Trigonometri
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonometric |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | asymptotes |
| identities/aɪˈdentɪtiz/ | identities |
Matematika Siklus
- Pasang surut, gelombang suara, arus bolak-balik, orbit planet—semuanya dijelaskan oleh fungsi trigonometri.
- Gelombang sinus dan kosinus adalah blok bangunan gerak periodik. Kuasai keduanya dan Anda dapat memodelkan apa pun yang berulang.
Grafik sin, cos dan tan
- $\sin$ dan $\cos$ berayun antara $-1$ dan $1$ dan berulang setiap $360^\circ$ (atau $2\pi$ radian).
- $\tan$ berulang setiap $180^\circ$ (atau $\pi$ radian) dan memiliki asimtot vertikal di $90^\circ$ dan $270^\circ$.
Lingkaran satuan: $\cos\theta$ adalah koordinat $x$, $\sin\theta$ adalah koordinat $y$. Karena $x^2 + y^2 = 1$, kita mendapatkan $\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1$.
Lingkaran satuan
(cos θ, sin θ)
Putar sudut θ di sekitar lingkaran: sisi horizontal adalah cos θ dan sisi vertikal adalah sin θ.
Nilai eksak
- Hafalkan nilai-nilai ini tanpa kalkulator:
| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | tak terdefinisi |
Trik ingatan. Nilai sinus mengikuti pola $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ untuk $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$. Kosinus adalah kebalikannya.
Roda Ferris: sebuah titik di tepinya bergerak naik turun seperti kurva sinus
Grafik sinus & kosinus
Seret amplitudo, periode, dan pergeseran dari y = a·sin(bx + c) + d dan lihat kurva berubah melawan gelombang dasar.
Berapa nilai eksak dari sin 30°?
sin 30° = 1/2 = 0,5.
Berapakah nilai tan 45°?
tan 45° = 1.
Apakah nilai tepat cos 60°?
cos 60° = 1/2 = 0,5.
Identitas Utama
- Dua identitas fundamental: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ dan $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$.
- Ini memungkinkan Anda untuk beralih antar fungsi dan menyederhanakan ekspresi.
$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$, bukan $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$. Identitas ini berkaitan dengan jumlah kuadrat, bukan kuadrat dari jumlah. Ini adalah kesalahan ujian yang umum.
Gelombang sin dan cos antara -1 dan 1; tan terputus pada 90 dan 270 derajat
Untuk sudut θ berapapun, berapakah sin²θ + cos²θ?
Ini ialah identiti sin²θ + cos²θ ≡ 1.
Manakah identiti yang betul?
tan θ ≡ sin θ / cos θ; dan sin²θ + cos²θ ≡ 1.
Menyelesaikan Persamaan Trigonometri
- Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri: sederhanakan menjadi satu fungsi (sering kali kuadratik dalam $\sin$ atau $\cos$), lalu temukan setiap solusi dalam interval yang diberikan.
- Gunakan simetri grafik: jika $\sin\theta = k$ memiliki solusi $\theta = \alpha$, maka $\theta = 180^\circ - \alpha$ juga merupakan solusi.
- Selesaikan persamaan trigonometri; gunakan fungsi invers $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (hubungan trigonometri invers), yang memberikan nilai utama.
Jika sin θ = 0,5 dan 0° ≤ θ ≤ 360°, maka θ = 30° adalah satu-satunya penyelesaian.
sin θ = 0,5 juga mempunyai penyelesaian θ = 180° − 30° = 150° dalam julat yang diberikan.
Anda telah memahaminya
- $\sin, \cos$ tetap dalam $[-1, 1]$, berulang setiap $360^\circ$; hafalkan nilai eksak $30/45/60$
- identitas: $\tan\theta \equiv \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$
- selesaikan dengan mengurangi ke dalam satu fungsi trigonometri, kemudian menemukan semua solusi dalam interval