Siri
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | Approaches a finite limit as the relevant variable or sequence index increases or approaches a specified value. |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | geometric series |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | binomial expansion |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | The number of ways to choose a specified number of items from a set, also appearing in a binomial expansion. |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | arithmetic progression |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | The constant amount added to each term to obtain the next term in an arithmetic sequence. |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | geometric progression |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | The factor multiplying each term to obtain the next term in a geometric sequence. |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | The limiting value of the partial sums of a convergent infinite series. |
Jumlah tak hingga yang konvergen
- Tambahkan $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ selamanya. Totalnya? Tepat $2$.
- Ini adalah deret geometri dengan rasio $\dfrac{1}{2}$. Tidak semua jumlah tak hingga berperilaku semudah ini — tetapi yang bisa melakukan hal tersebut merupakan alat yang kuat dalam keuangan, fisika, dan komputasi.
Ekspansi binomial
- Untuk bilangan bulat positif $n$:
- di mana $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ adalah koefisien binomial.
Contoh terpecahkan. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. Koefisien-koefisien $1, 4, 6, 4, 1$ adalah baris ke-4 dari Segitiga Pascal.
Berapakah pekali binomial C(5, 2) = 5! / (2! 3!)?
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
Deret aritmatika (AP)
- Sebuah AP menambahkan beda tetap konstan $d$ setiap langkah: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- Suku ke-$n$: $u_n = a + (n-1)d$.
- Jumlah $n$ suku pertama: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
AP mempunyai sebutan pertama a = 3 dan perbezaan sepunya d = 4. Berapakah sebutan ke-5?
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
AP mempunyai a = 2 dan d = 3. Berapakah jumlah sebutan awal 5?
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
Deret geometri (GP)
- Sebuah GP mengalikan dengan rasio tetap konstan $r$ setiap langkah: $a, ar, ar^2, \ldots$
- Suku ke-$n$: $u_n = ar^{n-1}$.
- Jumlah $n$ suku pertama: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (untuk $r \neq 1$).
AP tumbuh secara linear (tambah $d$); GP tumbuh secara eksponensial (kali $r$). Untuk $r > 1$, GP akhirnya melampaui AP.
Bina satu jujukan
uₙ = a · rⁿ⁻¹
Setiap sebutan mendarab dengan r. Apabila |r| < 1, sebutan-secarut mengecil dan jumlah hingga tak terhingga akan merosot.
GP mempunyai a = 2 dan r = 3. Berapakah sebutan ke-4?
u = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
Jumlah tak hingga
- sebuah GP konvergen ketika $|r| < 1$ — suku-sukunya menjadi semakin kecil.
- Jumlah tak hingga: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ itu penting. Jika $|r| \geq 1$, suku-suku tidak mengecil dan jumlah tak hingga divergen (tumbuh tanpa batas). Rumus $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ hanya berlaku ketika deret konvergen.
- Sebuah deret aritmatika memiliki beda tetap; sebuah deret geometri memiliki rasio tetap. Sebuah deret geometri konvergen ($|r|<1$) menunjukkan konvergensi menuju jumlah tak hingga.
Suatu deret geometri (GP) memiliki a = 8 dan r = 0.5. Berapakah jumlah tak hingga?
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
Deret geometri dengan r = 1.5 memiliki jumlah tak hingga yang terbatas.
Rumus jumlah tak hingga hanya berlaku ketika |r| < 1. Dengan r = 1.5, deret tersebut divergen.
Padankan setiap formula dengan apa yang dikira olehnya.
d menandakan keluarga aritmetik, r yang geometri — mengenal pasti formula adalah separuh daripada soalan peperiksaan.
Anda telah memahaminya
- ekspansi binomial: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- jika $|r|<1$, jumlah tak hingga $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$