Pembahagian
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | differentiation |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | The differentiation rule stating that the derivative of x raised to n is n multiplied by x raised to (n - 1). |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | The rule for differentiating a composite function by multiplying the appropriate derivatives. |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | The instantaneous rate of change of a function with respect to its input. |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | A point on a differentiable curve where its derivative is zero. |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | The derivative of a function's first derivative, describing how its gradient changes. |
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | optimisation |
Kecepatan perubahan
- Seberapa cepat roket berakselerasi pada momen tepat saat bahan bakar habis? Seberapa curam perosotan bukit di titik tertingginya?
- Diferensiasi menjawab pertanyaan-pertanyaan ini — ia menemukan laju perubahan instan pada setiap titik kurva.
Aturan pangkat dan aturan rantai
- Diferensiasi menemukan gradien kurva di setiap titik — turunan $f'(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$.
- Aturan pangkat: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (semua rasional $n$).
- Aturan rantai untuk fungsi di dalam fungsi: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
Turunan $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ memberikan kemiringan pada setiap titik: pada $x = 2$, kemiringannya adalah $4$.
Contoh terpecahkan. $y = (3x+1)^4$. Misalkan $u = 3x+1$, sehingga $y = u^4$. Aturan rantai: $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$.
Gradien pada suatu titik
kecerunan = dy/dx = f ′(x)
Luncurkan titik sepanjang lengkung — kecerunan tangens ADALAH kecerunan f ′(x) di sana.
Jika y = x³, maka dy/dx = 3x². Berapakah kecerunan pada x = 2?
dy/dx = 3x² = 3 × 2² = 3 × 4 = 12.
Jika y = (2x + 1)³, maka dy/dx = 6(2x + 1)². Berapakah dy/dx pada x = 1?
Pada x = 1: dy/dx = 6(2(1) + 1)² = 6(3)² = 6 × 9 = 54.
Titik stasioner
- Titik stasioner adalah tempat $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (garis singgungnya datar).
- Uji dengan turunan kedua:
- $f''(x) > 0$ → minimum,
- $f''(x) < 0$ → maksimum.
- Juga: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → meningkat; $< 0$ → menurun.
Jangan lupa aturan rantai. Saat mendifferensiasikan $(ax+b)^n$, Anda harus mengalikan dengan turunan bagian dalam: $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^n = an(ax+b)^{n-1}$, bukan sekadar $n(ax+b)^{n-1}$.
Di titik maksimum atau minimum, kemiringan dy/dx adalah nol
Lengkung y = x² − 6x + 5 mempunyai titik pegun. Pada nilai x apakah?
dy/dx = 2x − 6 = 0 memberikan x = 3.
Pada titik pegun, jika terbitan kedua f″(x) > 0, titik tersebut adalah:
f″ > 0 bermakna lengkung membengkok ke atas — minimum; f″ < 0 memberikan maksimum.
Jika dy/dx > 0 untuk semua x dalam suatu selang, fungsi tersebut adalah meningkat pada selang itu.
Terbitan positif bermakna fungsi sedang menaik — ia adalah meningkat.
Bagi y = x³ − 6x² + 9x + 2, terbitan kedua pada x = 3 ialah:
d²y/dx² = 6x − 12. Pada x = 3: 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0, jadi ia adalah minimum.
Contoh terpecahkan — menemukan titik stasioner
- $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
- Titik stasioner di $x = 1$ dan $x = 3$.
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: pada $x=1$, $f'' = -6 < 0$ (maksimum); pada $x=3$, $f'' = 6 > 0$ (minimum).
Aplikasi diferensiasi
- Optimisasi: temukan keuntungan maksimum atau biaya minimum dengan menetapkan $\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Laju perubahan: kecepatan adalah turunan dari perpindahan; percepatan adalah turunan dari kecepatan.
- Sketsa kurva: titik stasioner dan tanda $\dfrac{dy}{dx}$ mengungkap bentuknya.
- Turunan juga memberikan kemiringan normal (tegak lurus terhadap garis singgung).
Anda telah memahaminya
- aturan pangkat: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$; aturan rantai untuk fungsi bersarang
- titik stasioner: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- uji turunan kedua: $f'' > 0$ minimum, $f'' < 0$ maksimum
- meningkat ketika $\dfrac{dy}{dx} > 0$; menurun ketika $\dfrac{dy}{dx} < 0$