
$$18(1 + r + r^2) = 26r^2 \;\Rightarrow\; 8r^2 - 18r - 18 = 0 \;\Rightarrow\; (4r + 3)(r - 3) = 0.$$
Rasionya negatif, jadi $r = -\tfrac34$ dan $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Kemudian
$$S_\infty = \frac{32}{1 - (-\tfrac34)} = \frac{32}{\tfrac74} = \frac{128}{7}.$$
Jelajahi
Urutan aritmatika dan geometri
Beralih antara aritmatika (tambah d) dan geometri (kali r) urutan dan saksikan suku-suku dan jumlahnya meningkat.
1.7
Diferensiasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami gradien kurva pada suatu titik sebagai limit dari gradien dari deretan tali busur yang sesuai, dan gunakan notasi $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, dan $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ untuk turunan pertama dan kedua | Hanya pemahaman informal tentang konsep limit yang diharapkan. misal termasuk pertimbangan gradien dari tali busur yang menghubungkan titik-titik dengan koordinat $x$ $2$ dan $(2 + h)$ pada kurva $y = x^3$. Penggunaan formal dari metode umum diferensiasi dari prinsip pertama tidak diperlukan. |
| gunakan turunan dari $x^n$ (untuk setiap rasional $n$), bersama dengan kelipatan konstan, jumlah dan selisih fungsi, serta fungsi komposit menggunakan aturan rantai | misal cari $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, diberikan $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| terapkan diferensiasi pada gradien, garis singgung dan garis normal, fungsi naik dan turun serta laju perubahan | Termasuk laju perubahan yang terhubung, misal diberikan laju peningkatan jari-jari lingkaran, cari laju peningkatan luas untuk nilai spesifik dari salah satu variabel. |
| tentukan titik stasioner dan tentukan sifatnya, dan gunakan informasi tentang titik stasioner dalam menggambar sketsa grafik. | Termasuk penggunaan turunan kedua untuk mengidentifikasi maksimum dan minimum; alternatif dapat digunakan dalam pertanyaan di mana tidak ada metode yang ditentukan. Pengetahuan tentang titik belok tidak termasuk. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Diferensiasi menemukan gradien kurva pada setiap titik. Gradien tersebut adalah batas dari gradien-gradien tali busur yang semakin pendek, yang disebut turunan.
Aturan-aturan
Tulis turunan sebagai $f'(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$. Aturan dasarnya adalah
$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n x^{n-1} \quad \text{for any rational } n.$$
Turunkan penjumlahan suku demi suku, dan gunakan aturan rantai untuk fungsi di dalam fungsi:
$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$$
Mendiferensiasikan lagi menghasilkan turunan kedua $f''(x)$ atau $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.
Menggunakan turunan
- Garis singgung dan garis normal. Gradien kurva pada suatu titik adalah gradien garis singgung di sana. Garis normal tegak lurus terhadap garis singgung, sehingga gradiennya adalah $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
- Menaik atau menurun. Fungsi merupakan fungsi naik di mana $\dfrac{dy}{dx} > 0$, dan fungsi turun di mana $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
- Laju perubahan. Turunan adalah laju perubahan. Laju terkait menggunakan aturan rantai, mis. $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.
Titik stasioner
Sebuah titik stasioner adalah tempat di mana $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Uji sifatnya dengan turunan kedua: $f''(x) > 0$ memberikan titik minimum, dan $f''(x) < 0$ memberikan titik maksimum. Ketika $f''(x) = 0$ uji tidak konklusif: titik tersebut mungkin berupa titik belok, di mana kurva mengubah kekcekungan (cara melengkungnya) – periksa tanda $\dfrac{dy}{dx}$ tepat sebelum dan sesudah untuk memutuskan.
Contoh terpecahkan. Kurva $y = 4x^{1/2} - x$ memiliki titik maksimum di $x = a$. Temukan $a$.
$$\frac{dy}{dx} = 2x^{-1/2} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; \frac{2}{\sqrt{x}} = 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{x} = 2 \;\Rightarrow\; x = 4.$$
Jadi $a = 4$.
Jelajahi
Gradien pada suatu titik
y = ax³ + bx² + cx + d
Geser titik sepanjang kurva. Garis singgung menunjukkan gradien $\frac{dy}{dx}$ di sana — lebih curam di mana kurva membengkok lebih banyak.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | The change in the vertical coordinate divided by the change in the horizontal coordinate. |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | equation of a straight line |
| parallel/ˈpærəlel/ | Describing lines in the same plane that never meet, however far extended. |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | Meeting at a right angle of 90 degrees. |
| normal/ˈnɔːml/ | garis normal |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | increasing function |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | decreasing function |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | The change in one quantity divided by the corresponding change in another. |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | A point on a differentiable curve where its derivative is zero. |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | minimum point |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | maximum point |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | point of inflexion |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | The reverse of differentiation. |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | An arbitrary constant included in an indefinite integral to represent the family of antiderivatives. |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | The limit of sums of function values multiplied by interval widths, representing signed area under a curve over an interval. |
| region/ˈriːdʒn/ | region |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | improper integral |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | volume of revolution |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | algebra |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | calculus |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | A numerical or constant factor multiplying a term in an expression. |
1.8
Integrasi
Silabus
| Calon peserta harus mampu: | Catatan dan contoh |
|---|---|
| pahami integrasi sebagai proses kebalikan dari diferensiasi, dan integralkan $(ax + b)^n$ (untuk setiap rasional $n$ kecuali $-1$), bersama dengan kelipatan konstan, jumlah dan selisih | misal $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| selesaikan masalah yang melibatkan evaluasi konstanta integrasi | misal untuk mencari persamaan kurva melalui $(1, -2)$ untuk mana $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluasi integral tentu | Termasuk kasus-kasus sederhana dari integral 'tidak wajar', seperti $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ dan $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| gunakan integral tentu untuk menemukan: - luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis-garis sejajar sumbu, atau antara kurva dan garis atau antara dua kurva - volume putar terhadap salah satu sumbu. | Volume putar dapat melibatkan daerah yang tidak dibatasi oleh sumbu rotasi, misal daerah antara $y = 9 - x^2$ dan $y = 5$ diputar sekitar sumbu $x$. |
Sumber: Silabus Cambridge International
Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi. Membalik aturan pangkat menghasilkan
$$\int (ax + b)^n \, dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \quad (n \neq -1).$$
$+\,C$ adalah konstanta integrasi. Jika Anda mengetahui satu titik pada kurva, substitusikan untuk mencari $C$.
Integral tentu dan luas
Sebuah integral tentu memiliki batas-batas dan menghasilkan sebuah angka:
$$\int_p^q f(x)\, dx = \big[F(x)\big]_p^q = F(q) - F(p).$$
Luas daerah antara kurva dan sumbu-$x$, dari $x = p$ hingga $x = q$, adalah $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Untuk luas antara dua kurva, integralkan (kurva atas $-$ kurva bawah).
Contoh terpecahkan. Kurva $y = 4x^{1/2} - x$ memotong kembali sumbu-$x$ di $x = 16$. Temukan luas antara kurva dan sumbu-$x$ dari $x = 0$ hingga $x = 4$.
$$\int_0^4 \left(4x^{1/2} - x\right) dx = \left[\frac{8}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{8}{3}(8) - \frac{16}{2} = \frac{64}{3} - 8 = \frac{40}{3}.$$
Sebuah integral tak wajar memiliki batas tak hingga atau titik akhir di mana fungsi integrannya tidak terdefinisi; nilainya dihitung sebagai limit. Sebagai contoh,
$$\int_1^{\infty}x^{-2}\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1,$$
dan $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, yang bernilai finite meskipun fungsi integrannya meledak di $x=0$.
Volume perputaran
Ketika suatu daerah diputar penuh mengelilingi sumbu, daerah tersebut membentuk sebuah padatan. Volume perputaran terhadap sumbu $x$ adalah
$$V = \pi \int_p^q y^2 \, dx,$$
dan terhadap sumbu $y$ adalah $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Sebagai contoh, daerah di bawah $y = \sqrt{x}$ dari $x = 0$ hingga $x = 4$, yang diputar terhadap sumbu $x$, memiliki volume $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.
Jelajahi
Luas di bawah kurva
y = ax³ + bx² + cx + d
Seret batas-batasnya. Integral tentu adalah area arsiran antara kurva dan sumbu-x.
Kosa kata
Latih
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | A value that a function or sequence approaches as its input or index approaches a specified value. |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | The instantaneous rate of change of a function with respect to its input. |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | The rule for differentiating a composite function by multiplying the appropriate derivatives. |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | The derivative of a function's first derivative, describing how its gradient changes. |
1.8
Tips ujian
- Tunjukkan setiap baris aljabar — nilai metode hilang jika melompati langkah; gunakan diskriminan $b^2 - 4ac$ untuk menentukan jumlah akar real.
- Kerjakan dalam radian untuk ukuran sudut (busur $= r\theta$, luas juring $= \frac{1}{2}r^2\theta$) dan untuk kalkulus fungsi trigonometri.
- Untuk diferensiasi, tetapkan $\frac{dy}{dx} = 0$ untuk titik stasioner dan gunakan turunan kedua untuk mengklasifikasikannya.
- Untuk integrasi, tambahkan $+ c$ pada integral tak tentu dan gunakan batas untuk luas; area di bawah sumbu menghasilkan integral negatif.
Pelajaran interaktif untuk topik ini
Kerjakan langkah demi langkah, dengan latihan pengecekan instan.