Geometri koordinat
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | The change in the vertical coordinate divided by the change in the horizontal coordinate. |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | Meeting at a right angle of 90 degrees. |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | The point halfway between the endpoints of a line segment. |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | perpendicular bisector |
| tangent/ˈtændʒənt/ | A straight line that touches a curve at a point and has the same direction there. |
Matematika lokasi
- Satelit GPS pinpoint lokasi Anda dalam hitungan beberapa meter menggunakan geometri koordinat.
- Setiap peta, setiap gambar teknik, setiap grafis komputer bergantung pada ide inti yang sama: garis, lingkaran, dan jarak antar titik.
Garis lurus
- Gradien garis melalui $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Persamaan garis: $y = mx + c$ (bentuk kemiringan-intersep), atau $y - y_1 = m(x - x_1)$ (bentuk titik-kemiringan).
- Garis sejajar memiliki gradien yang sama; garis tegak lurus memiliki gradien yang dikalikan menghasilkan $-1$.
Contoh kerja. Garis melalui $(2, 3)$ dan $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Persamaan: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Jebakan gradien tegak lurus. Jika sebuah garis memiliki gradien $2$, maka gradien tegak lurusnya adalah $-\dfrac{1}{2}$, bukan $-2$. Anda harus membalik pecahan dan mengubah tandanya.
Garis lurus
y = ax + b
Gradien miringkan garis; intersep menggesernya naik dan turun.
Berapa gradien garis yang melalui (2, 3) dan (6, 11)?
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
Sebuah garis memiliki gradien 2. Berapa gradien garis yang tegak lurusnya?
Gradien tegak lurus dikalikan hasilnya −1, sehingga gradiennya adalah −1/2 = −0.5.
Titik Tengah dan Garis Sejajar
- Titik tengah dari $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- Garis bagi tegak lurus melalui titik tengah dengan gradien tegak lurus.
Koordinat-x dari titik tengah (2, 3) dan (8, 7) adalah:
Titik tengah x = (2 + 8)/2 = 5.
Lingkaran
- Sebuah lingkaran, pusat $(a, b)$, jari-jari $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- Bentuk yang diuraikan (mis. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → lengkapi kuadrat sempurna dalam $x$ dan $y$ untuk menemukan pusat dan jari-jari.
Persamaan $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ mendeskripsikan sebuah lingkaran dengan pusat $(3, -2)$ dan jari-jari $5$.
Lingkaran (x − 3)² + (y + 2)² = 25 memiliki jari-jari berapa?
r² = 25, sehingga r = 5; pusatnya adalah (3, −2).
Lingkaran x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 memiliki pusat:
Lengkapi kuadrat sempurna: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Pusatnya adalah (3, −5).
Garis Singgung pada Lingkaran
- Garis singgung menyentuh lingkaran tepat sekali dan tegak lurus terhadap jari-jari di titik tersebut.
- Fakta sudut siku-siku ini memecahkan sebagian besar masalah lingkaran: temukan gradien jari-jari, kemudian gradien garis singgung adalah $-\dfrac{1}{m}$.
Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuhnya.
Fakta sudut siku-siku ini menyelesaikan sebagian besar masalah lingkaran.
Anda telah memahaminya
- Gradien $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; perkalian gradien tegak lurus menghasilkan $-1$
- lingkaran: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, pusat $(a,b)$, jari-jari $r$
- garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari pada titik sentuh
- titik tengah $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$